《应用随机过程》PPT课件.ppt

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1、应用随机过程应用随机过程主讲教师主讲教师 段禅伦段禅伦20112011年秋季学期年秋季学期计算机学院研究生专业基础课程计算机学院研究生专业基础课程应用数学基础应用数学基础(Applied Stochastic processes)(Applied Stochastic processes)天道酬勤天道酬勤-刻苦钻研刻苦钻研,滴水穿石滴水穿石形而上形而上(思考和应用思考和应用)谓之道谓之道,形而下形而下(基础与理论基础与理论)谓谓之器（之器（周易周易系辞系辞）。）。提其要提其要,钩其玄钩其玄(韩愈韩愈劝学解劝学解););悠然心会悠然心会,妙处难妙处难与君说（与君说（张孝祥张孝祥,南宋南宋）。）。

2、昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路(晏殊晏殊蝶蝶恋花恋花:槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。昨夜西风凋碧明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。欲寄彩笺兼尺素，山树，独上高楼，望尽天涯路。欲寄彩笺兼尺素，山长水阔知何处长水阔知何处)。衣带渐宽终不悔衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴为伊消得人憔悴（柳咏柳咏蝶恋花蝶恋花:伫依危楼风细细伫依危楼风细细,望极春愁，暗暗生天际。草色烟望极春愁，暗暗生天际。草色烟光残照里光残照里,无言谁会凭阑意。拟把疏狂图一醉，对酒无

3、言谁会凭阑意。拟把疏狂图一醉，对酒当歌，强乐还无味。当歌，强乐还无味。衣带渐宽终不悔，为伊消得人衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴憔悴）。众里寻他千百度，蓦然回首众里寻他千百度，蓦然回首,那人却在，灯火阑珊处那人却在，灯火阑珊处 (辛弃疾辛弃疾青玉案青玉案：东风夜放花千树。更吹落，星：东风夜放花千树。更吹落，星如雨。宝马雕车香满路。风箫声动如雨。宝马雕车香满路。风箫声动,玉壶光转，一夜玉壶光转，一夜鱼龙舞。蛾儿雪柳黄金缕鱼龙舞。蛾儿雪柳黄金缕,笑雨盈盈暗香去。众里寻笑雨盈盈暗香去。众里寻他他千百度千百度,蓦然回首蓦然回首,那人却在那人却在,灯火阑珊处灯火阑珊处 )。课程内容课程内容研究生学位课程研

4、究生学位课程应用数学基础应用数学基础内容主要包括内容主要包括:预备知识预备知识:概率空间概率空间,随机变量及其分布随机变量及其分布,随机变量的随机变量的数字特征数字特征,特征函数特征函数、母函数和拉氏变换母函数和拉氏变换,n n维正态分维正态分布布,条件期望条件期望。随机过程的概念与基本类型随机过程的概念与基本类型。PoissonPoisson过程过程。MarkovMarkov链链及及连续时间的连续时间的MarkovMarkov链链。平稳过程平稳过程。主要参考书目主要参考书目11刘次华刘次华.随机过程随机过程,华中科技大学出版社华中科技大学出版社,2001;,2001;22陆大铨陆大铨.随机过

5、程及其应用随机过程及其应用,清华大学出版社清华大学出版社,1986;,1986;33毛用才毛用才,胡奇英胡奇英.随机过程随机过程,西安电子科技出版社西安电子科技出版社,1998;1998;44张波张波,张景肖张景肖.应用随机过程应用随机过程,清华大学出版社清华大学出版社,2004;2004;5Shedon 5Shedon M.RossM.Ross著著,龚光鲁译龚光鲁译.应用随机过程应用随机过程-概率概率 模型导论模型导论(第九版第九版),),人民邮电出版社人民邮电出版社,2007.,2007.第第1 1章章 预备知识预备知识1.1 1.1 概率空间概率空间 现实世界现象的任何实际模型现实世界现

6、象的任何实际模型,必须考虑到随机性的可必须考虑到随机性的可能能.也就是说所关心的量往往并不是事先可料的也就是说所关心的量往往并不是事先可料的,这种量这种量所展示的内在变化必须考虑在模型之中所展示的内在变化必须考虑在模型之中.可见通常使用的可见通常使用的模型实质上是概率性的模型实质上是概率性的.课程将涉及自然现象中一些不同的概率性模型课程将涉及自然现象中一些不同的概率性模型.为了既为了既能掌握能掌握如何建立模型如何建立模型,又能掌握随后又能掌握随后对对于这些于这些模型的分析模型的分析,我们必须具有坚实的概率论的基本知识我们必须具有坚实的概率论的基本知识.随机试验随机试验 随机试验随机试验是概率论

7、的基本概念是概率论的基本概念,试验的结果事先不能准试验的结果事先不能准确地预言确地预言,但具有如下三个特性但具有如下三个特性:(1)(1)可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行;(2)(2)每次试验的结果不止一个每次试验的结果不止一个,但预先知道试验的所有但预先知道试验的所有 可能的结果可能的结果;(3)(3)每次试验前不能确定哪个结果会出现每次试验前不能确定哪个结果会出现.样本空间样本空间 由由(某某)随机试验所有可能结果组成的集合随机试验所有可能结果组成的集合.样本点样本点或或基本事件基本事件 随机试验的基本结果或随机试验的基本结果或的元素的元素.必然事件必然事件与与不可能事

8、件不可能事件:称必然事件称必然事件;空集空集称不可称不可能事件能事件.的子集的子集A A由基本事件组成由基本事件组成,通常称为通常称为事件事件.两个事件两个事件E E与与F F的的并并EFEF、交交EF(EF)EF(EF)和和差差E-F.E-F.称事件称事件E E与与F F互不相容互不相容,如果如果EF=.EF=.事件事件E E的的对立事件对立事件:E EC C=-E.=-E.显然显然C C=;EE=;EEC C=,=,EE EEC C=.=.例例1.1 1.1 设随机试验由投掷两颗骰子所组成设随机试验由投掷两颗骰子所组成,那么那么 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

9、(1,6)(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(5,1),(5,2),(5,

10、3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)此处结果此处结果(i,ji,j)称为称为发生发生,如果第一颗骰子掷出如果第一颗骰子掷出i i且第二且第二颗骰子掷出颗骰子掷出j.j.若若E=E=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),则则E E是两颗是两颗骰子点数和为骰子点数和为7 7的事件的事件.若若A=A=(3,1),(3,2)(3,1),(3,2),B=,B=

11、(3,2),(3,3)(3,2),(3,3),则则AB=AB=(3,1),(3,(3,1),(3,2),(3,3)2),(3,3),AB=,AB=(3,2)(3,2).若若C=C=(1,1)(1,1),则则A,C;B,CA,C;B,C分别互不分别互不相容相容.E.E的对立事件的对立事件E EC C=-E,=-E,含有含有3030个基本事件个基本事件.=由于事件是集合由于事件是集合,所以不仅具有并、交、差、取对所以不仅具有并、交、差、取对立等运算；立等运算；而且自然也适用于做上极限、下极限、极而且自然也适用于做上极限、下极限、极限等运算限等运算.在实际问题中在实际问题中,人们并不对样本空间人们并

12、不对样本空间的全部子集的全部子集即所有的事件都有兴趣即所有的事件都有兴趣,只是更多的注意只是更多的注意的某些子集的某些子集、关心它们发生的可能性的大小即概率、关心它们发生的可能性的大小即概率.将此述做数学抽象将此述做数学抽象,便有以下便有以下概念概念:定义定义1.11.1 设设是一个集合是一个集合,F F 是是的某些子集组成的集的某些子集组成的集 合族合族,若若 (1)(1)F F ；(2)(2)如果如果AAF F,那么那么 =-A=-AF F ；(3)(3)对对n=1,2,n=1,2,A An nF F 时时,必有必有 A An nF F,则称则称F F为为-代数代数(或或BorelBore

13、l域域).).称称(,(,F F)为为可测空间可测空间.称称F F 中的元素为中的元素为事件事件.由由定义定义1.11.1,还可得到还可得到:(4)(4)F F ；(5)(5)若若A,BA,BF F，则，则A-BA-BF F ；(6)(6)若若A Ai iF F,i,i=1,2,=1,2,则则 F F.定义定义1.21.2 设设(,(,F F)是可测空间是可测空间,P(),P()是定义在是定义在F F上的实上的实值值 函数函数,如果如果 (1)(1)任意任意AAF F,0P(A)1;,0P(A)1;(2)(2)P()=1;P()=1;(3)(3)若若A A1 1,A,A2 2,是两两互不相容是

14、两两互不相容(ijAijAi i A Aj j =)=)事事 件件,则则P()P()P(AP(Ai i),),那么称那么称P P是可测空间是可测空间(,(,F F)上的上的概率概率.称称(,(,F F,P),P)为为概概率空间率空间.称称P(A)P(A)为为事件事件A A的概率的概率.由由定义定义1.21.2易知易知:(4)(4)P(P()=0;)=0;(5)(5)若若A,BA,BF F 且且A B,A B,则则P(B-A)=P(B)-P(A)(P(B-A)=P(B)-P(A)(单调性单调性););(6)(6)设设A An n,n,n=1,2,=1,2,则则定义定义1.31.3 设设(,(,F

15、 F,P),P)为概率空间为概率空间,G G F F,如果对任意的如果对任意的A A1 1,A,A2 2,A An nG G ,n=1,2,n=1,2,都有都有 则称则称G G 为为独立事件族独立事件族。注意注意:概率概率是定义在是定义在可测空间可测空间事件事件上的函数上的函数,它的一个它的一个 直观性质是直观性质是:若我们的试验不断地重复若我们的试验不断地重复n n次次,则以概率则以概率1 1 地地,事件事件A A在总发生次数中的比率是在总发生次数中的比率是P(A).P(A).P(AP(AC C)=1-P(A)=1-P(A).因为因为A A与与A AC C互不相容互不相容,且且AAAAC C

16、=,=,由概率定义由概率定义(2)(2)和和(3)(3)有有:1=P()=P(AA:1=P()=P(AAC C)=P(A)+P(A)=P(A)+P(AC C)或或P(AP(AC C)=1-P(A).)=1-P(A).即一个事件不发生的概率是即一个事件不发生的概率是1 1与它发与它发 生概率的差生概率的差.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).这是在这是在A A中或在中或在B B中的所有结果的概率中的所有结果的概率,称之为称之为加法公式加法公式.考虑考虑P(A)+P(B).P(A)+P(B).它是它是A A中所有结果的概率加上中所有结果的概率加上B

17、 B中所有中所有结果的概率结果的概率.由于所有既在由于所有既在A A中也在中也在B B中的结果在中的结果在P(A)+P(B)P(A)+P(B)中都算了两次中都算了两次,而在而在P(AB)P(AB)中只算一次中只算一次,所以必须有所以必须有:P(A)+P(B)=P(AB)+P(AB)P(A)+P(B)=P(AB)+P(AB)或或P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).对概率单调性对概率单调性(定义定义1.21.2下的下的(5)(5):若若A,BA,BF F 且且A B,A B,则则P(B-A)=P(B)-P(A)P(B-A)=P(B)-P(A)的一

18、般考虑的一般考虑:P(B-A)P(B-A)=P(B-AB)=P(B(AB)=P(B)+P(AB)-P(AAB)=P(B-AB)=P(B(AB)=P(B)+P(AB)-P(AAB)=P(B)+(1-P(AB)-P()=P(A)+(1-P(AB)-1=P(B)+(1-P(AB)-P()=P(A)+(1-P(AB)-1=P(A)-P(AB)P(A)-P(AB);于是于是,若若A A B B,则则由由P(B)-P(A)=P(B)-P(AB)=P(B-A)0,P(B)-P(A)=P(B)-P(AB)=P(B-A)0,又可推得又可推得P(B)P(A)P(B)P(A).古典概型古典概型(基本事件有限基本事件

19、有限,每个基本事件的发生都是等每个基本事件的发生都是等 可能的可能的)下的下的概念概念与与应用举例应用举例:例例1.21.2 设某人做反复投掷两枚硬币的试验设某人做反复投掷两枚硬币的试验,则该试验的样则该试验的样 本空间本空间 =(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)中的中的4 4个结果个结果 都是等可能的都是等可能的,因而都有概率因而都有概率1/4.1/4.设设A=(H,H),(H,T),B=(H,H),(T,H),A=(H,H),(H,T),B=(H,H),(T,H),即即A A是第一是第一 枚硬币出现枚硬币出现HeadHead的事件

20、的事件,B,B是第二枚硬币出现是第二枚硬币出现HeadHead的事的事 件件.由加法公式由加法公式,得到第一枚硬币出现得到第一枚硬币出现HeadHead或第二枚硬或第二枚硬 币出现币出现HeadHead事件的概率事件的概率:P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/2-P(H,H)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/2-P(H,H)=1-1/4=3/4.=1-1/4=3/4.直接计算直接计算,也有也有P(AB)=P(H,H),(H,T),(T,H)=3/4.P(AB)=P(H,H),(H,T),(T,H)=3/4.事件事件E E或或F F或或G G中任意一个发

21、生的概率中任意一个发生的概率:P(EFG)=P(EF)G)=P(EF)+P(G)-P(EF)G)P(EFG)=P(EF)G)=P(EF)+P(G)-P(EF)G)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EGFG)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EGFG)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EG)-P(FG)+P(EGFG)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EG)-P(FG)+P(EGFG)=P(E)+P(F)+P(G)-P(EF)-P(EG)-P(FG)+P(EFG).=P(E)+P(F)+P(G)-P(EF)-P(EG)-P(FG)+P(EF

22、G).对对n n个事件个事件E E1 1,E,E2 2,E,E3 3,E,En n,用运归纳法可以证明用运归纳法可以证明:P(E P(E1 1EE2 2EE3 3EEn n)=即即n n个事件的并的概率个事件的并的概率,等于这些事件一次取一个的概率等于这些事件一次取一个的概率的和减去这些事件一次取两个的概率的和的和减去这些事件一次取两个的概率的和,再加上这些再加上这些事件一次取三个的概率的和事件一次取三个的概率的和,如此等等如此等等.条件概率条件概率 假定我们投掷两颗骰子得到的假定我们投掷两颗骰子得到的3636个结果是等可能的个结果是等可能的,其其概率均为概率均为1/36.1/36.如果我们知

23、到第一颗骰子是如果我们知到第一颗骰子是4,4,那么在已知那么在已知这个信息时这个信息时,两颗骰子的点数和为两颗骰子的点数和为6 6的概率是什么的概率是什么?为计算此概率为计算此概率,我们做推理我们做推理:已知第一颗骰子是已知第一颗骰子是4,4,我们的试验至多能出现我们的试验至多能出现6 6个结果个结果:(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6).(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6).由于这些结果中的每一个本来就是以相同的概率发生的由于这些结果中的每一个本来就是以相同的概率发生的,它们应该仍旧有相等的概率它们应该仍旧有相等的概率.这就

24、是说这就是说,已知第一颗骰子已知第一颗骰子是是4,4,则出现则出现(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)中的中的每一个结果的每一个结果的(条件条件)概率是概率是1/6,1/6,而同时在样本空间中的而同时在样本空间中的其他其他3030个点的个点的(条件条件)概率是概率是0.0.因此要求的概率是因此要求的概率是1/6.1/6.如果以如果以B B和和A A分别记骰子的点数和为分别记骰子的点数和为6 6的事件及第一颗骰的事件及第一颗骰子是子是4 4的事件的事件,那么上述概率即那么上述概率即已知已知A

25、A发生的条件下发生的条件下B B发生发生的条件概率的条件概率:P(B|A).:P(B|A).对于一切事件对于一切事件E E和和F,F,当已知事件当已知事件F F发生发生,那么为了那么为了E E发生发生,实际出现的结果必须是一个既在实际出现的结果必须是一个既在E E中又在中又在F F中的结果中的结果,也就也就是必须在是必须在EFEF中的结果中的结果.现在现在,因为我们已知因为我们已知F F已经发生已经发生,进进而而F F就成为我们就成为我们新的样本空间新的样本空间,因此因此,事件事件EFEF发生的概率就发生的概率就等于等于EFEF的概率相对于的概率相对于F F的概率的概率,即即:P(E|F)=P

26、(EF)/P(F)P(E|F)=P(EF)/P(F).(.(P(F)P(F)0 0)例例1.31.3 假定在帽子中混杂地放了写有假定在帽子中混杂地放了写有1 1到到1010的的1010张卡片张卡片,然后抽取了其中的一张然后抽取了其中的一张.如果我们被告知抽出的卡片上如果我们被告知抽出的卡片上 的数字至少是的数字至少是5,5,那么它是那么它是10 10 的条件概率是多少的条件概率是多少?解解:以以E E记抽出的卡片上的数字为记抽出的卡片上的数字为1010的事件的事件,以以F F记抽出的记抽出的 卡片上的数字至少为卡片上的数字至少为5 5的事件的事件,要求的概率是要求的概率是P(E|F).P(E|

27、F).由于卡片上的数字既是由于卡片上的数字既是1010又要至少为又要至少为5 5当且仅当它是当且仅当它是 10,10,所以所以EF=E.EF=E.故故 P(E|F)=P(EF)/P(F)P(E|F)=P(EF)/P(F)=1/6 =1/6或或P(E|F)=P(E)/P(F)=1/6.P(E|F)=P(E)/P(F)=1/6.例例1.41.4 某家庭有两个孩子某家庭有两个孩子.已知两个孩子中至少有一个男已知两个孩子中至少有一个男 孩孩,问两个都是男孩的条件概率是多少问两个都是男孩的条件概率是多少?假设给定的样假设给定的样 本空间本空间 =(=(b,b),(b,g),(g,b),(g,gb,b),

28、(b,g),(g,b),(g,g)且四种结果都且四种结果都 是等可能的是等可能的.解解:以以B B记两个孩子都是男孩的事件记两个孩子都是男孩的事件,A,A记两个孩子中至少记两个孩子中至少 有一个男孩的事件有一个男孩的事件,则所求的条件概率则所求的条件概率 P(B|A)=P(BA)/P(A)P(B|A)=P(BA)/P(A)=P(b,b)/P(b,b),(b,g),(g,bP(b,b)/P(b,b),(b,g),(g,b)=(1/4)/(3/4)=(1/4)/(3/4)=1/3.=1/3.例例1.51.5 薛云可以选修计算机基础课薛云可以选修计算机基础课,也可以选修大学语文也可以选修大学语文 课

29、课.如果他选修计算机基础课如果他选修计算机基础课,那么得到那么得到A A的概率为的概率为1/2.1/2.如果他选修大学语文课如果他选修大学语文课,那么得到那么得到A A的概率为的概率为1/3.1/3.薛云薛云 用投掷硬币来决定用投掷硬币来决定.此时此时,薛云在大学语文课上能得薛云在大学语文课上能得A A的的 概率是多少概率是多少?解解:令令E E为薛云选修大学语文课的事件为薛云选修大学语文课的事件,F,F为不管他选修哪为不管他选修哪 一课程都得一课程都得A A的事件的事件,则所要求的概率是则所要求的概率是P(FE).P(FE).由条件由条件 概率公式并计算得概率公式并计算得:P(FE)=P(E

30、)P(F|E)P(FE)=P(E)P(F|E)=(1/2)(1/3)=(1/2)(1/3)=1/6.=1/6.例例1.61.6 假定在一个坛子中放有假定在一个坛子中放有7 7个黑球个黑球,5,5个白球个白球.我们不我们不 放回地从中摸取两个球放回地从中摸取两个球.假设从坛中摸到哪一个球都是假设从坛中摸到哪一个球都是 等可能的等可能的,求摸取的两个球都是黑色球的概率求摸取的两个球都是黑色球的概率.解解:以以F F和和E E分别记摸取的第一个球是黑球的事件和摸取分别记摸取的第一个球是黑球的事件和摸取 的第二个球是黑球的事件的第二个球是黑球的事件.当已知摸到的第一个球是黑当已知摸到的第一个球是黑 球

31、时球时,坛中还有坛中还有6 6个黑球和个黑球和5 5个白球个白球,故故P(E|F)=6/11.P(E|F)=6/11.而而 P(F)=7/12.P(F)=7/12.所以要求的概率是所以要求的概率是 P(EF)=P(F)P(E|F)=(7/12)(6/11)=7/22.P(EF)=P(F)P(E|F)=(7/12)(6/11)=7/22.例例1.71.7 假定参加聚会的三个人都将他们的帽子扔到了房假定参加聚会的三个人都将他们的帽子扔到了房 间的中央间的中央.这些帽子先被弄混了这些帽子先被弄混了,随后每个人在其中随随后每个人在其中随 机地选取一个机地选取一个.问三人中没有人选到自己帽子的概率是问三

32、人中没有人选到自己帽子的概率是 多少多少?解解:为计算简单为计算简单,我们首先计算问题的对立概率即至少有我们首先计算问题的对立概率即至少有 一人选到他自己帽子的概率一人选到他自己帽子的概率.当以当以E Ei i(i(i=1,2,3)=1,2,3)记第记第i i个个 人选到自己帽子的事件时人选到自己帽子的事件时,即要求即要求P(EP(E1 1EE2 2EE3 3).).注意到注意到P(EP(Ei i)=1/3,i=1,2,3;)=1/3,i=1,2,3;P(EP(Ei iE Ej j)=)=P(EP(Ei i)P(E)P(Ej j|E|Ei i)=(1/3)(1/2)=1/6,ij;)=(1/3

33、)(1/2)=1/6,ij;P(E P(E1 1E E2 2E E3 3)=P(E)=P(E1 1E E2 2)P(E)P(E3 3|E|E1 1E E2 2)=(1/6)1=1/6.)=(1/6)1=1/6.即知即知 P(EP(E1 1EE2 2EE3 3)=3(1/3)-3(1/6)+1/6=2/3.)=3(1/3)-3(1/6)+1/6=2/3.从而知从而知 P()=1-P(EP()=1-P(E1 1EE2 2EE3 3)=1/3.)=1/3.对对独立事件独立事件概念的进一步理解概念的进一步理解 独立事件独立事件E,FE,F满足满足P(EF)=P(E)P(F).P(EF)=P(E)P(F

34、).由条件概率公式由条件概率公式 P(E|F)=P(EF)/P(F)P(E|F)=P(EF)/P(F)知知,这蕴涵了这蕴涵了P(E|F)=P(E)P(E|F)=P(E)(也蕴涵了也蕴涵了P(F|E)=P(F)P(F|E)=P(F).).它说明它说明,如果如果F F已经发生这个事实并不影响已经发生这个事实并不影响E E发生的概率发生的概率,那么那么E E和和F F就是独立的就是独立的,即即E E的发生独立于的发生独立于F F是否发生是否发生.不独立的两个事件不独立的两个事件E E和和F F称为相依的称为相依的.例例1.81.8 假定我们扔两颗均匀的骰子假定我们扔两颗均匀的骰子.令令E E1 1表

35、示两颗骰子的表示两颗骰子的 点数和等于点数和等于6 6的事件的事件,F,F表示第一颗骰子的点数是表示第一颗骰子的点数是4 4的事的事 件件.那么那么 P(EP(E1 1F)=P(4,2)=1/36;F)=P(4,2)=1/36;P(E P(E1 1)P(F)=(5/36)(1/6)=5/216.)P(F)=(5/36)(1/6)=5/216.可见可见E E1 1和和F F不是独立的不是独立的,即是即是相依相依的的.其原因是显然的其原因是显然的:因为如果我们关心的是扔出和为因为如果我们关心的是扔出和为6 6的可的可能性能性,那么当第一颗骰子停在那么当第一颗骰子停在4(4(或或1,2,3,4,5)

36、1,2,3,4,5)时时,我们将我们将高兴高兴,那是我们还有机会得到总和为那是我们还有机会得到总和为6;6;另一方面另一方面,当第一颗骰子停在当第一颗骰子停在6 6时时,我们并不高兴我们并不高兴,因为因为不再有机会得到总和为不再有机会得到总和为6 6了了.换言之换言之,我们得到总和为我们得到总和为6 6的机会依赖于第一颗骰子的的机会依赖于第一颗骰子的结果结果,因此因此,E,E1 1和和F F不独立而是相依的不独立而是相依的.如果令如果令E E2 2表示两颗骰子的和等于表示两颗骰子的和等于7 7的事件的事件,则则E E2 2和和F F独立独立.因为因为:P(E:P(E2 2F)=(4,3)=1/

37、36;F)=(4,3)=1/36;且且 P(EP(E2 2)P(F)=(1/6)(1/6)=1/36.)P(F)=(1/6)(1/6)=1/36.n n个事件的独立性个事件的独立性.n n个事件个事件E E1 1,E,E2 2,E,E3 3,E,En n称为独立的称为独立的,如果对于这些事件如果对于这些事件的每个子集的每个子集 ,rnrn,有有 直观地看直观地看,事件事件E E1 1,E,E2 2,E,En n是独立的是独立的,如果其中任意一如果其中任意一些事件发生的事实并不影响其他任何事件的概率些事件发生的事实并不影响其他任何事件的概率.例例1.91.9(不独立的两两独立事件不独立的两两独立

38、事件)假定从装有号码分别为假定从装有号码分别为 1,2,3,41,2,3,4的四个球的瓮中抽取一个球的四个球的瓮中抽取一个球.设设E=1,2,F=1,E=1,2,F=1,3,G=1,4.3,G=1,4.如果取到每个球的概率是等可能的如果取到每个球的概率是等可能的,那么那么 P(EF)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(F);P(EF)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(F);P(EG)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(G);P(EG)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(G);P(FG)=1/4=(1/2)(1/2)=P(F)P(G).P(FG)=1/4=(1/

39、2)(1/2)=P(F)P(G).但但 1/4=P(EFG)(1/2)(1/2)(1/2)=P(E)P(F)P(G).1/4=P(EFG)(1/2)(1/2)(1/2)=P(E)P(F)P(G).可见可见,即使即使E,F,GE,F,G是两两独立的是两两独立的,也并非三个事件独立的也并非三个事件独立的.贝叶斯公式贝叶斯公式 设设E E和和F F是事件是事件,我们可以将我们可以将E E表示为表示为 E=EFEFE=EFEFC C.因为为了使一个试验结果点在因为为了使一个试验结果点在E E中中,那么它或者既在那么它或者既在E E中也中也在在F F中中,或者只或者只E E中而不在中而不在F F中中.考

40、虑到考虑到EFEF和和EFEFC C是互不相容是互不相容的的,我们有我们有 P(E)=P(EF)+P(EFP(E)=P(EF)+P(EFC C)=P(E|F)P(F)+P(E|F =P(E|F)P(F)+P(E|FC C)P(F)P(FC C)=P(E|F)P(F)+P(E|F =P(E|F)P(F)+P(E|FC C)(1-P(F).)(1-P(F).此式说明此式说明,事件事件E E的概率是已知的概率是已知F F发生时发生时E E的条件概率与已的条件概率与已知知F F未发生时未发生时E E的条件概率的加权平均的条件概率的加权平均,权重为各个条件事权重为各个条件事件发生的概率件发生的概率.()

41、例例1.111.11 考虑两个瓮考虑两个瓮.第一个瓮中有第一个瓮中有2 2个白球个白球7 7个黑球个黑球,第二第二 个瓮中有个瓮中有5 5个白球个白球6 6个黑球个黑球.我们抛掷一枚均匀的硬币我们抛掷一枚均匀的硬币,由其结果是正面还是反面由其结果是正面还是反面,决定是从第一个瓮中还是从决定是从第一个瓮中还是从 第二个瓮中抽取一个球第二个瓮中抽取一个球.已知取到的球是白球已知取到的球是白球,问抛掷问抛掷 的结果是正面的条件概率是多少的结果是正面的条件概率是多少?解解:以以W W记取到的球是白球的事件记取到的球是白球的事件,以以H H记抛掷的硬币是正记抛掷的硬币是正 面向上的事件面向上的事件.要求

42、的概率为要求的概率为P(H|W).P(H|W).P(H|W)=P(H|W)=例例1.121.12 学生在回答多项选择题时学生在回答多项选择题时,或者知道答案或者猜或者知道答案或者猜 测答案测答案.假定她知道答案的概率是假定她知道答案的概率是p,p,而猜测的概率是而猜测的概率是1-1-p.p.假设她猜对的概率是假设她猜对的概率是1/m,1/m,这里这里m m是多项选题可选的项是多项选题可选的项 数数.问在已知学生答题正确时问在已知学生答题正确时,她确实知道答案的概率她确实知道答案的概率 是多少是多少?解解:以以C C和和K K分别记学生回答正确和她确实知道答案这两分别记学生回答正确和她确实知道答

43、案这两 个事件个事件.于是于是 P(K|C)=P(K|C)=如果如果m=5,p=1/2,m=5,p=1/2,那么学生对于她答得正确的题确实知那么学生对于她答得正确的题确实知 道答案的概率等于道答案的概率等于5/6.5/6.例例1.131.13 某化验室检测某种疾病的血液检查某化验室检测某种疾病的血液检查,当确实有病当确实有病 时的有效率是时的有效率是95%.95%.可是可是,该检测也在该检测也在1%1%的健康人中产生的健康人中产生 “假阳性假阳性”结果结果(即一个健康人去检查即一个健康人去检查,检测结果为阳检测结果为阳性性 的概率是的概率是0.01).0.01).如果总体人群中有如果总体人群中

44、有0.5%0.5%真有此病真有此病,问已问已 知某人检测结果为阳性时知某人检测结果为阳性时,他有病的概率是多少他有病的概率是多少?解解:以以D D记被检测的人有病的事件记被检测的人有病的事件,以以E E记他的测试结果是记他的测试结果是 阳性的事件阳性的事件.要求的概率要求的概率 P(D|E)=P(D|E)=因此测试结果是阳性的人中因此测试结果是阳性的人中,只有约只有约32%32%确实患上了病确实患上了病.贝叶斯公式的一般形式贝叶斯公式的一般形式 对公式对公式()做推广做推广:假定假定F F1 1,F,F2 2,F,Fn n是互不相容的事是互不相容的事件件,使得使得 =即即F F1 1,F,F2

45、 2,F,Fn n中正好有一个事件发生中正好有一个事件发生.通过通过 E=E=并由事件并由事件EFEFi i,i,i=1,2,n=1,2,n互不相容的事实互不相容的事实,可得可得 P(E)=P(E)=此式展示了此式展示了:对于给定的有且只有一个发生的事件对于给定的有且只有一个发生的事件F F1 1,F,F2 2,F,Fn n,我们可以通过首先对我们可以通过首先对F Fi i中发生的一个事件取条件中发生的一个事件取条件计算计算P(E)P(E).也就是说也就是说,P(E),P(E)等于等于P(E|FP(E|Fi i)的加权平均的加权平均,每项每项用被取条件的那个事件的概率加权用被取条件的那个事件的

46、概率加权.假定现在假定现在E E已经发生已经发生,而我们关心的是确定而我们关心的是确定F Fi i中哪个也中哪个也发生了发生了.为此为此,我们由上式和条件概率公式我们由上式和条件概率公式,可得可得 P(FP(Fj j|E|E)=)=此式即所谓此式即所谓贝叶斯公式贝叶斯公式(BayesformulaBayesformula).).例例1.141.14 你知道某一封信等可能地夹在三个不同的文件夹你知道某一封信等可能地夹在三个不同的文件夹 的任意一个之中的任意一个之中.若此信实际上在文件夹若此信实际上在文件夹i(ii(i=1,2,3)=1,2,3)中中 而你对文件夹而你对文件夹i i的快速翻阅发现你

47、的信的概率记为的快速翻阅发现你的信的概率记为i i (i i1).1).假定你查看了文件夹假定你查看了文件夹1 1但没有发现此信但没有发现此信.问信问信 在文件夹在文件夹1 1中的概率是多少中的概率是多少?解解:以以F Fi i(i(i=1,2,3)=1,2,3)记此信在文件夹记此信在文件夹i i中的事件中的事件,而而E E是通是通 过对文件夹过对文件夹1 1搜索但并未看到信的事件搜索但并未看到信的事件.我们要求我们要求P(FP(F1 1|E).|E).由贝叶斯公式由贝叶斯公式,得得 P(FP(F1 1|E)=|E)=习题习题1.1.假定所有假定所有n n个参加聚会的人将他们的帽子扔在房间个参

48、加聚会的人将他们的帽子扔在房间 的中央的中央.然后每个人随机地取一顶帽子然后每个人随机地取一顶帽子.证明没有人选证明没有人选 到自己的帽子的概率为到自己的帽子的概率为 并证明并证明nn时时,此值此值e e-1-1.1.2 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量随机变量 在做随机试验时在做随机试验时,考虑的是试验结果本身考虑的是试验结果本身,但具有更为但具有更为重要意义的还是在试验结果上建立的某些函数重要意义的还是在试验结果上建立的某些函数.定义定义在概在概率空间率空间(,(,F F,P),P)上的实值函数上的实值函数,称为称为随机变量随机变量,如果如果 对任意实数对任意实数x,e:X

49、(e)x,ex,e:X(e)x,eF F .并称并称X(eX(e)为为F F上上的随机变量的随机变量,简记为简记为X.X.例例2.12.1 以以X X记随机变量记随机变量,它定义为两颗均匀骰子的和它定义为两颗均匀骰子的和,那么那么 PX=2=P(1,1)=1/36;PX=2=P(1,1)=1/36;PX=3=P(1,2),(2,1)=2/36;PX=3=P(1,2),(2,1)=2/36;PX=4=(1,3),(2,2),(3,1)=3/36;PX=4=(1,3),(2,2),(3,1)=3/36;PX=5=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)=4/36;PX=5=(1,4),(2,

50、3),(3,2),(4,1)=4/36;PX=6=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)=5/36;PX=6=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)=5/36;PX=7=P(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)=6/36;PX=7=P(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)=6/36;PX=8=P(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=5/36;PX=8=P(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=5/36;PX=9=(3,6),(4,5),(5,4),(