《应力与平衡》PPT课件.ppt

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1、三、应力与平衡Kinetics1 应力张量应力张量 2 平衡方程平衡方程3 角动量平衡：角动量平衡：的对称性的对称性4 柯西应力的主值柯西应力的主值5 最大剪应力最大剪应力6 名义应力名义应力1 1 应力张量应力张量 体力体力 面力面力 实例：引力（自重），静电力（电场的带电体）实例：引力（自重），静电力（电场的带电体），磁场力等，磁场力等 描述：描述：力的密度力的密度 单位：单位：N/m3 记为记为 b 体单元体单元 体力体力 b 描述：单位表面单元上的力向量描述：单位表面单元上的力向量 单位：单位：N/m2 记为：记为：Tn 法向法向n的单元的单元ds合力合力 Tn ds设一个小物质薄片设

2、一个小物质薄片,它的横向尺寸是它的横向尺寸是 ,厚度为厚度为 ,且有极限且有极限 。任意情况下。任意情况下，有，有 。小薄片的平衡方程有：小薄片的平衡方程有：其中，其中，是小薄片顶部或底部的面积，是小薄片顶部或底部的面积，是环绕它的边的周长。是环绕它的边的周长。力向量力向量 和和 分别作用于小薄片顶部和底部，小薄片的厚度是分别作用于小薄片顶部和底部，小薄片的厚度是 。当当于是分布面力于是分布面力的薄片上有：的薄片上有：由于由于 任意，我们有任意，我们有:图中的四面体称为柯西四面体图中的四面体称为柯西四面体。简单的几何关系有：简单的几何关系有：斜面的面积矢量为：斜面的面积矢量为：其中，其中，是该

3、斜面表面单元的面积大小，是该斜面表面单元的面积大小，n是它的单位法向。是它的单位法向。a，b，c是组成柯西四面体直角边的边向量。是组成柯西四面体直角边的边向量。利用截点和单位基本向量：利用截点和单位基本向量：所以所以由四面体受力平衡有：由四面体受力平衡有：或或取极限取极限 或或 ，有：，有：定义定义所以有所以有但是由但是由有有从而有从而有为柯西应力张量为柯西应力张量面上的正应力面上的正应力面上的切应力面上的切应力2 平衡方程平衡方程 作用在一个固体上的加载系统由体力和表面力组成，作用在一个固体上的加载系统由体力和表面力组成，由受力平衡有由受力平衡有 其中其中 是表面面积单元，是表面面积单元，是

4、物体表面。是物体表面。由由 ，上式可写，上式可写为为 根据散度定理有根据散度定理有 于是有于是有由于由于 任意，所以在每一点都有任意，所以在每一点都有这即是这即是平衡方程平衡方程。由由 ，三个平衡方程可以用分量的形式表示为，三个平衡方程可以用分量的形式表示为3 角动量平衡：角动量平衡：的对称性的对称性 固体平衡要求转矩为固体平衡要求转矩为0，有，有其中其中r是从固体中相对某点的位置矢量是从固体中相对某点的位置矢量 根据根据 ，上式可写为，上式可写为相应的指标符号的分量方程为相应的指标符号的分量方程为 根据高斯散度定理根据高斯散度定理 我们有我们有根据平衡方程，第一项为根据平衡方程，第一项为0，

5、所以有，所以有 它对于整个体积或其中的任意一部分都成立，所以，它对于整个体积或其中的任意一部分都成立，所以，在每一点都有在每一点都有 由于由于 关于关于 反对称，所以应力张量必须是对称的反对称，所以应力张量必须是对称的 另外，我们还可以在另外，我们还可以在 两边都乘以两边都乘以 ，利，利用用 关系：关系：，有，有：所以所以 或或从而有柯西应力张量是对称张量。从而有柯西应力张量是对称张量。为了找到柯西应力张量的主值为了找到柯西应力张量的主值 ，考虑方程，考虑方程 4 柯西应力的主值柯西应力的主值补充几何方程：补充几何方程：方程式成立，需要：方程式成立，需要：即：即：即：即：展开有：展开有：用主应

6、力表示：用主应力表示：应力不变量应力不变量由于由于 在主平面上没有剪应力。在主平面上没有剪应力。如果三个特征根各不相同，就会有三个相互正交的主方向。如果三个特征根各不相同，就会有三个相互正交的主方向。如果有两个特征根相同，例如，如果有两个特征根相同，例如，在，在 所垂直所垂直 的平面内的所有方向都是主方向的平面内的所有方向都是主方向。如果三个特征值都相等，就称应力状况是球状的，任意方如果三个特征值都相等，就称应力状况是球状的，任意方向都是主方向，在任意平面内都没有剪应力。向都是主方向，在任意平面内都没有剪应力。特征值有特征值有 它们就是主应力，相应的特征向量它们就是主应力，相应的特征向量 是应

7、力张量是应力张量 主主平面的单位法向。平面的单位法向。2.5 2.5 最大剪应力最大剪应力假设主应力已经沿相应的特征向量的方向，即柯西应力张量假设主应力已经沿相应的特征向量的方向，即柯西应力张量的主方向，称为的主方向，称为 p1，p2，p3。三个主应力为。三个主应力为 ，不失普遍性地假设它们的数值大小顺序为不失普遍性地假设它们的数值大小顺序为 。在物体中的某点考虑单位法向为在物体中的某点考虑单位法向为n的一任意面积单元。作用的一任意面积单元。作用在该面积单元上的应力矢量是在该面积单元上的应力矢量是tn。在主方向下，。在主方向下，tn的分量为的分量为 其中单位法向其中单位法向n的分量也是同样相对

8、于的分量也是同样相对于 的主方向的。的主方向的。作用在该面积单元上的正应力为：作用在该面积单元上的正应力为：应力分量应力分量 是作用在该面积单元上的剪应力，它是是作用在该面积单元上的剪应力，它是tn的剪切分量。因此，的剪切分量。因此，tn的大小为的大小为:于是于是 简单代换后有简单代换后有 采用拉格朗日乘子法来求解的采用拉格朗日乘子法来求解的 极值。设极值。设 考虑约束条件考虑约束条件 ，从，从 ，有，有:通过这些方程组，可以解出通过这些方程组，可以解出 和和n的分量。共有两组解。的分量。共有两组解。第一组第一组 由于由于n沿主方向，剪应力都是沿主方向，剪应力都是0，此时，此时 的值最小。的值

9、最小。第二组第二组第二组解给出了剪应力的最大值，它们是最大主应力与第二组解给出了剪应力的最大值，它们是最大主应力与最小主应力的差值的一半。最大剪应力所在的平面，平最小主应力的差值的一半。最大剪应力所在的平面，平分了最大主应力与最小主应力的方向所组成的夹角。分了最大主应力与最小主应力的方向所组成的夹角。例题：例题：设设M点的应力在笛卡尔坐标系表述为点的应力在笛卡尔坐标系表述为我们在平行于我们在平行于Oxy的平面引入一个局部柱坐标系，的平面引入一个局部柱坐标系，柱坐标系的原点为柱坐标系的原点为M点。点。求：求：1.rr 在在M处应该至少有一个极值点处应该至少有一个极值点;2.找出找出 rr是最大值

10、时的是最大值时的 角度；角度；3.在在M点是否能够找到一个点是否能够找到一个 角度，使角度，使 rr 0。解：解：作作 rr 对对 的示意图的示意图 rr在在 0和和2 处处应为相同值应为相同值 除非除非 rr为常数，否则为常数，否则在区域里有极值在区域里有极值2.柱坐标和直角坐标应力分量转换关系柱坐标和直角坐标应力分量转换关系1.(a)求求 rr的极值的极值(d)式是式是 的周期函数，在的周期函数，在0的区间有：的区间有：一个最大值，一个最小值，位置为：一个最大值，一个最小值，位置为：将将(e)代入：代入：将将(e)代入：代入：所以所以 rr在在 1 有最大值，在有最大值，在 2 有最小值有

11、最小值3.将将(a)中第一式写成：中第一式写成：改写成改写成或写成或写成说明没有任何角度说明没有任何角度 使得使得M处的处的 rr0在初始构形中由任意矢量在初始构形中由任意矢量a0 和边界面元和边界面元n0 dS0 形成的元体形成的元体积，在变形后构形中变为由任意矢量积，在变形后构形中变为由任意矢量a 和边界面元和边界面元ndS 形形成的元体积，若变形后与变形前元体积之比为成的元体积，若变形后与变形前元体积之比为J，则可以，则可以写出写出其中其中6 6 名义应力名义应力 回忆面积单元在参考状况和变形后状况下的联系回忆面积单元在参考状况和变形后状况下的联系：定义定义 为作用在参考状态下为作用在参

12、考状态下面积单元上的名义应力，有：面积单元上的名义应力，有：其中，其中，是在变形状况下，作用在相应面积单元上的真实应力。是在变形状况下，作用在相应面积单元上的真实应力。由由 ，我们有：，我们有：名义应力张量名义应力张量，或者称为，或者称为 （彼（彼奥拉奥拉-基尔霍夫）第一应力张量被定义为：基尔霍夫）第一应力张量被定义为：所以所以我们把名义应力分解为未变形和变形构形下的分量，有我们把名义应力分解为未变形和变形构形下的分量，有 这样定义的名义应力有以下的阐述：这样定义的名义应力有以下的阐述：面积单元上作用应力的面积单元上作用应力的 分量，该面分量，该面积单元的法向是积单元的法向是 方向，以及在参考

13、构形中是代表单方向，以及在参考构形中是代表单位面积强度的。位面积强度的。文献中文献中 ,通过关系式通过关系式 与名义力联系起来了。与名义力联系起来了。于是于是 所以，所以，面积单元上作用力的面积单元上作用力的 分量，该面积分量，该面积单元的法向是单元的法向是 方向。方向。注意，注意，第一应力张量并不是对称的。第一应力张量并不是对称的。由由根据柯西应力张量的对称性（根据柯西应力张量的对称性（）,7 7 参考状态下的平衡方程参考状态下的平衡方程通过力等效的想法，我们已经建立了名义应力张量的概念，通过力等效的想法，我们已经建立了名义应力张量的概念，即即 为了在参考状态下建立平衡，我们回顾名义应力张量

14、的为了在参考状态下建立平衡，我们回顾名义应力张量的定义，即定义，即 因此，整体受力平衡有因此，整体受力平衡有 参考状态下的单位体力是参考状态下的单位体力是B，由，由 ,其中其中N是物体表是物体表面面 的单位法向，有的单位法向，有：由通常的做法，采用散度定理有由通常的做法，采用散度定理有 即即对对 两边进行对时间求导有两边进行对时间求导有 其中由于其中由于 ，采用率形式有，采用率形式有这种简单直接地从方程得到的率形式对柯西应力以及它的这种简单直接地从方程得到的率形式对柯西应力以及它的率并不成立。率并不成立。的分量形式有的分量形式有 同理，有率形式同理，有率形式回顾回顾 名义应力名义应力P表示是在

15、参考表面上的面积和法线，即未变形表面，表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是应力的定义。名义应力是非对称的非对称的。名义应力的转置称作为名义应力的转置称作为PK1(第一第一Piola-Kirchhoff)应力。应力。PK2应力为应力为对称的对称的，它和，它和Green应变率在功率上是共轭的。应变率在功率上是共轭的。PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶(势能）。势能）。在在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来 为了说明如何得到

16、不同应力度量之间的转换关系，将以为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式。应力的形式建立名义应力的表达式。通过通过Nanson关系关系对于任意的对于任意的n0都成立，有都成立，有作矩阵变换作矩阵变换从公式可以看到，从公式可以看到，PPT(FFT)，即名义应力张量是非对称的。即名义应力张量是非对称的。Cauchy应力，应力，PK2应力，名义应力的关系应力，名义应力的关系 后拉后拉 前推前推 参考构形参考构形S和和之间的关系，只依赖于变形梯度之间的关系，只依赖于变形梯度F和和J行列式行列式Jdet(F)只要变形已知，应力状态总能够表示为只要变形已知

17、，应力状态总能够表示为、P或者或者S的形式。的形式。可以看出，如果可以看出，如果Cauchy应力对称，那么应力对称，那么S也是对称：也是对称：SST。p pk k=n Lagrange应力（应力（T）、）、Kirchhoff应力（应力（S）定定义义Lagrange（第一（第一类类Piola-Kirchhoff）应应力力时时，假定，假定定定义义Kirchhoff（第二（第二类类Piola-Kirchhoff）应应力力时时，假定，假定x1x3dPn x2daX1四面体微元四面体微元X3 dGNX2dA 当前构形当前构形(n)dPdadG dP .dG F 1 dP .kl pk il 初始构形初始

18、构形TKl TK ilSKL SK IL T dA F S dA 1.应力张量应力张量三种应力的比较三种应力的比较dP p(n)da (N)(N)klSKLTKl一一维维情况下情况下 ,T ,S 例例3.8 平面问题平面问题 设给定初始状态的设给定初始状态的Cauchy应力和运动形式为应力和运动形式为应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，计算初始构形以及计算初始构形以及t/2时构形的时构形的PK2应力，名义应力和旋转应力。应力，名义应力和旋转应力。在初始状态，在初始状态，FI，有，有在在t/2时的变形构形中，变形梯度给出为时的变

19、形构形中，变形梯度给出为1 1 应力度量应力度量例：平面问题例：平面问题 因为应力是嵌入在材料中，在转动因为应力是嵌入在材料中，在转动t/2构形中的应力状态为构形中的应力状态为由于这个问题中的映射为纯刚体转动，由于这个问题中的映射为纯刚体转动，RF，所以当，所以当t/2时时 在纯转动中，在纯转动中，PK2应力是不变的；应力是不变的；PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。应力行为好像是被嵌入在材料中。材料坐标随着材料转动，而材料坐标随着材料转动，而PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。8 8 做功的转换关系做功的转换关系考虑一个位移增量下，功的增量为

20、考虑一个位移增量下，功的增量为当应力恒定时，做功的率形式有当应力恒定时，做功的率形式有当前状态与参考状态下的位置的关系有当前状态与参考状态下的位置的关系有以前定义有以前定义有所以我们有所以我们有或或 假设在假设在 ，的情况下，有的情况下，有其中其中 。如果把如果把 作为名义应力张量来使用，于是有作为名义应力张量来使用，于是有设设RR0 是单位参考体积中的做功的变化率，所以是单位参考体积中的做功的变化率，所以RR0 由于由于 ，我们有，我们有 RR0 再考虑再考虑 RR0 相当于相当于RR0 其中，其中，应力定义为应力定义为以前有以前有可以进一步写为可以进一步写为RR0 所以，所以，RR0 从中

21、我们可以提取出应力形式的从中我们可以提取出应力形式的 第二应力第二应力：RR0 所以，单位初始体积的做功的率形式为所以，单位初始体积的做功的率形式为总之，我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位总之，我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位参考体积中的做功率转化为详细的变形形式，如参考体积中的做功率转化为详细的变形形式，如 我们可以说，我们可以说，P 和和 F 是功共轭变换，是功共轭变换，同理同理 S 和和 E 也也是一种功共轭变换。是一种功共轭变换。RR0 9 应力偏斜张量应力偏斜张量一个一般张量，例如一个一般张量，例如 ，都能唯一分解出一个偏斜部分，都能唯一分解出一个偏斜部分 证明如下：证

22、明如下：假设有两个分解形式，不妨设假设有两个分解形式，不妨设 其中其中于是有于是有 所以所以 和和 有相同的主方向。有相同的主方向。10 客观性原理客观性原理 一个单轴拉伸情况下一个单轴拉伸情况下 在最简单的线弹性情况下，杨氏模量为在最简单的线弹性情况下，杨氏模量为 ，？假设图中所示的棒在转动，作用在假设图中所示的棒在转动，作用在上面的力也如图中所示的随棒在运上面的力也如图中所示的随棒在运动。动。在固定坐标系在固定坐标系e1，e2，e3下，下，的分量已经变了。的分量已经变了。尽管如此，物体中应力状况并没有任何变化，也没有尽管如此，物体中应力状况并没有任何变化，也没有产生任何新的变形。产生任何新

23、的变形。所以，很明显，应力率所以，很明显，应力率 并不适合在本构关系中使用。并不适合在本构关系中使用。引入客观性原理（也叫做物质的时空无差异原理，引入客观性原理（也叫做物质的时空无差异原理，Principle of Material Frame-indifference）代表物质某些性质的客观存在的场函数不因该随观代表物质某些性质的客观存在的场函数不因该随观代表物质某些性质的客观存在的场函数不因该随观代表物质某些性质的客观存在的场函数不因该随观察者的改变而改变，即在坐标的时空变换下，场函察者的改变而改变，即在坐标的时空变换下，场函察者的改变而改变，即在坐标的时空变换下，场函察者的改变而改变，即

24、在坐标的时空变换下，场函数的形式应该是不变的。数的形式应该是不变的。数的形式应该是不变的。数的形式应该是不变的。特别在固体力学中，客观性原理认为，材料的本构特别在固体力学中，客观性原理认为，材料的本构特别在固体力学中，客观性原理认为，材料的本构特别在固体力学中，客观性原理认为，材料的本构关系不应该随观测者的改变而变化，即在时空变化关系不应该随观测者的改变而变化，即在时空变化关系不应该随观测者的改变而变化，即在时空变化关系不应该随观测者的改变而变化，即在时空变化下，本构关系的形式不变，而且本构关系中的张量下，本构关系的形式不变，而且本构关系中的张量下，本构关系的形式不变，而且本构关系中的张量下，

25、本构关系的形式不变，而且本构关系中的张量应该是客观性张量。应该是客观性张量。应该是客观性张量。应该是客观性张量。我们引入观察者，比如参考系。我们引入观察者，比如参考系。当以下条件满足时，我们称两个当以下条件满足时，我们称两个坐标系是等价的：坐标系是等价的：从中所测量的任意两个向量间从中所测量的任意两个向量间从中所测量的任意两个向量间从中所测量的任意两个向量间的夹角都是相等的；的夹角都是相等的；的夹角都是相等的；的夹角都是相等的；任意两个事件间所流逝的时间都是相同的；任意两个事件间所流逝的时间都是相同的；任意两个事件间所流逝的时间都是相同的；任意两个事件间所流逝的时间都是相同的；任意两个事件间相

26、应的时间计量都是相同的任意两个事件间相应的时间计量都是相同的任意两个事件间相应的时间计量都是相同的任意两个事件间相应的时间计量都是相同的（时间标尺相同）。（时间标尺相同）。（时间标尺相同）。（时间标尺相同）。设这两个坐标系分别为设这两个坐标系分别为FF，F F 标构，当且仅当时间标构，当且仅当时间空间通过空间通过 ,相关联时，这相关联时，这两个坐标系全部满足以上的不变性条件（两个坐标系全部满足以上的不变性条件（a）至（）至（d）。）。其中是其中是 正交张量，正交张量，是一个标量常数是一个标量常数。于是有于是有 从中所测量的任意两点间的距离从中所测量的任意两点间的距离从中所测量的任意两点间的距离

27、从中所测量的任意两点间的距离都是相等的；都是相等的；都是相等的；都是相等的；如果某个标量场如果某个标量场 、矢量场、矢量场 、张量场、张量场 是客观性是客观性的，它们必须按以下形式转换：的，它们必须按以下形式转换：这些转换法则保证了这些转换法则保证了 ，的方向在两个相对旋转坐标的方向在两个相对旋转坐标系下的转换中保持不变。系下的转换中保持不变。所以所以为了证明这点，考虑两组正交基为了证明这点，考虑两组正交基e1，e2，e3和和e1，e2，e3，其中正交基，其中正交基ei 是在是在 FF 中定义的，正交基中定义的，正交基ei 是在是在F F 中定义的，它们通过中定义的，它们通过 来变换。来变换。

28、现在，现在，的分量形式有的分量形式有 类似的做法可以证明类似的做法可以证明 接下来我们通过参考变换接下来我们通过参考变换 ，来推导速度，来推导速度 、加速度加速度 、变形梯度率、变形梯度率 和速度梯度和速度梯度 的关系。的关系。如前述，如前述，,。在坐标系在坐标系 F F 下，运动为下，运动为 同时在坐标系同时在坐标系F F 中，有中，有11 客观性率场的描述客观性率场的描述 我们有我们有由由 ,有有 和和进一步有：进一步有：所以有所以有 和和对于速度梯度，对于速度梯度，可以写为可以写为 令令由于由于 我们有我们有即即 是反对称的。是反对称的。此外此外 和和因此因此和和最后，我们来证明，如果某

29、矢量场最后，我们来证明，如果某矢量场 和张量场和张量场 是客观性是客观性的，则它们的对流率的，则它们的对流率 和和也是客观性的。也是客观性的。在坐标系在坐标系F F 中，我们中，我们有有 所以，所以，是客观性的。是客观性的。同理，对于张量同理，对于张量 ，有，有即即所以所以 是客观性的。是客观性的。通过极分解理论通过极分解理论 ,我们可以得到更多的结果。我们可以得到更多的结果。于是有于是有 以前旋度以前旋度 是这样定义的是这样定义的如果如果 ，即，即 。从而从而 ，。也有也有 它是张量它是张量 的另一个客观性率，也就是的另一个客观性率，也就是Jaumann率。率。为了更好地理解为了更好地理解J

30、aumann率，我们考虑应力张量率，我们考虑应力张量 ，在，在正交基正交基ei 下的表达式是下的表达式是 接下来，我们讨论组成接下来，我们讨论组成 各分量的正交基矢量各分量的正交基矢量ei的准确的准确特性。特性。将正交基将正交基ei 以率以率 （物质旋（物质旋率）来旋转，于是有率）来旋转，于是有 和和因此因此即即在瞬时物质旋率为在瞬时物质旋率为 的坐标系下，就有了共旋导数的坐标系下，就有了共旋导数（Corotational Rate）的定义的定义 应力率应力率 即是所说的即是所说的 应力导数。应力导数。给出两个定理给出两个定理:定理：定理：设设R是是n维维Euclid空间的给定区域，空间的给定

31、区域，是区域是区域R的边界。的边界。A是定义在区域是定义在区域R上的上的 r 阶张量场。则：阶张量场。则：式中式中 可以是点乘可以是点乘 、张量积、张量积、叉乘、叉乘。n是是R的边界的边界 上任意点的单位外法线矢量。上任意点的单位外法线矢量。定理：定理：设设A是是n维维Euclid空间区域空间区域R上的上的r阶连续张量场。当阶连续张量场。当对所有对所有都有：都有：则：则：上式称为局部表示定理。上式称为局部表示定理。12 连续性方程和动量方程连续性方程和动量方程考虑在考虑在 时刻，有一体积为时刻，有一体积为 的任意物质区域。设密度的任意物质区域。设密度为为 ，是一连续可微的标量场。，是一连续可微

32、的标量场。假设忽略扩散和化学反应，在变形过程中，体积假设忽略扩散和化学反应，在变形过程中，体积 可能可能变化，但是这个区域内的总质量保持不变。变化，但是这个区域内的总质量保持不变。参考输运公式（参考输运公式（83页）：页）：由于区域由于区域 是任意的，在物体中的每点，我们都有是任意的，在物体中的每点，我们都有连续连续性方程性方程1 1质量守恒质量守恒 (连续性方程连续性方程)质质量量守守恒恒要要求求任任意意材材料料域域的的质质量量为为常常数数，没没有有穿穿过过材材料料域域的的边边界界，不不考考虑质量到能量的转化。根据能量守恒原理，虑质量到能量的转化。根据能量守恒原理，m()的材料时间导数为零，

33、即的材料时间导数为零，即 材料域材料域的质量为的质量为对对上式上式应应用用Reynold转换转换定理得到定理得到由于上式对于任意的子域由于上式对于任意的子域都成立，可以得到都成立，可以得到质量守恒方程质量守恒方程，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。12 连续性方程和动量方程连续性方程和动量方程ReynoldReynold转换定理转换定理 一一个个积积分分的的材材料料时时间间导导数数是是在在材材料料域域上上积积分分的的变变化化率率。材材料料域域随随着着材材料料而而运运动动，在在边边界界上上的的材材料料点点始始终终保保持持在在边边界界上上，且且不不发发生生质

34、质量量流流动动跨跨过过边边界界。材材料料域域类类似似于于Lagrangian网网格格；对对于于材材料料时时间间导导数数的的各种积分形式称为各种积分形式称为Reynold转换定理。转换定理。将右边的两个积分转换到参考域上将右边的两个积分转换到参考域上 t是同一材料点在是同一材料点在t时刻所占据的空间域。时刻所占据的空间域。积分域经过这种变换，积分域经过这种变换，f 成为材料坐标的函数。成为材料坐标的函数。积积分域分域现现在是在是时间时间独立，将极限运算拉入独立，将极限运算拉入积积分内分内进进行，取极限得到行，取极限得到1 1 质量守恒质量守恒 独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是

35、材料时间导数独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数 将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描述，给出描述，给出Reynold转换定理一种形式转换定理一种形式1 质量守恒质量守恒 Reynold转换定理另一种形式转换定理另一种形式对上式右边的第二项应用对上式右边的第二项应用Gauss定理定理 质量守恒方程质量守恒方程质量守恒方程的几种特殊形式质量守恒方程的几种特殊形式(1)(1)当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零,即速度场的散度为零即速度场的散度为零(

36、2)(2)对于对于LagrangianLagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程 将上式左边的积分转换到参考域将上式左边的积分转换到参考域 代代数数方方程程常常常常应应用用于于LagrangianLagrangian网网格格中中以以保保证证质质量量守守恒恒(固固体体力力学学),),在在EulerianEulerian网网格格中中质质量量守守恒恒的的代代数数形形式式不不能能应应用用，通通过过偏偏微微分分方方程程，即即连续性方程保证质量守恒连续性方程保证质量守恒(流体力学流体力学)。设设是光滑张量场。则对物体任何部分是光

37、滑张量场。则对物体任何部分 B和任意时间和任意时间 t：（Reynolds 输运定理。）输运定理。）式中式中。（。（Reynolds 输运定理。）试求：输运定理。）试求：的局部表示。的局部表示。解：解：有：有：该式又称为该式又称为质量守恒定律的局部表示质量守恒定律的局部表示。于是我们有于是我们有 其证明如下其证明如下=0设设 是体力的密度，用单位质量来衡量，来相对于原来引是体力的密度，用单位质量来衡量，来相对于原来引入的用单位当前体积衡量的入的用单位当前体积衡量的 。于是线性的动量守恒有。于是线性的动量守恒有其中其中 是问题中区域的边界表面，是问题中区域的边界表面，是它指向外面的单位法向，是它

38、指向外面的单位法向，是面力矢量。是面力矢量。通过通过 ，有，有 由于由于 任意，我们有任意，我们有 这就是这就是动量方程动量方程。2 2动量方程动量方程13 应力功率应力功率在一体积为在一体积为 、表面积为、表面积为 的物体的物体上，外表面和体力做功的率（输入上，外表面和体力做功的率（输入的机械功率）可以表示为的机械功率）可以表示为P P 其中是其中是 体力（单位质量）的分量，体力（单位质量）的分量，是法向为是法向为 的的表面单元上的面力矢量的分量。表面单元上的面力矢量的分量。根据柯西等式根据柯西等式 和高斯散度定理，面积分可以表和高斯散度定理，面积分可以表示为：示为：于是输入的机械功率可写为

39、于是输入的机械功率可写为PP于是，由动量方程有于是，由动量方程有PP中的第一个积分可以化为中的第一个积分可以化为很明显，这是动能很明显，这是动能 的率形式。的率形式。PP所以输入的机械功率为所以输入的机械功率为 PP但是，速度梯度是变形率和旋转张量的和：但是，速度梯度是变形率和旋转张量的和：而且，而且，（是对称的且是对称的且 是反对称的张量），是反对称的张量），我们最后有：我们最后有：PP第二项就是我们所说的第二项就是我们所说的应力功率应力功率。所以，输入的机械功率。所以，输入的机械功率由物体动能的变化和由于物体变形引起的应力功率组成。由物体动能的变化和由于物体变形引起的应力功率组成。量量 是

40、单位当前体积中的应力功率。单位初始体积中的是单位当前体积中的应力功率。单位初始体积中的应力功率是应力功率是 ，其中，其中 ，是，是Kirchhoff应力，应力，单位质量的应力功率是单位质量的应力功率是 。PP我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位参考体我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位参考体积中的做功率转化为详细的变形形式，如积中的做功率转化为详细的变形形式，如 我们可以说，我们可以说，P 和和 F 是功共轭变换，是功共轭变换，同理同理 S 和和 E 也也是一种功共轭变换。是一种功共轭变换。RR0 14 虚功原理虚功原理考虑在加载系统中，在体力考虑在加载系统中，在体力b和表面力和表面力

41、 作用下保持静态平衡的一物体。作用下保持静态平衡的一物体。假设位移场假设位移场 使得应力处于平衡状态，使得应力处于平衡状态，所以应力满足静力平衡方程所以应力满足静力平衡方程 现在考虑一满足边条件的位移场现在考虑一满足边条件的位移场 ，在在 处必须为处必须为0，但在但在 处任意。此外，我们设处任意。此外，我们设 连续且可导（必须），连续且可导（必须），可任意小。我们假设在将可任意小。我们假设在将 加到加到 上时，虚位移对系统没上时，虚位移对系统没有影响，静力平衡仍然保持不变。有影响，静力平衡仍然保持不变。位移引起的功的增量为位移引起的功的增量为 或或然而然而 或或 ,和和 中的中的第二项积分通过

42、散度定理有第二项积分通过散度定理有通过平衡条件有通过平衡条件有 通过通过 来定义一个小应变来定义一个小应变 :于是，根据的于是，根据的 对称性对称性,演化为演化为 或者写成分量形式或者写成分量形式这就是这就是虚功原理虚功原理。在名义应力和增量在名义应力和增量 中，也有相似的结论中，也有相似的结论其中其中 和和 是是 参考状态下的体积和表面。参考状态下的体积和表面。15 广义广义Clapeyron方程方程设设 是静定容许应力场，它与物体体积是静定容许应力场，它与物体体积 中的体力中的体力 以以及及 的边界上的边界上 的面力保持平衡。设的面力保持平衡。设 是是 中连续可微中连续可微的位移场，有应变

43、场的位移场，有应变场 ，。由于由于 ，其中，其中 是是 朝外的单位法向，通过高斯朝外的单位法向，通过高斯散度定理，有散度定理，有 但是由于平衡有但是由于平衡有 ，通过，通过 的对称性有的对称性有 ，代入上式，于是有广义，代入上式，于是有广义Clapeyron方程方程 这个著名的等式直接导出了这个著名的等式直接导出了虚功原理虚功原理。根据所述的边界值问题，即有根据所述的边界值问题，即有 中的体力，中的体力，上的面力，上的面力，和和 上的位移，我们假设上的位移，我们假设 是任意动许可位移是任意动许可位移场场 和真实位移场和真实位移场 的差。一个动许可位移场是连续可的差。一个动许可位移场是连续可微的

44、，它满足微的，它满足 中所述的位移条件。称位移差为虚位移中所述的位移条件。称位移差为虚位移场，即场，即 很明显，在很明显，在 上上 。广义。广义Clapeyron方程变为方程变为这就是虚功原理。如果上式对于任意动许可的虚位移场这就是虚功原理。如果上式对于任意动许可的虚位移场 ，以及通常关系下的虚应变场，以及通常关系下的虚应变场 都成立，那么应力场都成立，那么应力场 与与 所给的体力所给的体力 和和 中的面力中的面力 保持平衡，即保持平衡，即 在在 中，和中，和 在在 上。上。1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性目的是探讨刚体转动的作用：目的是探讨刚体转动的作用：1.1.表表述述极极分

45、分解解定定理理，该该定定理理能能够够从从任任何何运运动动中中得得到到刚刚体体转转动。动。2.2.考考虑虑刚刚体体转转动动对对于于本本构构方方程程的的影影响响。证证明明对对于于CauchyCauchy应应力力，需需要要对对时时间间导导数数进进行行修修改改建建立立率率本本构构方方程程。这这就就是是框架不变性或者应力的客观率框架不变性或者应力的客观率。3.3.表表述述三三种种框框架架不不变变率率：JaumannJaumann率率。TruesdellTruesdell率率和和GreenGreenNaghdiNaghdi率。率。4.4.展展示示了了由由于于次次弹弹性性本本构构方方程程和和这这些些不不同同

46、变变化化率率的的错错误误应应用，在结果中的惊人误差。用，在结果中的惊人误差。极分解定理极分解定理 1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性 在在大大变变形形问问题题中中，阐阐明明转转动动作作用用的的基基本本原原理理就就是是极极分分解解定定理理。这这个个定定理理表表述述为为，任任何何变变形形梯梯度度张张量量F可可以以乘乘法法分分解解为为一一个个正正交交矩矩阵阵R和和一一个个对对称张量称张量U的乘积，称的乘积，称U为右伸长张量为右伸长张量(先伸长再转动先伸长再转动)。物物体体的的任任何何运运动动包包括括一一个个变变形形，由由对对称称映映射射U表表示示，和和一一个个刚刚体体转转动动R；所所有有

47、的的正正交交变变换换都都是是转转动动。在在这这个个方方程程中中没没有有出出现现刚刚体体平平动动，因因为为dx和和dX分分别别是是在在当当前前和和参参考考构构形形中中的的微微分分线线段段，而而且且微微分分线线段段的的映映射射不不受受平平动动的影响。的影响。如如果果将将方方程程积积分分得得到到x(X,t)的的形形式式，那那么么刚刚体体平平动动将将作作为为一一个个积积分分常数出现。在刚体平动中，常数出现。在刚体平动中，FI，和，和dxdX。其中其中 有有 1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性极分解定理证明极分解定理证明 得到得到 右边总是一个正矩阵，所以矩阵右边总是一个正矩阵，所以矩阵U的

48、所有特征值总是正值，故的所有特征值总是正值，故U的逆矩阵存在的逆矩阵存在矩阵矩阵U与工程应变联系得非常紧密。它的主值是在矩阵与工程应变联系得非常紧密。它的主值是在矩阵U的主方向上线段的的主方向上线段的伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量UI 称为称为Biot应变张量应变张量。一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式称称V为左伸长张量（先转动再伸长）。为左伸长张量（先转动再伸长）。1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性通过极分解定理分别求在通过极分解定理分别求在t1.0 和和 t0.5

49、 时的刚体转动和伸长张量时的刚体转动和伸长张量 考虑三角形单元的运动，其中节点坐标考虑三角形单元的运动，其中节点坐标xI(t)和和yI(t)分别为分别为 例例3.103.10 在面积坐标的形式下，运动描述为在面积坐标的形式下，运动描述为 1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性将面积坐标表示为材料坐标将面积坐标表示为材料坐标，t=1时刻时刻变形梯度变形梯度 伸长张量伸长张量U 例例3.103.10 1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性转动矩阵转动矩阵R R 这个转动是一个逆时针这个转动是一个逆时针90的旋转的旋转 这这个个变变形形包包含含节节点点1和和3之之间间线线段段的的伸伸

50、长长，放放大大系系数数为为2（U11），和和节节点点3和和2之之间间线线段段的的缩缩短短，放放大大系系数数为为0.5（见见U22），导导致致沿沿x方向发生平移方向发生平移3a和和90的旋转的旋转 在式在式(E3.10.1)中取中取t1所表示的运动所表示的运动 例例3.103.10 1616 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 考虑率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律考虑率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律Cauchy应力张量为什么需要客观率？应力张量为什么需要客观率？本构方程有效吗？本构方程有效吗？1616 极分解和框架不变性极分解