《微分方程一阶》PPT课件.ppt

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1、当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律(物体的温度的变化率与该物体与周围介质温度之差成正比)开始变凉。假设两小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的温度保持20不变。(1)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t(以小时为单位)的函数随时间变化的；(2)画出温度时间曲线；(3)最终尸体的温度如何?用图像和代数两种方式表示这种结果；(4)如果尸体被发现时的温度是30，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的?微分方程微分方程引例1分析：要建立尸体的温度分析：要建立尸体的温度 与时间与时间 的函数关系的函数关系已知：物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境已知：物体冷却的速度与

2、当时的物体温度和周围环境温度之差成正比。温度之差成正比。得到得到-微分方程微分方程解解由已知由已知-微分方程微分方程解方程，方程两边积分解方程，方程两边积分凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例一、定义一、定义第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一阶一阶一阶一阶二阶二阶一阶一阶一阶一阶微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数恒等式的函数(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中微分方程中出现的未知函数的最高阶导

3、数的阶数数的阶数.的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.二、微分方程的阶与解二、微分方程的阶与解一阶微分方程的初始条件一阶微分方程的初始条件:二阶微分方程的初始条件二阶微分方程的初始条件:(3)(3)初始条件初始条件:用来确定通解中任意常数取值的条件用来确定通解中任意常数取值的条件.称为可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法解法若满足若满足一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程若满足若满足例例 求微分方程求微分方程解

4、解分离变量分离变量两端积分两端积分通解为通解为解解分离变量分离变量两端积分两端积分（可以是隐式解，即用方程表示）（可以是隐式解，即用方程表示）分离变量分离变量两端积分两端积分通解为通解为解解:分离变量分离变量两端积分两端积分通解为通解为由：由：特解为特解为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:方程称为方程称为齐次的齐次的.方程称为方程称为非齐次的非齐次的.线性：指的次数都是一次线性：指的次数都是一次二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.解线性齐次方程解线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)采

5、用常数变易法采用常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设设 是非齐次方程的解是非齐次方程的解2.解线性非齐次方程解线性非齐次方程积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解例例原方程的通解为：原方程的通解为：解解1：齐次通解为齐次通解为常数变易法设常数变易法设带入原方程求得带入原方程求得为非齐次的解为非齐次的解例例解解1：通解为通解为常数变易法设常数变易法设带入原方程求得带入原方程求得原方程的通解为：原方程的通解为：为非齐次的解为非齐次的解解解2例例例例解解2：一阶线性一阶线性练习：解下列微分方程练习：解下列微分方程原方程的通解为：原方程的通解为：分离变量分离变量一阶线性一阶线性