《微分方程建模 》PPT课件.ppt

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1、第四章第四章 微分方程建模微分方程建模 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。用的数学工具之一。4.1 微分方程的几个简单实例微分方程的

2、几个简单实例例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得：从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不是一个两阶非线性方程，不易求解。当易求解。当很小时，很小时，sin，此时，此时，可考察（可考察（3.13.1）的近似线性方程：）的近似线性方程：（

3、4.2）由此即可得出由此即可得出 （3.23.2）的解为）的解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图4-1（4.14.1）的）的近似方程近似方程例例2 一个半径为一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在的小孔在t=0时刻被打时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？多少时间？解解:以容器的底部以容器的底部O点为点为 原点，取坐标系如图原点，取坐标系如图3.3所示。所示。令令h(t)为为t时刻容

4、器中水的高度，现建立时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分满足的微分方程。方程。设水从小孔流出的速度为设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：因体积守衡，又可得：易见：易见：故有：故有：即：即：这是可分离变量的一阶微分方程，得这是可分离变量的一阶微分方程，得 RxySO图图4-3hr 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本

5、节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。行建立相应的模型。美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将

6、是十分微小的。由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方离散化为连续，方便研究便研究4.24.2 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型模型模型模型1 1 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率人口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r=b b-d d,b b为出生率，为出生率，d d为死亡率），为死亡率），既：既：或或（4.5）（4.6）（4.1）的解为：的解为：其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻

7、t0时的种群数。时的种群数。马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需种群数量翻一番所需的时间是固定的的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有：故故模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口数为口数为30.6（即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数大，人口数大约每约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年

8、至年至1961的的260年人口实际数年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个

9、，只好一个人站在另一人的肩个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。上排成二层了。故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与

10、人口数量有关。它应当与人口数量有关。模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：从而有：（3.7）r(N N)是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义的为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此最简单的形式

11、是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程：或或（3.8）（4.8）被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（物学家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数）首先提出的。一次项系数是负的，

12、因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（4.84.8）可改写成：可改写成：（3.9）(4.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为K（近似地将

13、（近似地将K看成常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（4.9）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（4.9）也）也被称为统计筹算律的原因。被称为统计筹算律的原因。图图4-5对对（4.94.9）分离变量：分离变量：两边积分并整理得：两边积分并整理得：令令N(0)=N0，求得：，求得：故故（4.94.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为：（4.10）易见：

14、易见：N(0)=N0，N(t)的图形请看图的图形请看图4.5 模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（EFGaussEFGauss）也做了一个原生物草履虫实）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和验，实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型

15、来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线：几乎完全吻合，见图几乎完全吻合，见图3.6。图图4-6MalthusMalthus模型和模型和Logistic

16、Logistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程（均为对微分方程（4.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常为一常数，（数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符

17、。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。个较为有趣的实例。例例5 5

18、新产品的推广新产品的推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出的时刻已销售出的电饭包数量为电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统，于是由统计筹算律：计

19、筹算律：记比例系数为记比例系数为k k，则则x(t)满足：满足：此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为：还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数：容易看出，容易看出，x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。由由x(t0)=0，可以得出，可以得出 =1，此时，此时，。当当t0，x(t)单调增加，而当单调增加，而当tt0时，时，x(t)k k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力速率），但也有

20、例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当有关）。当k k1 1 k k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flopflip-flop）。当）。当k k1 1=k k时时，对固定的，对固定的t t，令，令k kk k1 1取极限（应用罗比达法则），取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：可得出在这种情况下的血药浓度为：所以所以 图图4-94-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，

21、常用于容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。图4-9 我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C C(t t)，当然也，当然也容易求得血药浓

22、度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员使用才能发挥最大效

23、用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗一种能治疗SARSSARS的良药或预防的良药或预防S

24、ARSSARS的有效疫苗来，但这只能是一种空的有效疫苗来，但这只能是一种空想。想。SARSSARS的突如其来，形成了的突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生外行不懂、内行陌生”的情况。国内的情况。国内权威机构一度曾认为这是权威机构一度曾认为这是“衣原体衣原体”引起的肺炎，可以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARSSARS的控制与治疗丝毫不起作用。的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，两个月后（

25、感染引起的肺炎，两个月后（4 4月月1616日），世界卫生组织正式确认日），世界卫生组织正式确认SARSSARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。上述研究是将机体看成一个均匀分布

26、的同质单元，故上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。这就需要多房室系统模型。IIIk12k21两房室系统图4-10 图图4-104-10表示的是一种常见的两房室模型

27、，表示的是一种常见的两房室模型，其间的其间的k k1212表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII的变化率前的的变化率前的系数，而系数，而k k2121则表示由室则表示由室IIII返回室返回室I I的变化率前的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。情况。当差异较大的部分较多当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房时，可以类似建立多房室系统，即室系统，即N N房室系统房室系统4.44.4 传染病模型传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因传染病

28、是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。流行，并建立起相应的多房室模型。医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会波及到的总人数大体上保持为

29、一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。问题的提出：问题的提出：设某地区共有设某地区共有n+1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）的病人数为）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给时间内将疾病传播给k个人（个人（k称为该疾病的传染强度），且称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复

30、设此疾病既不导致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流行初期模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。推移，将越来越偏离实际情况。已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则不加任何区分，来建立两房室系统。则可导

31、出：则可导出：故可得：故可得：(4.15)模型模型2 记记t时刻的病人数与易感染人数时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，的假设及（竞争项）统计筹算律，其中：其中：解得：解得：（4.17）可得：可得：（3.16）统计结果显示，统计结果显示，(4.17)(4.17)预报结果比预报结果比(4.15)(4.15)更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传

32、染病的流行为此传染病的流行高峰。高峰。令：令：得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。为了使模型更精为了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统infectiverecoveredsusceptiblekl（4.18）l 称为传染病恢复系数 求解过程如下：求解过程如下：对（对（3）式求导，由（）式求导，由

33、（1）、（）、（2）得：）得：解得：解得：记：记：则：则：将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数为时刻的三类人数为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型：模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得：从而解得：从而解得：积分得：积分得：（3.19）不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述

34、现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成：其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。，此疾病在该地区根本流行不起来。如果如果 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在i(t)增加的同时，增加的同时，伴随地有伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时，i(t)开始减小，开始减小，直至此疾病在该地区消失。直至此疾病在该地区消失。鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作

35、用，被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阀值。的阀值。的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人。的所有人。图4-14 综上所述，模型综上所述，模型3 3指出了传染病的以下特征：指出了传染病的以下特征：（1 1）当当人人群群中中有有人人得得了了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。（2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，相相反反，是是因因为为缺少传播者才停止传播的，否则

36、将导致所有人得病。缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。模型检验：模型检验：医疗机构一般依据医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数来统计疾病的波及人数，从广义上，从广义上理解，理解，r(t)为为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。模型并无影响。及：及：注意到：注意到：可得可得：（4.20）通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：

37、一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：代入（代入（4.204.20）得近似方程：）得近似方程：积分得：积分得：其中：其中：这里双曲正切函数这里双曲正切函数 ：而：而：对对r(t)求导求导：（4.21）曲线曲线 在医学上被称为疾病传染曲线。在医学上被称为疾病传染曲线。图图4-14（a）给出了（）给出了（4.21）式曲线的图形，可用医疗单位式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。图4-14（a）图图4-14（b）记录了）记录了1905年下半年至年下半年至1906年上半年印度孟买瘟年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两

38、者有较好的一致性。疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。4.54.5 捕食系统的捕食系统的VolterraVolterra方程方程 问题背景：问题背景：意大利生物学家意大利生物学家DAncona曾致力于鱼类种群相互制约曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一

39、些不是很鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在理想的鱼类占总渔获量的百分比。在 19141923年期间，意年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：年代年代1914191419151915191619161917191719181918百分比百分比11.911.921.421.422.122.121.221.236.436.4年代年代1919191919201920192119211922192219231923百分比百分比27.327.316.016.015.915.914.814

40、.810.710.7 他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.VolterraV.Volterra，希望，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。他能建立一个

41、数学模型研究这一问题。Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并，并建立双房室系统模型。建立双房室系统模型。1、模型建立、模型建立 大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为存将按增长率为r1的指数律增长（的指数律增长（Malthus模型），既设：模型），既设：由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量

42、的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：对于食饵对于食饵（PreyPrey）系统）系统 ：1 1反映了捕食者掠取食饵的能力反映了捕食者掠取食饵的能力对于捕食者对于捕食者（PredatorPredator）系统）系统：捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：，即：综合以上分析，建立综合以上分析，建立P-P模型（模型（Volterra方程）的方程组：方程）的方程组：（4.31）方程组（方程组（4.31）反映了在没有）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关与

43、捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程系。下面我们来分析该方程组。组。但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：现，再次利用统计筹算律，得到：2、模型分析、模型分析 方程组（方程组（4.31）是非线性的，不易直接求解。容易看）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：出，该方程组共有两个平衡点，即：Po(0,0)是平凡平衡点且明显是不稳定，没必要研究：和和解释解释DAncona发现的现象发现的现象 引入捕捞能力系数引入捕捞能力系数，（，（01），），表示单位时间

44、表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：方程应为：平衡点平衡点P的位置移动到了：的位置移动到了：由于捕捞能力系数由于捕捞能力系数的引入，的引入，食用鱼的平均量有了增加，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下而食肉鱼的平均量却有所下降，降，越大，平衡点的移动也越大，平衡点的移动也越大。越大。食用鱼的数量反而食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，因捕捞它而增加，真的是这样？！真的是这样？！P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物

45、发生病合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。害虫更加猖獗了。（3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如（当然要在一定限度内，如0，b10，共栖系统。，共栖系统。（ii）a20

46、（或或a20，b10），捕食系统。），捕食系统。（iii）a20，b10，竞争系统。，竞争系统。（i）（iii）构成了生态学中三个最基本的类型，种群间）构成了生态学中三个最基本的类型，种群间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。对于一般的生态对于一般的生态系统，如果通过系统，如果通过求解的微分方程求解的微分方程来讨论常常会遇来讨论常常会遇到困难。到困难。怎样来讨论一般的生态系统怎样来讨论一般的生态系统如果困难的话可如果困难的话可以研究种群的变以研究种群的变化率，搞清轨线化率，搞清轨线的走向来了解各的走向来了解各种群数量的最终种群数量的最终趋势。

47、趋势。在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它应起的作用。研究应起的作用。研究19991999年美国大学生数学建模竞赛题年美国大学生数学建模竞赛题A A（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的

48、海洋生态状况后，可将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、生态状况后，可将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光合作用），进而影响到生物链中的其他生物。由于无法得合作用），进而影响到生物链中的其他生物。由于无法得到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南

49、极的事件并未发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的灵敏度，即可取得了十分有意义的结果。灵敏度，即可取得了十分有意义的结果。4.74.7 分布参数法建模分布参数法建模 前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。设。这种方法建模被称为集中参数法。考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参

50、数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。例子，来说明这种方法的应用。例例8 人口问题的偏微分方程模型人口问题的偏微分方程模型 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。分布参数法来建立人口问题的数学模型。令令p(t,x)为为t时刻年龄为时刻年龄为x的人口密度，则的人口密度，则t时人口总数为：时人口总数为：其中其中A为人的最大寿命