3_3随机变量的独立性.ppt

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1、概率统计概率统计下页结束返回一、随机变量的独立性的定义一、随机变量的独立性的定义3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性下页二、随机变量的独立性的判定二、随机变量的独立性的判定概率统计概率统计下页结束返回下页 引例引例.口袋中有口袋中有20只球，编号依次为只球，编号依次为 1,2,3,20，现从，现从任取一球，记录球的编号为任取一球，记录球的编号为X，并将该球放回；然后再从袋中任，并将该球放回；然后再从袋中任取一球，记录第二次取得的球编号为取一球，记录第二次取得的球编号为Y.显然，显然，X与与Y的取值互不影响，即有的取值互不影响，即有3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性概率统计概率统计下页

2、结束返回 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的分布为的分布为F(x，y)，边缘概率密度分别，边缘概率密度分别为为FX(x)，FY(y)，若对所有的，若对所有的 x，y 都有都有则称随机变量则称随机变量X与与Y是相互独立的是相互独立的.即即下页一、随机变量的独立性的定义一、随机变量的独立性的定义概率统计概率统计下页结束返回二、随机变量的独立性的判定二、随机变量的独立性的判定 1.1.离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性若若(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为(xi,yj),(i，j=1，2，)，则则 X与与Y相互独立的充分必要条件是对一切相互独立的充分必要条件是对一切 i，j=

3、1,2,，都有，都有下页即即 例例1已知已知(X,Y)的边缘分布律，且的边缘分布律，且X与与Y 相互独立，求相互独立，求(X,Y)的联合分布律的联合分布律.X 1 2P 1/3 2/3 Y 1 2 3 P 1/2 1/3 1/6概率统计概率统计下页结束返回 例例1已知已知(X,Y)的边缘分布律，且的边缘分布律，且X与与Y 相互独立，求相互独立，求(X,Y)的联合分布律的联合分布律.X 1 2P 1/3 2/3 Y 1 2 3 P 1/2 1/3 1/6解：解：由由X与与Y 相互独立得相互独立得从而得从而得(X,Y)的联合分布为的联合分布为下页p11=p1 p1=1/6，p23=p2 p3=2/

4、18，1 2 31 1/6 1/9 1/182 2/6 2/9 2/18XY概率统计概率统计下页结束返回 例例2设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，下表列出了二维随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布及关于的联合分布及关于X和和Y的边缘分布中的部分数据，请补充的边缘分布中的部分数据，请补充下表：下表：1/241/43/41/121/31/23/81/4下页2.2.连续型随机变量独立性的判定连续型随机变量独立性的判定 若若(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数 f(x,y)处处连续，则处处连续，则X和和Y相互独立的相互独立的充分必要条件是充分必要条件是 f(x,y)=fX

5、(x)fY(y).概率统计概率统计下页结束返回例例3已知已知(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度,试判断试判断X,Y是否独立是否独立.其中其中,解：解：因为因为由由 fX(x)fY(y)=f(x,y)知知X与与Y相互独立相互独立.可见可见,联合分布联合分布 边缘分布边缘分布.独立独立下页1 xy1概率统计概率统计下页结束返回 例例4一电子产品由两个部件构成，以一电子产品由两个部件构成，以X和和Y分别表示两个部分别表示两个部件的寿命件的寿命(单位单位:小时小时)，已知，已知X和和Y的联合分布函数的联合分布函数问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？解解:计算得计算得由于由于 故故X与与Y相互独

6、立相互独立.下页),()(),(yFxFyxFYX=概率统计概率统计下页结束返回 例例5 5设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且都在相互独立且都在0,10,1上均匀分布，上均匀分布，求方程求方程有实根的概率有实根的概率 解：解：由于由于X和和Y均在均在0,10,1上均匀分布，所以上均匀分布，所以由由X和和Y相互独立，得相互独立，得要使方程要使方程有实根，须有实根，须P方程方程有实根有实根=下页x概率统计概率统计下页结束返回 习习3_4.3_4.设随机向量设随机向量X,Y的分的分布如下布如下(右右)，又已知，又已知PXY=0=1，求求(X,Y)的联合分布，并判定的联合分布，并判定X与与Y是否相

7、互独立是否相互独立.X与与Y是不独立是不独立.再由边缘分布律的定义可求得其它再由边缘分布律的定义可求得其它 pij (略略).下页Pi.P.j1/41/21/41/21/2 -1 0 1 0 1 XY 解：解：设随机向量设随机向量(X,Y)的联合的联合分布如右表分布如右表.p11p12p21p22p31p32由由PXY=0=1，知，知 p11+p21+p22+p31=1,从而得从而得p12+p32=0,即即p12=p32=0,OO p11=1/4 p12=0 p21=0 p22=1/2 p31=1/4 p32=0 概率统计概率统计下页结束返回作业作业：71页 10，11，12，13结束概率统计概率统计下页结束返回三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数设（设（X,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为 f(x,y),由由得得即即的几何意义如右图的几何意义如右图.其值表示红曲边梯形的面积其值表示红曲边梯形的面积.下页