二维傅里叶变换.ppt

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1、二维傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material ScienceJoseph Fourier,our heroFourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information

2、Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School o

3、f Physics&Material ScienceIII III III III 三角级数及三角函数系的正交性三角级数及三角函数系的正交性三角级数及三角函数系的正交性三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动简单的周期运动:(谐波函数)(A为为振幅振幅,复杂的周期运动复杂的周期运动:令得函数项级数得函数项级数 为为角频率角频率,为为初相初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数.1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Scienc

4、e定理定理定理定理 1.1.组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分,则有则有1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science定理定理定理定理3(3(收敛定理收敛定理收敛

5、定理收敛定理,展开定理展开定理展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中(证明略证明略)为 f(x)的傅里叶系数.x 为连续点1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数在一

6、个周期内，在一个周期内，n=0,1,.,由积分可知由积分可知,1.三角函数集三角函数集 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集1.3.1傅里叶级数傅里叶级数(Fourier Series)1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science在满足在满足狄利克雷条件狄利克雷条件时，可展成时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2 2级数形式级数形式级数形式级数形式直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度

7、正弦分量的幅度1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science指数函数形式的指数函数形式的傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数3系数系数利用复变函数的正交特性利用复变函数的正交特性也可写也可写为为Fn1复指数正交函数集复指数正交函数集2级数形式级数形式1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science说明说明说明

8、说明周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science都是都是离散求和的形式离散求和的形式，表明，表明(1)一个随时间或空间变化的周期函数一个随时间或空间变化的周期函数(信号信号),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加各简谐波分量的频率为加各简谐波分量的频率为 ,是离散的，取值为是离散的，取值为0,为

9、直流分量，为直流分量，为基频，为基频，其余为高次谐波分量其余为高次谐波分量(2)是其中一个简谐波成分，是其中一个简谐波成分，或或是该简谐波成分的权重，它是频率是该简谐波成分的权重，它是频率 的函数，的函数，称为傅里叶频谱函数称为傅里叶频谱函数(简称频谱函数简称频谱函数)。1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science一维傅里叶变换一维傅里叶变换：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱0 再用再用 表示

10、频谱就不合适了，虽然各频谱幅度表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数.01.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science单位频带上的单位频带上的频谱值频谱值1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science频谱密度函数频谱密度函数(s

11、pectrum density function)，简称，简称频谱函数频谱函数w傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶逆变换傅里叶逆变换傅里叶逆变换傅里叶逆变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3.2傅里叶变换傅里叶变换1.直角坐标系内的二维傅里叶变换直角坐标系内的二维傅里叶变换二元函数的二元函数的傅里叶变换傅里叶变换(即傅里叶谱或即傅里叶谱或频谱频谱)定义为定义为其其傅里叶逆变换傅里叶逆变换定义为定义为 非周期函数可分解为连续

12、频率的余弦分量的积分，非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，是各频率成分的权重因子是各频率成分的权重因子(weighting factor)1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science在电信号处理、通信中，一般是在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号，的时间信号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.在光学中，多数情况下研究的对象是在光学中，多数情况下研究的对象是2D或或3D图像图像处理或成像，一般是二维或三

13、维空间分布处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二可表示为二维或三维空间函数维或三维空间函数).1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science 可分离变量可分离变量函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写成两个一维函数傅里叶变换的乘积成两个一维函数傅里叶变换的乘积.1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Informa

14、tion Optics School of Physics&Material Science2.极坐标系内的二维傅里叶变换极坐标系内的二维傅里叶变换或或1)定义式定义式对于具有对于具有圆对称的圆对称的函数，采函数，采用极坐标用极坐标形式比较形式比较方便方便.1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physi

15、cs&Material Science2)傅里叶贝塞尔变换傅里叶贝塞尔变换圆对称函数，有圆对称函数，有 其中，利用了其中，利用了贝塞尔函数贝塞尔函数关系式关系式1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science式中是第一类零阶贝塞尔函数式中是第一类零阶贝塞尔函数(is a Bessel function of first kind,zero order)与无关，表明与无关，表明圆对称函数圆对称函数的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称

16、，可表示为，可表示为 圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式 相同，常称之为相同，常称之为傅里叶贝塞尔傅里叶贝塞尔变换变换(Fourier-Bessel transform)1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science

17、1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Sciencea.在整个在整个xy平面上绝对可积平面上绝对可积b.在任一有限区域里，在任一有限区域里，必须只有有限个间断必须只有有限个间断点和有限个极值点点和有限个极值点 c.必须没有无穷大间断点必须没有无穷大间断点 3.傅里叶变换存在及其应用条件傅里叶变换存在及其应用条件1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Phys

18、ics&Material Science说明：说明：(1)物理上实际存在的物理量物理上实际存在的物理量(如各种随时间或空间变化的如各种随时间或空间变化的函数函数)，其傅里叶变换总是存在的，其傅里叶变换总是存在的.R.N.Bracewell曾指出：曾指出：物理上的可能是一个变换存在的有效的充分条件物理上的可能是一个变换存在的有效的充分条件.(Physical possibility is a valid sufficient for the existence of a transform)即：从应用的角度看，即：从应用的角度看，可以认为傅里叶变换实际上总是存在的可以认为傅里叶变换实际上总是存在

19、的(2)物理上，为了数学描述的方便，常引入一些理想化的函物理上，为了数学描述的方便，常引入一些理想化的函数数(idealized mathematical functions)，其经典意义下的傅，其经典意义下的傅里叶变换不存在，但可以引入里叶变换不存在，但可以引入广义傅里叶变换广义傅里叶变换这种变换这种变换不仅在理论上是自洽的，而且在应用上也能给出符合实际不仅在理论上是自洽的，而且在应用上也能给出符合实际的结果的结果1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Sc

20、ience1.3.3广义傅里叶变换广义傅里叶变换 1.极限意义下的傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换无经典意义下的傅里叶变换但无经典意义下的傅里叶变换但 和一个函和一个函数序列数序列 具有以下关系具有以下关系 而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶变换变换 都存在，而且在时，函数序列也有都存在，而且在时，函数序列也有确定的极限，则定义确定的极限，则定义1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science(1)可先定义一个函

21、数序列可先定义一个函数序列可见可见例如：不满足绝对可积条件，例如：不满足绝对可积条件，无经典意义无经典意义下的傅里叶变换下的傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science(2)求的傅里叶变换求的傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章

22、第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science(3)的极限即为傅里叶变换的极限即为傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science2函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换即即 的傅里叶变换是常数的傅里叶变换是常数1 那么常数那么常数1的傅里叶逆变换是否成立呢？的傅里叶逆变换是否成立呢？根据函数的广义定义，只要证明在积分根据函数的广义定义，只要证明在积分中的作用

23、相当于函数即可中的作用相当于函数即可根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science设有一个函数，它在处连续，并且其设有一个函数，它在处连续，并且其傅里叶变换存在，即有：傅里叶变换存在，即有：证明：证明：1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Materi

24、al Science可见在积分中的作用可见在积分中的作用相当于相当于函数，所以函数，所以有有 ，即存在：，即存在：类似的有类似的有 即即还有还有1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science3.广义傅里叶变换计算举例广义傅里叶变换计算举例(1)阶跃函数阶跃函数 的傅里叶变换的傅里叶变换1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Materi

25、al Science(2)梳状函数梳状函数 的傅里叶变换的傅里叶变换(a为正实数为正实数)周期为周期为a，频率为，频率为1/a 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数 1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science所以所以若，则有若，则有 1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对频谱频谱函数函数1原函数原函数11.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science原函数原函数频谱频谱函数函数1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 第一章第一章 线性系统分析线性系统分析Information Optics School of Physics&Material Science原函数原函数频谱频谱函数函数结束结束