信号与系统第六章.ppt

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1、第第6 6章章 离散信号与系统的域分析离散信号与系统的域分析6.1 6.1 引言引言6.2 6.2 变换变换6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析在连续系统的分析中，通过将输入信号在连续系统的分析中，通过将输入信号f(tf(t)分解成基本信号的分解成基本信号的线性组合办法，可以把时域中复杂的卷积积分运算，转化为频域、线性组合办法，可以把时域中复杂的卷积积分运算，转化为频域、复频域中的简单乘法运算。复频域中的简单乘法运算。与此对应，连续系统的数学模型也由时域中的微（积）分方程与此对应，连续系统的数学模型也由时域中的微（积）分方程转化成频域、复频域中

2、的代数方程。这个步骤可以用转化成频域、复频域中的代数方程。这个步骤可以用图图6-16-1（a a）来来描述。离散系统的分析也是这样，通过求描述。离散系统的分析也是这样，通过求f(nf(n)的的Z Z变换转化为变换转化为Z Z域、域、频域中的代数方程。频域中的代数方程。图图6-16-1（b b）描述了这一过程。描述了这一过程。6.1 6.1 引言引言返回6.2.1 6.2.1 从拉普拉斯变换到变换从拉普拉斯变换到变换离散时间信号的离散时间信号的Z Z变换，可以由抽样信号的拉氏变换推导出来。变换，可以由抽样信号的拉氏变换推导出来。设连续时间信号为设连续时间信号为f(tf(t)，利用，利用 函数的筛

3、选特性，在函数的筛选特性，在，0 0，瞬间抽样，则抽样函数瞬间抽样，则抽样函数 可表示为可表示为对抽样函数对抽样函数 取拉氏变换取拉氏变换令复变函数令复变函数 ，式中，式中则则6.2 6.2 变换变换下一页 返回这是对抽样序列这是对抽样序列 的的Z Z变换式。对于任何一个离散时间序变换式。对于任何一个离散时间序列列f(nf(n)的的Z Z变换式。对于任何一个离散时间序列变换式。对于任何一个离散时间序列f(nf(n)，其变换式定义，其变换式定义为为上式称双边上式称双边Z Z变换。变换。若若f(nf(n)是因果序列，则总会有一个起始时刻（设为是因果序列，则总会有一个起始时刻（设为n=0n=0），若

4、满），若满足足f(nf(n)=0(n0)=0(n0)，则上式可写作，则上式可写作上式称单边上式称单边Z Z变换。变换。在实际中，多数序列具有因果性，亦称为有起因序列，所以，在实际中，多数序列具有因果性，亦称为有起因序列，所以，这里主要讨论单边这里主要讨论单边Z Z变换。变换。6.2 6.2 变换变换下一页 返回上一页Z Z变换可简单记作变换可简单记作离散序列离散序列f(nf(n)的变换是复变数的变换是复变数 的幂级数，其系数是的幂级数，其系数是f(nf(n)的的样值。样值。f(nf(n)的的Z Z变换展开式变换展开式6.2.2 Z6.2.2 Z变换的收敛域变换的收敛域Z Z变换的定义式是一个无

5、穷级数，只有当级数收敛时，变换的定义式是一个无穷级数，只有当级数收敛时，Z Z变换才变换才有意义，因此研究有意义，因此研究Z Z变换的收敛域是非常重要的。所谓变换的收敛域是非常重要的。所谓F(zF(z)的收敛域的收敛域是指使和式是指使和式 存在的复变函数存在的复变函数Z Z的集合。在的集合。在Z Z平面（复平面）平面（复平面）内内6.2 6.2 变换变换下一页 返回上一页式中，复数的幅值式中，复数的幅值 ，幅角，幅角 。则和式为。则和式为如果能找到三个正数如果能找到三个正数M M，满足不等式满足不等式并使和式并使和式 为有限值，其充分必要条件是为有限值，其充分必要条件是 和和即即6.2 6.2

6、 变换变换下一页 返回上一页式中，式中，是由是由 的右边序列的右边序列f(nf(n)的形式确定，的形式确定，是由是由n0n00，则则 6.2 6.2 变换变换下一页 返回上一页若若m=0m=0且且n0n0，则，则6.6.初值定理初值定理初值定理适用于右边序列，即适用于初值定理适用于右边序列，即适用于nMnM（M M为整数时），为整数时），f(nf(n)=0)=0的序列。的序列。如果序列在如果序列在n0n0（M=0M=0）时，）时，f(nf(n)=0)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为6.2 6.2 变换变换下一页 返回上一页则序列的初值则序列的初值7.7.终值定理终值定理终值定理适用

7、于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得序列。而不必求得序列。若序列若序列f(nf(n)=0)=0，nMnM（M M为整数时），为整数时），6.2 6.2 变换变换下一页 返回上一页设设 则则 由于上式是取由于上式是取 的极限，因此，终值定理要求的极限，因此，终值定理要求z=1z=1在收敛在收敛域域 内，这是内，这是 存在。存在。以上七条性质在变换求解中是极为重要的，熟悉这七条性质，以上七条性质在变换求解中是极为重要的，熟悉这七条性质，并灵活应用将对运算起到简化作用。并灵活应用将对运算起到简化作用。6.2 6.2 变换变换返

8、回上一页求求F(zF(z)的的Z Z逆变换，就是由象函数逆变换，就是由象函数F(zF(z)求原序列求原序列f(nf(n)的问题。一的问题。一般而言，双边序列般而言，双边序列f(nf(n)可分为因果序列可分为因果序列 和反因果序列和反因果序列 ，即，即式中，式中，为因果序列；为因果序列；为为反因果序列。反因果序列。相应地，其相应地，其Z Z变换也分为两部分变换也分为两部分其中其中6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换下一页 返回当已知象函数当已知象函数F(zF(z)时，根据给定的收敛域可以求得时，根据给定的收敛域可以求得 和和 ，并分别求得它们所对应的原序列，并分别求得它们所对应的原序列 和和 ，然后

9、按线性性，然后按线性性质，将二者相加就得到质，将二者相加就得到F(zF(z)所对应的原序列所对应的原序列f(nf(n)。6.3.1 6.3.1 部分分式展开法部分分式展开法在离散系统中，经常遇到的象函数是在离散系统中，经常遇到的象函数是Z Z的有理分式，它可以写为的有理分式，它可以写为式中式中 ，A(zA(z)、B(zB(z)分别为分别为F(zF(z)的分母和分子多项式。的分母和分子多项式。6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换下一页 返回上一页根据代数学，只有真分式才能展开为部分分式。因此，当根据代数学，只有真分式才能展开为部分分式。因此，当m=nm=n时，时，还不能将还不能将F(zF(z)直接展

10、开，通常可以将直接展开，通常可以将 展开，然后再乘以展开，然后再乘以z z；或；或者先从者先从F(zF(z)分出常数项，再将余下的真分式展开为部分分式。分出常数项，再将余下的真分式展开为部分分式。将将 展开，设展开，设F(zF(z)极点极点 均单阶均单阶则则其中其中 有有 因此因此 6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换下一页 返回上一页注意：若注意：若v v有重根，可用部分分式法，但是，最好用留数法（反有重根，可用部分分式法，但是，最好用留数法（反演积分法）。演积分法）。6.3.2 6.3.2 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）根据根据Z Z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是

11、变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 和和z z的幂级数。因此，按照给定的序列可将的幂级数。因此，按照给定的序列可将 和和 展开为幂级数展开为幂级数6.3.3 6.3.3 围线积分法围线积分法围线积分法式根据复变函数的柯西定理，借助于留数定理，围线积分法式根据复变函数的柯西定理，借助于留数定理，6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换下一页 返回上一页把把Z Z逆变换的积分定义式表示为围线逆变换的积分定义式表示为围线c c内。内。由由及及 可得可得 其中，其中，C C是含是含F(zF(z)极点的逆时针封闭线极点的逆时针封闭线6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换返回上一页6.4.1 6.4.1 差

12、分方程的差分方程的Z Z变换求解方法变换求解方法设设LTILTI系统的激励与响应为系统的激励与响应为f(nf(n)，y(ny(n)，描述，描述N N阶系统的后向差阶系统的后向差分方程的一般形式为分方程的一般形式为其中，其中，设上式中设上式中n=0n=0，则系统的，则系统的初始状态为初始状态为y(-1)y(-1)，y(-2)y(-2)，令令Zy(nZy(n)=)=Y(zY(z)，Zf(nZf(n)=)=F(zF(z)，根据单边，根据单边Z Z变换的时移特性，变换的时移特性，右移右移i i个单位。则个单位。则Z Z变换为变换为6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回那么在

13、那么在n0n0时时f(nf(n)=0)=0，因此，因此f(n-jf(n-j)的的Z Z变换为变换为求解可得求解可得其中其中 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页由上式可以看出，第一项与初始状态有关，而与输入状态无关，由上式可以看出，第一项与初始状态有关，而与输入状态无关，因而是零输入响应的象函数，设为因而是零输入响应的象函数，设为 ；第二项仅与初始状态有；第二项仅与初始状态有关，因而是零状态响应的象函数，设为关，因而是零状态响应的象函数，设为 。因此。因此取上式的逆变换，得系统的全响应取上式的逆变换，得系统的全响应其中其中 6.4 6.4 离散系统的离散系统

14、的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页6.4.2 6.4.2 单位响应和系统函数单位响应和系统函数描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，对于因果系统，当时对于因果系统，当时n0n0，有，有h(nh(n)=0)=0，故可以用迭代法求出，故可以用迭代法求出h(0)h(0)，h(1)h(1)，h(nh(n)。6.4.3 6.4.3 系统函数的零、极点与系统特性系统函数的零、极点与系统特性1.1.系统函数的零、极点系统函数的零、极点n n阶阶LTILTI系统的系统函数的定义为系统的系统函数的定义为 6.4 6.4 离散系统的离散

15、系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页其中，其中，均为实常数（均为实常数（i=0,1,2,i=0,1,2,，n n；j=0,1,2,j=0,1,2,，m m），其中），其中 。A(sA(s)和和B(sB(s)都是都是s s的有理多项式，因而能求得多项式等于零的根。的有理多项式，因而能求得多项式等于零的根。其中，其中，A(sA(s)的根的根 称为系统函数称为系统函数H(sH(s)的极点；的极点；B(sB(s)=0)=0的的 根称为系统函数根称为系统函数H(sH(s)的零点。的零点。于是于是将将H(sH(s)的零点、极点绘在的零点、极点绘在z z平面上，用平面上，用“”表示零点，用表示零点，用

16、“”表示极点，就得到系统的零极图。表示极点，就得到系统的零极图。6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页对于高阶零、极点，可在图的相应位置表明阶数。对于高阶零、极点，可在图的相应位置表明阶数。2.2.系统函数的零、极点与时域响应系统函数的零、极点与时域响应若若H(sH(s)的极点均为一阶极点，的极点均为一阶极点，H(sH(s)可以部分分式展开，即可以部分分式展开，即则则3.3.系统函数的零、极点与频域响应系统函数的零、极点与频域响应如果系统函数如果系统函数H(zH(z)的极点均在单位圆内，那么它在单位圆上也的极点均在单位圆内，那么它在单位圆上也收敛，可知，系统的

17、频率响应函数收敛，可知，系统的频率响应函数6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页式中，式中，为角频率，为角频率，为取样周期。在为取样周期。在z z平面上，平面上，复数可以用矢量表示，复数可以用矢量表示，令令式中式中 ，分别为差矢量的模，分别为差矢量的模，是它们的幅角，于是它们的幅角，于是是式中幅频响应为式中幅频响应为6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页相频响应为相频响应为 当当 从从0 0变化到变化到 时，即复变量时，即复变量z z从从z=1z=1沿单位圆逆时针方沿单位圆逆时针方向旋转一周时，各矢量的模和幅角也随之变化，因此

18、，可以得到幅向旋转一周时，各矢量的模和幅角也随之变化，因此，可以得到幅频和相频响应曲线。频和相频响应曲线。4.4.系统函数的稳定性系统函数的稳定性一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统，也则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统，也就是说，设就是说，设 、为正实常数，如果系统对于所有的激励为正实常数，如果系统对于所有的激励6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析下一页 返回上一页其零状态响应其零状态响应则成该系统是稳定的。则成该系统是稳定的

19、。对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数H(zH(z)的极点的极点都在都在z z平面的单位圆内；其逆也成立，即若平面的单位圆内；其逆也成立，即若H(zH(z)的极点均在单位圆内，的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。则该系统必是稳定的因果系统。用系统函数用系统函数H(zH(z)的零、极点判断系统的稳定性时，对于有些系的零、极点判断系统的稳定性时，对于有些系统失效。如果系统既是可观测又是可控制的，那么用描述输出与输统失效。如果系统既是可观测又是可控制的，那么用描述输出与输入关系的系统函数研究系统的稳定性是有效的。入关系的系统函数研究系统的稳定性是有效的。6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析返回上一页图图6-1返回（a a）（b b）