《数图》第8章 图像重建.ppt

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1、数字图像处理基础数字图像处理基础 Digital Image Processing第八章第八章 图像重建图像重建1Digital Image Processing图像重建图像重建图像的三维重建：在不损坏物体的前提下，借助于透视和计算图像的三维重建：在不损坏物体的前提下，借助于透视和计算机技术获取物体内部某种参数、由该参数建立三维机技术获取物体内部某种参数、由该参数建立三维“图像图像”的过程。的过程。多直线的投影图多直线的投影图 物体的横截面（断层）的物体的横截面（断层）的“图像图像”数据数据 断层图像叠加断层图像叠加 三维三维“图像图像”横截面横截面“图像图像”并不代表亮度（和普通图像不同），

2、并不代表亮度（和普通图像不同），代表具体物体的某一物理数据：代表具体物体的某一物理数据：如物体的密度、物体对射线的衰减系数等如物体的密度、物体对射线的衰减系数等2Digital Image Processing成像方式：透射断层成像、发射断层成像、反射断层成像。成像方式：透射断层成像、发射断层成像、反射断层成像。成像种类：成像种类：X射线成像、超声成像、微波成像、射线成像、超声成像、微波成像、核磁共振成像、核磁共振成像、激光共焦成像、激光共焦成像、医疗应用：计算机断层成像（医疗应用：计算机断层成像（CT，Computed Tomography），），磁共振成像（磁共振成像（MRI，Magnet

3、ic Resonance Imaging），），正电子发射成像（正电子发射成像（PET，Positron Emission Tomography）。）。主要内容：主要内容：投影重建的主要类型和投影定理；投影重建的主要类型和投影定理；傅立叶反变换的投影重建，卷积的逆投影的重建，级数展开的重建；傅立叶反变换的投影重建，卷积的逆投影的重建，级数展开的重建；CT图像重建技术。图像重建技术。3Digital Image Processing第第1 1节节 投影重建基础投影重建基础 要了解物体内部的结构，要了解物体内部的结构，有损检测分析，有损检测分析，可以将物体切成非常薄的薄片来进行分析。可以将物体切成

4、非常薄的薄片来进行分析。无损检测分析，无损检测分析，如生理学组织是不可以或不可能进行切片。如生理学组织是不可以或不可能进行切片。可采用可采用X射线、射线、射线、超声波等投影来获取组织的平面切片图像。射线、超声波等投影来获取组织的平面切片图像。投影射线成像的基本原理：投影射线成像的基本原理：人体组织对人体组织对X射线的衰减作用，射线的衰减作用，衰减是因为人体组织对射线吸收和散射的结果，衰减是因为人体组织对射线吸收和散射的结果，人体内的不同结构（如脂肪、肌肉、骨骼等）对人体内的不同结构（如脂肪、肌肉、骨骼等）对X射线吸收能力有所不同。射线吸收能力有所不同。当当X射线照射到人体组织时，通过探测、接收

5、透射线或反射线，射线照射到人体组织时，通过探测、接收透射线或反射线，生成生物组织的平面切片图像，从而判断体内的密度分布情况。生成生物组织的平面切片图像，从而判断体内的密度分布情况。4Digital Image Processing投影重建：投影重建：从一个物体的多条直线上的投影图重建二维图像的过程。从一个物体的多条直线上的投影图重建二维图像的过程。具体问题：具体问题：投影重建的理论保证、用什么射线、如何检测、射线如何排列、投影重建的理论保证、用什么射线、如何检测、射线如何排列、入射线入射线图图8.1 人体组织对射线的吸收人体组织对射线的吸收散射线散射线散射线散射线透射线透射线散射线散射线人体组

6、织人体组织5Digital Image Processing1.投影重建方式投影重建方式 例：对于三维函数例：对于三维函数f(x,y,z)：看成是一个密度未知的铁块，内部无法进入，：看成是一个密度未知的铁块，内部无法进入，将此铁块切成若干非常薄的铁片，将此铁块切成若干非常薄的铁片，求出其中每一薄片的密度，则可知道全部铁块的密度。求出其中每一薄片的密度，则可知道全部铁块的密度。求三维函数值的问题转化为求二维函数值的问题，求三维函数值的问题转化为求二维函数值的问题，把二维函数当作一幅图像来对待，求函数值就是图像的把二维函数当作一幅图像来对待，求函数值就是图像的投影重建投影重建，重建若干二维图像，堆

7、叠成三维函数（图像）。重建若干二维图像，堆叠成三维函数（图像）。这一套方法称之为这一套方法称之为三维图像重建。三维图像重建。6Digital Image Processing（1）透射断层重建）透射断层重建 透射（透射（transmission）投影成像：）投影成像：当位于物体外部的射线穿过物体后当位于物体外部的射线穿过物体后在检测器上得到的值实际上就叫做在检测器上得到的值实际上就叫做射线的投影。射线的投影。等强度的射线透过不同密度分布物体时等强度的射线透过不同密度分布物体时得到的投影值不同，得到的投影值不同，投影值相同不能判断物体的密度相同。投影值相同不能判断物体的密度相同。因此，投影重建时

8、需要一系列投影因此，投影重建时需要一系列投影 才能重建二维图像。才能重建二维图像。入射线入射线6 2 2 2入射线入射线6 1 4 1入射线入射线少透射少透射高密度体高密度体多透射多透射入射线入射线低密度体低密度体图图8.2 等强度射线穿透不同组织的情况等强度射线穿透不同组织的情况7Digital Image Processing（2）发射断层重建）发射断层重建 发射（发射（emission）断层成像系统：）断层成像系统：发射源在物体内部，发射源在物体内部，从物体外检测放射量。从物体外检测放射量。检测到物体内部组织的结构分布。检测到物体内部组织的结构分布。正电子发射成像（正电子发射成像（PET

9、，Positron Emission Tomography）放射源衰减时放出正电子的放射性离子，放射源衰减时放出正电子的放射性离子，正电子与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。正电子与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线。检测器围绕物体相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线。检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器，检测由一对正负电子产生呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器，检测由一对正负电子产生的光子，的光子，正电子正电子负电子负电子光光子子图图8.3 PET成像系统示意图成像系统示意图检测器

10、检测器检测器检测器光光子子8Digital Image Processing（3）反射断层重建）反射断层重建 反射（反射（reflection）断层成像：）断层成像：射线入射到物体上，检测经物体反射（散射）后的信号来重建图像。射线入射到物体上，检测经物体反射（散射）后的信号来重建图像。入射波信号：入射波信号：例如单色平面波，直接发射到物体上；例如单色平面波，直接发射到物体上；反射波信号：反射波信号：被接收器接收到，代表物体的特征参数（声速、密度等）。被接收器接收到，代表物体的特征参数（声速、密度等）。应用：应用：医用超声成像，获取人体软组织的反射超声强度；医用超声成像，获取人体软组织的反射超声

11、强度；如合成孔径雷达成像，获取回波强度。如合成孔径雷达成像，获取回波强度。9Digital Image Processing（4）磁共振成像）磁共振成像 磁共振成像（磁共振成像（MRI）：）：氢核中随机排列的具有一定动量和旋量的质子在磁场中旋转，氢核中随机排列的具有一定动量和旋量的质子在磁场中旋转，当适当强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向，当适当强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向，共振场信号除去，质子吸收的能量将以相同频率的电磁波形式被释放，共振场信号除去，质子吸收的能量将以相同频率的电磁波形式被释放，根据检测到的信号强度就可以确定某一方向上物体质子的密

12、度。根据检测到的信号强度就可以确定某一方向上物体质子的密度。10Digital Image Processing图图8.4 二维函数二维函数f(x,y)在在x,y坐标轴上投影坐标轴上投影f(x,y)yxzgx(y)gy(x)2.投影定理投影定理 函数函数f(x,y)在在x轴上（沿轴上（沿y方向）的投影方向）的投影gy(x)：(8.1)函数函数f(x,y)在在y轴上（沿轴上（沿x方向）的投影方向）的投影gx(y)：(8.2)11Digital Image Processing设设f(x,y)的傅立叶变换为的傅立叶变换为F(u,v)：(8.3)(8.4)上式表明：上式表明：gy(x)是是F(u,0

13、)的傅立叶反变换。的傅立叶反变换。gx(y)是是F(0,v)的傅立叶反变换。的傅立叶反变换。“切片切片”定理：定理：函数函数f(x,y)在在x轴上投影的傅立叶变换等于轴上投影的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换在的傅立叶变换在 (u,v)平面上沿平面上沿u轴（轴（v=0）平面上的）平面上的“切片切片”。图图8.5 gy(x)的傅立叶变换的傅立叶变换vuF(u,0)=G(u)F(u,v)（8.1）12Digital Image Processing将投影原理推广到一般情况：将投影原理推广到一般情况：x-o-y坐标围绕原点旋转坐标围绕原点旋转度后标记为度后标记为-o-t 坐标，直线坐标，直线与

14、与x轴的夹角为轴的夹角为。函数函数f(x,y)沿着沿着t方向在轴方向在轴上的投影为：上的投影为：(8.6)上式对上式对进行一维傅立叶变换：进行一维傅立叶变换：(8.7)R是傅立叶频率分量。是傅立叶频率分量。图图8.6 坐标旋转关系坐标旋转关系tyxf(x,y)(8.5)把式（把式（8.6）代入上式）代入上式(8.8)13Digital Image Processing用（用（8.5）的坐标变换关系式将上式右边的变量）的坐标变换关系式将上式右边的变量和和t 统一成统一成x和和y，多元函数积分中变量代换的多元函数积分中变量代换的Jacob行列式：行列式：(8.9)将将J 代入（代入（8.8）式，完

15、成变量代换，）式，完成变量代换，(8.10)将将R看作二维频率域看作二维频率域u-o-v中和中和u夹角为夹角为的一直线，的一直线，u=Rcos，v=Rsin：(8.11)可见：可见：f(x,y)在一条与在一条与x轴夹角为轴夹角为的直线的直线上的投影的傅立叶变换上的投影的傅立叶变换 等于其二维傅立叶变换在与等于其二维傅立叶变换在与u 轴成轴成方向上的切片。方向上的切片。14Digital Image Processing图像重建技术：图像重建技术：如投影变换如投影变换G(R,)中对所有的中对所有的R和和值都已知，值都已知，则图像的二维傅立叶变换则图像的二维傅立叶变换F(u,v)可以完全确定，可以

16、完全确定，对对F(u,v)进行二维傅立叶反变换，就可以得到进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)。根据根据2D-DFT的旋转特性：的旋转特性：f(x,y)在在x轴上投影的傅立叶变换，轴上投影的傅立叶变换，当投影旋转当投影旋转度以后，度以后，则其傅立叶变换也相应地旋转则其傅立叶变换也相应地旋转度。度。图图8.7 投影定理示意图投影定理示意图uvG(R,)F(u,v)|F(u,v)R15Digital Image Processing第第2节节 傅立叶反变换图像重建傅立叶反变换图像重建 1.基本原理基本原理 根据投影定理，当切片趋向无穷多，可获根据投影定理，当切片趋向无穷多，可获F(u,v)

17、值，进行值，进行IFT重建图像重建图像f(x,y)。(8.12)用极坐标表示用极坐标表示 (8.13)如果知道所有如果知道所有R和和的投影变换值的投影变换值G(R,)，则变换域的二维函数将全部确定，则变换域的二维函数将全部确定，取傅立叶反变换就可以得到图像函数。取傅立叶反变换就可以得到图像函数。u=Rcosv=Rsin16Digital Image Processing利用傅立叶变换的共轭对称性利用傅立叶变换的共轭对称性 (8.14)(8.15)傅立叶投影重建图像：傅立叶投影重建图像：(8.16)连续函数的傅立叶反变换图像重建步骤：连续函数的傅立叶反变换图像重建步骤：计算未知计算未知 在某一角

18、度的投影在某一角度的投影 ，求出求出 的一维傅立叶变换的一维傅立叶变换 ，获得获得 ，计算计算 对各个不同的角度的积分，得到对各个不同的角度的积分，得到 。更换积分限更换积分限17Digital Image Processing 2.离散化处理离散化处理 实际图像重建中的离散化：实际图像重建中的离散化：图图8.8 傅立叶反变换的离散化设置傅立叶反变换的离散化设置xynv0dD yx(8.7)(8.15)(8.16)(8.17)(8.18)(8.19)18Digital Image Processing离散图像的傅立叶反变换法重建步骤如下：离散图像的傅立叶反变换法重建步骤如下：1）由投影函数）由

19、投影函数g(md,n)，根据式（根据式（8.17）对）对N个不同个不同n方向上投影进行一维傅立叶变换，方向上投影进行一维傅立叶变换，得到得到N个频域函数个频域函数G(kR,n)的值。的值。2）对不同角度的极坐标频域函数）对不同角度的极坐标频域函数|k R|G(kR,n)，用（用（8.18）式计算其一维傅立叶反变换，得到）式计算其一维傅立叶反变换，得到N个个f1(px,qy,n)值。值。3）利用（）利用（8.19）式对）式对N个个f1(px,qy,n)的值求和，的值求和，得到离散重建图像得到离散重建图像f(px,qy)。19Digital Image Processing第第3节节 卷积逆投影图

20、像重建卷积逆投影图像重建 傅立叶反变换重建法：傅立叶反变换重建法：优点：计算量比较小，当数据量和图像尺寸大时比较合适。优点：计算量比较小，当数据量和图像尺寸大时比较合适。不利：需要进行坐标变换、二维插值处理，重建精度受会到影响。不利：需要进行坐标变换、二维插值处理，重建精度受会到影响。卷积逆投影重建法：卷积逆投影重建法：与傅立叶变换反重建法相似投影切片定理为基础；与傅立叶变换反重建法相似投影切片定理为基础；重建算法直接在时域进行；重建算法直接在时域进行；在图像噪声较小的情况下，能快速重建出准确清晰的图像；在图像噪声较小的情况下，能快速重建出准确清晰的图像；在在X射线射线CT成像中，卷积逆滤波重

21、建法用得较多。成像中，卷积逆滤波重建法用得较多。20Digital Image Processing1.重建过程重建过程 R为频域极轴变量，为频域极轴变量，为极角变量。实际投影数据为极角变量。实际投影数据g(,)总是范围有限的，当总是范围有限的，当的取样间隔为的取样间隔为d 时，在频率时，在频率R的变化范围将是的变化范围将是 （8.14)(8.22)(8.21)(8.20)21Digital Image Processing(8.23)（8.15）(8.24)对某个对某个：重建图像为重建图像为对所有对所有的积分：的积分：22Digital Image Processingf1(.)为投影数据为

22、投影数据 g(,)与脉冲响应为与脉冲响应为h()的滤波器的卷积。的滤波器的卷积。h()为卷积函数，为卷积函数，h()的傅立叶变换为的傅立叶变换为H(R)=|R|重建滤波器。重建滤波器。卷积逆投影重建卷积逆投影重建的关键：设计的关键：设计重建滤波器重建滤波器。1/2dvu-1/2d|R|H(R)图图8.9 重建滤波器的频率响应重建滤波器的频率响应(8.23)(8.21)h()是频率响应为是频率响应为 H(R)=|R|的滤波器的滤波器23Digital Image Processing2.重建滤波器重建滤波器（8.28）(8.21)求积分求积分(8.25)(8.26)FT(8.23)（8.27）离

23、散化离散化第第4节节 代数法图像重建代数法图像重建傅立叶变换法重建，滤波器逆投影重建：傅立叶变换法重建，滤波器逆投影重建：基于投影定理，基于投影定理，在变换域内处理，在变换域内处理，在连续域内进行解析处理，引入离散化和有限近似。在连续域内进行解析处理，引入离散化和有限近似。代数重建技术代数重建技术:离散图像的重建方法（级数展开法）逐次逼近的叠代算法。离散图像的重建方法（级数展开法）逐次逼近的叠代算法。25Digital Image Processing 1.代数法基本原理代数法基本原理 将目标划分为许多将目标划分为许多大小相等的体积单元。大小相等的体积单元。图图8.10 扫描重建栅格扫描重建栅

24、格发射源发射源检测器检测器检测结果检测结果yi第第i条射线条射线x1xnxn+1xN 物体物体栅栅格格第第j个方格个方格(放大放大)26Digital Image Processing代数法重建图像的过程便归结于计算每个体单元的衰减系数。代数法重建图像的过程便归结于计算每个体单元的衰减系数。aij表示第表示第j个方格对沿第个方格对沿第i条射线所做的贡献的权值，条射线所做的贡献的权值，yi表示沿第表示沿第i条射线方向的总吸收的值：条射线方向的总吸收的值：（8.29）M为扫描该物体的总射线条数，为扫描该物体的总射线条数，N=nn为小方格的总数，为小方格的总数，xj为欲求的第为欲求的第j个方格的吸收

25、系数，个方格的吸收系数，可用第可用第i条射线在第条射线在第j个小格上截取的面积表示个小格上截取的面积表示aij。（8.30）Y是射线经过目标衰减后所测量的值构成的是射线经过目标衰减后所测量的值构成的M1维矢量，维矢量，X是是N1维由目标栅格所构成的未知的图像（吸收系数）矢量，维由目标栅格所构成的未知的图像（吸收系数）矢量，A为为MN大小的大小的稀疏的稀疏的投影矩阵，投影矩阵，经典求解困难，常采用迭代方法求解。经典求解困难，常采用迭代方法求解。矩阵表示矩阵表示Y=A X27Digital Image Processing 2.叠代算法叠代算法 （8.29）是关于）是关于xj (j=1,2,N)的

26、的M个方程，在个方程，在N维空间上表示为维空间上表示为M个超平面。个超平面。如果所有如果所有M个超平面相交于一点，交点即为方程组的唯一解。个超平面相交于一点，交点即为方程组的唯一解。二维空间的叠代求解：二维空间的叠代求解：（8.31）初始点初始点O 直线直线L1上的上的P点点 第二条直线第二条直线L2上的点上的点Q L1上，上，直到在直到在L1和和L2上的投影点重合为止。这个重合点就是方程的唯一解。上的投影点重合为止。这个重合点就是方程的唯一解。图8.11 二维空间求解的迭代过程示意图 0QPOL1L2x1 x2x(0)x(1)x(2)28Digital Image ProcessingN维情

27、况维情况:迭代起始点迭代起始点x(0)投影到投影到第一个超平面上得到第一个尝试解第一个超平面上得到第一个尝试解 x(1)：（8.32）x(1)投影到第二个超平面上得到投影到第二个超平面上得到x(2)第第M个超平面得到个超平面得到x(M)。第第k+1步的叠代公式：步的叠代公式：（8.33）算法的收敛：算法的收敛：超平面之间的夹角越小收敛的越慢；超平面之间的夹角越小收敛的越慢；初始值不同影响收敛性以及收敛速度；初始值不同影响收敛性以及收敛速度；初始值点和收敛点的距离的不同会影响收敛速度。初始值点和收敛点的距离的不同会影响收敛速度。29Digital Image Processing第第5节节 计算

28、机断层扫描技术计算机断层扫描技术 CT计算机断层扫描，利用数字图像处理方法来获取三维图像数据的技术。计算机断层扫描，利用数字图像处理方法来获取三维图像数据的技术。CT扫描成像的功能：扫描成像的功能：射线对人体中某一薄层组织扫描，射线对人体中某一薄层组织扫描，检测器对射线采集，检测器对射线采集，计算机对采集数据进行处理，计算机对采集数据进行处理，结果数据在监视器上显示图像。结果数据在监视器上显示图像。扫描扫描图图8.12 CT扫描成像示意图扫描成像示意图计算机计算机准直器准直器X射线管射线管视频监视器视频监视器测量电路测量电路检测器检测器30Digital Image Processing图图8

29、.13 CT一次平移扫描所获得的输出信号一次平移扫描所获得的输出信号(b)光电倍增管输出电信号光电倍增管输出电信号检测点位置检测点位置信号电流信号电流X检测器检测器平移接收平移接收X射线管射线管平移扫描平移扫描(a)CT机对人体扫描的平移运动机对人体扫描的平移运动受检受检组织组织X射线射线某一角度的某一角度的CT扫描过程扫描过程31Digital Image Processing第第1次平移次平移图图8.14 头颅头颅CT扫描成像示意图扫描成像示意图X射线管射线管X检测器检测器旋旋 转转第第29次平移次平移CT图像的形成：图像的形成：逐步旋转，获得一幅断层逐步旋转，获得一幅断层扫描图像；扫描图

30、像；以一定的间隔，得到一系以一定的间隔，得到一系列的断层图像；列的断层图像；所有断层图像，经计算机所有断层图像，经计算机处理，形成人体头颅组处理，形成人体头颅组织的三维图像。织的三维图像。32Digital Image ProcessingCT 图像的灰度值，表示人体组织对图像的灰度值，表示人体组织对X射线的衰减程度（与水作比较）：射线的衰减程度（与水作比较）：表表8.1 人体各组织的人体各组织的CT近似值近似值倍率倍率 水的衰减系数水的衰减系数 人体组织的衰减系数人体组织的衰减系数CT值值=组组 织织与水比与水比较较的的X射射线线衰减系数衰减系数/%CT 值值血血 浆浆2.211.1水水 肿肿1.82.28.811.1血血 块块7.437.0脑脑膜瘤膜瘤4.65.223.027.0灰灰 质质3.8 19.033Digital Image Processing