四种命题间的相互关系3.ppt

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1、1.1.3四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系 若若f(xf(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(xf(x)是周期函数；是周期函数；若若f(xf(x)是周期函数，则是周期函数，则f(xf(x)是正弦函数；是正弦函数；若若f(xf(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(xf(x)不是周期函数；不是周期函数；若若f(xf(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(xf(x)不是正弦函数。不是正弦函数。pqqppqpq 我们已经知道命题我们已经知道命题(1)(1)与命题与命题(2)(3)(4)(2)(3)(4)之间的关系，你能说出其中任意两个命题之之间的关

2、系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？间的相互关系吗？原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p 否命题否命题若若 则则 逆否命题逆否命题 若若 则则 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系例例1 1“若若x x2 2+y+y2 200，则，则x x，y y至少有一个不为至少有一个不为0 0”是命题是命题A A的否命题，的否命题，写出命题写出命题A A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。及其逆命题、逆

3、否命题并判断它们的真假。解：命题解：命题A:A:若若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x x，y y全都为全都为0 0；逆命题：若逆命题：若x x，y y全都为全都为0 0，则，则x x2 2+y+y2 2=0=0；逆否命题：若逆否命题：若x x，y y至少有一个不为至少有一个不为0 0，则，则x x2 2+y+y2 200。否命题否命题逆命题逆命题互为互为 逆否逆否四种命题的真假性是否也有一定的相四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？互关系呢？真真真真真真探究一探究一原命题：原命题：到一个角的两边距离相等的点到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的都在这个角的平分线上平分线上.逆

4、命题逆命题:角的平分线上的点角的平分线上的点,到这个角的两边距离相到这个角的两边距离相等等.否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个都不在这个角的平分线上角的平分线上.逆否命题逆否命题:不在这个角的平分线上的点不在这个角的平分线上的点,到这个角的两到这个角的两边距离不相等边距离不相等.原命题原命题原命题原命题 (真真)逆命题逆命题逆命题逆命题 (真真)否命题否命题否命题否命题 (真真)逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 (真真)真真真真真真真真探究二探究二原命题：原命题：若两个三角形全等若两个三角形全等,则它们的面积相等则它们的面积相等.逆命题逆命题:若

5、两个三角形的面积相等若两个三角形的面积相等,则它们全等则它们全等.否命题否命题:若两个三角形不全等若两个三角形不全等,则它们的面积不相等则它们的面积不相等.逆否命题逆否命题:若两个三角形的面积不相等若两个三角形的面积不相等,则它们不全则它们不全等等.原命题原命题 (真真)逆命题逆命题 (假假)否命题否命题 (假假)逆否命题逆否命题 (真真)真真真真假假假假探究三探究三原命题：原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角若两个角相等，则这两个角是对顶角逆命题逆命题:若两个角是若两个角是对顶角，则这两个角相等对顶角，则这两个角相等.否命题否命题:若两个角不相等，则这两个角不是对顶角若两个角不相等，则这

6、两个角不是对顶角.逆否命题逆否命题:若若两个角不是对顶角，则两个角不相等两个角不是对顶角，则两个角不相等.原命题原命题 (假假)逆命题逆命题逆命题逆命题 (真真)否命题否命题 (真真)逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 (假假)假假假假真真真真探究四探究四原命题：原命题：凡是素数，都是奇数凡是素数，都是奇数.逆命题逆命题:凡是奇数，都是素数凡是奇数，都是素数.否命题否命题:不是素数，不是奇数不是素数，不是奇数.逆否命题逆否命题:不是奇数，不是素数不是奇数，不是素数.原命题原命题 (假假)逆命题逆命题逆命题逆命题 (假假)否命题否命题 (假假)逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题 (假假)假假假假假假

7、假假一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：情况：原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假l 四种命题的真假性之间的关系：四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关，它们的真假性没有关系系.例例2 2 证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.证明：若证明：若x x，y y中至少有一个不为中至少

8、有一个不为0 0，不妨设，不妨设x0 x0，则，则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0，也就是说也就是说x x2 2+y+y2 2 0.0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为 真命题真命题 因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。求证

9、：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。已知：如图，在已知：如图，在O O中，弦中，弦ABAB、CDCD交于交于P P，且，且ABAB、CDCD不是不是直径直径.求证：弦求证：弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分.证明：假设证明：假设ABAB、CDCD被被P P平分，平分，则则OPOP是等腰是等腰AOB,AOB,CODCOD的底边上的中线，的底边上的中线，所以，所以，OPOPAB,OPAB,OPCDCD 但但ABAB和和CDCD都经过点都经过点P,P,且与且与OPOP 垂直，这是不可能的，垂直，这是不可能的，所以假设不成立，所以假设不成立，故弦故弦ABAB、CDCD不被不被P P平分，平分，

10、命题得证。命题得证。连结连结OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD及及OP,OP,反证法反证法l欲证欲证“若若p p则则q q”为真命题，从否定其结论即为真命题，从否定其结论即“非非q q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非非q q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法反证法。l反证法的步骤：反证法的步骤：(1)(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾矛盾；(3

11、)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经出发，经推理直接得出结论推理直接得出结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的）的等价命题等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为）为真，则原命题也为真；真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p p，则，则q q）为假命题，从而间接地证明了命为假命题

12、，从而间接地证明了命题（若题（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。巩固练习巩固练习 证明：证明：若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22.2.l证明一：要证证明一：要证“若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22 2”只需证它的只需证它的逆否命题逆否命题“若若p p2 2q q2 22 2，则，则p pq2q2”成立。成立。p p2 2q q2 2=2=2，则，则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2=p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2 逆否命题为真命

13、题，逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。故原命题也为真命题。证明二：证明二：假设假设p p2 2q q2 2=2=2，则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2=p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2，这与命题的条件，这与命题的条件p pq q2 2相矛盾，相矛盾，假设不成立，即假设不成立，即p p2 2q q2 22 2，故原命题为真命题。故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）小结小结l1.四种命题间的相互关系；四种命题间的相互关系；l2.四种命题的真假性之间的关系；四种命题的真假性之间的关系；l3.3.命题的证明方法。命题的证明方法。