人口问题70866.ppt

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1、1/25/2023微分方程模型微分方程模型主讲人主讲人 张兰张兰 l人口模型的研究始于人口模型的研究始于1798年马尔萨斯（年马尔萨斯（Malthus）人口）人口论的出版，书中提出了著名的影响深远的论的出版，书中提出了著名的影响深远的Malthus人口模型，人口模型，1838年年P.F.Verhust 对对malthus模型进行了修正，得到了模型进行了修正，得到了logistic模型影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率模型影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率与死亡率的高低，人口男女比例，人口年龄组成，工农业生产与死亡率的高低，人口男女比例，人口年龄组成，工农业生产水平的高底，营养条件，

2、医疗水平，人口素质，环境污染还水平的高底，营养条件，医疗水平，人口素质，环境污染还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自然灾害，战争，人口涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自然灾害，战争，人口迁移等，对人口增减有很大影响迁移等，对人口增减有很大影响l l 如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手先把问题简化，如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素只考虑影响人口增长的主要因素增长率（出生率与死亡率增长率（出生率与死亡率之差）及人口基数其余因素暂不考虑，建立一个较粗略的数之差）及人口基数其余因素暂不考虑，建立一个较粗略的数学模型在此基础上逐步考虑次要因素，进而

3、建立一个与实际学模型在此基础上逐步考虑次要因素，进而建立一个与实际更加吻合的人口模型更加吻合的人口模型180010人口（亿）年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。世界人口日。198911199512控制人口过快增长控制人口过快增长研究人口变化规律研究人口变化规律1 简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数人口数 ，今后这些年的增长率增长率（出生率-死亡率）

4、一年后，人数增加到k 年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2 Malthus 模型模型马尔萨斯(Malthus 1766-1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的 人口指数增长模型。人口指数增长模型。基本假设：基本假设：人口净相对增长率为常数。人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设 净相对增长率为 ，时刻人口总数为 。经 时间后人口总数为 Malthus 模型模型求解求解otNN0分析分析数据表明，在17001961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。

5、按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus 模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus 模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减

6、少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对增长率为常数的假设。3 Logistic模型（阻滞增长模型）模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。r 表示人口的自然增长率。令Nm为人口的最大容纳量，那么即阻滞因子Logisitic模型模型求解求解oNtNoN0NmNm/2tm人口增长最快点结论：结论：在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。-Logisitic模模型型调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型更复杂的人口模型

7、Gompertz模型模型人口模型的推广人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型模型表表1 美国人口统计数据美国人口统计数据年（公元）年（公元）人口（百万）人口（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.11

8、85023.2年（公元）年（公元）人口（百万）人口（百万）18601.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）年（公元）口（百万）口（百万）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990？模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合r=0.2072,xm=464模 型 检 验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实际为251.4(百万)模 型 应 用人 口 预 报用美国17

9、901990年人口数据重新估计参数r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)生物种群模型生物种群模型1 简介简介种群种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群单种群和多种群。多种群。单种群的数学模型：单种群的数学模型：1)马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)模型模型 表示 时刻的种群数量，称为内禀增长率。2)罗杰斯特罗杰斯特(Logistic)模型模型 表示该种群的最大容纳量。应用广泛：应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。