线性代数5-2.ppt

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1、第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性2 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量3 3 相似矩阵相似矩阵4 4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5 5 二次型及其标准形二次型及其标准形6 6 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形7 7 正定二次型正定二次型相相相相似似似似变变变变换换换换与与与与初初初初等等等等变变变变换换换换是是是是什什什什么么么么关关关关系系系系?若若则则称称A A与与B B是是相似矩阵相似矩阵.对对A A进行运算进行运算:P:P-1-1AP,AP,称为对称为对A A进行进行相似变换相似变

2、换.P.P称为相似称为相似变换矩阵变换矩阵.性质却很容易把握性质却很容易把握.两同阶方阵具有何种关系时两同阶方阵具有何种关系时,能有许多相同的性质？能有许多相同的性质？(其中其中P,QP,Q均可逆均可逆)初等变换初等变换.再有再有P,QP,Q互逆时即相似变换互逆时即相似变换.,则有则有一、相似矩阵一、相似矩阵问题问题问题问题:1.1.方阵方阵A A的阶数较高时的阶数较高时,分析其性质会带来较繁琐的计算分析其性质会带来较繁琐的计算;但对角阵的但对角阵的3 3 相似矩阵相似矩阵定义定义 对对n n阶方阵阶方阵A,B,A,B,若存在若存在n n阶可逆阵阶可逆阵P P使得使得怎样的方阵怎样的方阵A A

3、具有上述前提的形式具有上述前提的形式,如何由如何由A A构造出可逆阵构造出可逆阵P P和对角阵和对角阵？2.2.第二章中曾有结论第二章中曾有结论(1)A(1)A与与B B有相同的行列式有相同的行列式.(5)(5)A A与与B B有相同的特征值有相同的特征值.定理定理3 3 若若n n阶方阵阶方阵A A与与B B相似相似,即存在可逆阵即存在可逆阵P P使得使得(2)(2)A A与与B B有相同的可逆性有相同的可逆性;且当它们可逆时且当它们可逆时,A,A-1-1与与B B-1-1也相似也相似.(3)A(3)A与与B B有相同的秩有相同的秩.,则则(4)(4)A A与与B B有相同的特征多项式有相同

4、的特征多项式.(4)(4)的证明的证明:证毕证毕.注意注意:性质性质(1)-(5)(1)-(5)的逆命题均不成立的逆命题均不成立.请自行验证如下反例请自行验证如下反例:A A的特征多项式的一个有趣性质的特征多项式的一个有趣性质:定理定理3 3的推论的推论 若若n n阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵相似相似,则则A A的的n n个特征值就是个特征值就是设设证毕证毕.(是是A A的特征多项式的特征多项式),),则必有则必有证明证明:仅就仅就A A与对角阵相似时的情形给出证明与对角阵相似时的情形给出证明.事实上事实上,若若则由上述推论知则由上述推论知,A,A的的n n个特征值即个特征值即故故例例例

5、例5.2.25.2.2中的方阵中的方阵中的方阵中的方阵A A A A不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化;例例例例5.2.35.2.3中的中的中的中的A A A A能能能能对对对对角化角化角化角化.定理定理4 4 n n阶方阵阶方阵A A可以对角化的可以对角化的充要条件充要条件充要条件充要条件是是:A:A有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明:(1)(1)设设A A可以对角化可以对角化,即存在可逆阵即存在可逆阵P P使使1.1.方阵的对角化方阵的对角化:对于对于n n阶方阵阶方阵A,A,寻求可逆变换矩阵寻求可逆变换矩阵P,P,使得使得P P-1-1AP=AP=.2.2

6、.方阵方阵A A可以对角化的条件可以对角化的条件故故于是于是即即二、方阵二、方阵A A的对角化的对角化,令令 因为因为P P可逆可逆,故故A A的的n n个特征向量个特征向量线性无关线性无关.则则即即A A可以对角化可以对角化.证毕证毕.(2)(2)若若A A有有n n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量因为因为线性无关线性无关.故故P P可逆可逆,从而从而可以对角化可以对角化?方程方程的基础解系中含有的基础解系中含有3-2=13-2=1个向量个向量(1(1个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量).).对于特征值对于特征值1,1,例例例例5.3.15.3.15.3.15.3.1 问问x

7、x取何值时取何值时,矩阵矩阵解解:由由对于特征值对于特征值-1,1,得特征值得特征值,A,A可以对角化的充要条件是可以对角化的充要条件是的基础解系中含的基础解系中含2 2个向量个向量,即即定理定理4 4的推论的推论若若n n阶方阵阶方阵A A的的n n个特征值互不相等个特征值互不相等,则则A A可以对角化可以对角化.(充分条件充分条件)否否是是否否是是一般方阵一般方阵A A相似对角化的判定和求解程序相似对角化的判定和求解程序 求求求求A A A A的特征值的特征值的特征值的特征值,即求解即求解即求解即求解 特征方程特征方程特征方程特征方程特征值特征值特征值特征值 各不相同吗各不相同吗各不相同吗

8、各不相同吗?A A A A的每个的每个的每个的每个s s s s重特征值重特征值重特征值重特征值是否都有是否都有是否都有是否都有s s s s个线性无关的个线性无关的个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量特征向量特征向量?A A A A不可以相似对角化不可以相似对角化不可以相似对角化不可以相似对角化A A A A可以相似对角化可以相似对角化可以相似对角化可以相似对角化求出求出求出求出A A A A的的的的n n n n个线性无关个线性无关个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量,令令令令例例例例5.3.2 5.3.2 5.3.2 5.3.2 常染色体的隐性病遗传控制模型常

9、染色体的隐性病遗传控制模型常染色体的隐性病遗传控制模型常染色体的隐性病遗传控制模型个基因而形成自己的基因对，故父体、母体的基因对和子代的可能基因对个基因而形成自己的基因对，故父体、母体的基因对和子代的可能基因对如果基因如果基因控制某种遗传疾病，其中控制某种遗传疾病，其中之间的转移概率如下表：之间的转移概率如下表：和和则根据这种疾病对应的基因型可将人口分为三类：正常人则根据这种疾病对应的基因型可将人口分为三类：正常人为显性基因，为显性基因，为隐性基因，为隐性基因，隐性患者，隐性患者概概 率率父体父体-母体的基因型母体的基因型子代子代基因型基因型1 11/21/20 01/41/40 00 00

10、01/21/21 11/21/21/21/20 00 00 00 01/41/41/21/21 1在常染色体遗传中，由于后代是分别从父体和母体中等可能的得到一在常染色体遗传中，由于后代是分别从父体和母体中等可能的得到一和显性患者和显性患者.设这三类人在第设这三类人在第n n代人口中所占的比例分别为代人口中所占的比例分别为合的情况下，当前社会的正常人、隐性患者和显性患者分别占总人口的合的情况下，当前社会的正常人、隐性患者和显性患者分别占总人口的85%85%在控制结在控制结显性患者不允许生育，隐性患者必须与正常人结合。显性患者不允许生育，隐性患者必须与正常人结合。解解解解:设当前这三类人所占人口比

11、例的初始分布为：设当前这三类人所占人口比例的初始分布为：第第n n代的分代的分布为布为令：令：和和15%15%、0%0%，考虑以下控制结合方式对后代该遗传病基因型分布的影响：，考虑以下控制结合方式对后代该遗传病基因型分布的影响：则有：则有：先求出先求出B B的的3 3个特征值：个特征值：再求得对应的再求得对应的3 3个线性无关的特征向量：个线性无关的特征向量：特特特特征征征征值值值值均均均均互互互互异异异异,故故故故A A A A可可可可以以以以对角化对角化对角化对角化.令：令：则则故：故：从而从而这说明这说明这说明这说明:该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式

12、最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰.事实上事实上事实上事实上,本题要求本题要求特征值和特征向量后特征值和特征向量后,也可以不将也可以不将B B对角化对角化:这说明这说明这说明这说明:该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者、隐性患者均被淘汰.,而非方阵而非方阵B B的的n-1n-1次幂本身次幂本身.故求出故求出B

13、 B的的进一步进一步进一步进一步:还可利用数学软件算出还可利用数学软件算出还可利用数学软件算出还可利用数学软件算出,经过多少代经过多少代经过多少代经过多少代,可可可可使该病基因基本消失使该病基因基本消失使该病基因基本消失使该病基因基本消失.,求求A A的特征值的特征值.化时化时,会给与该方阵相关的运算带来很大方便会给与该方阵相关的运算带来很大方便.本节研究实对称矩阵本节研究实对称矩阵.一、实对称矩阵一定可以相似对角化一、实对称矩阵一定可以相似对角化.定理定理5 5 实对称矩阵的特征值必为实数实对称矩阵的特征值必为实数,从而可以取到实特征向量从而可以取到实特征向量.例例例例5.4.1 5.4.1

14、 5.4.1 5.4.1 设设证略证略.事实上事实上,一般实矩阵一般实矩阵A A的可能有复特征值的可能有复特征值.如下例如下例.通过上节例题看到通过上节例题看到:不是所有方阵都可以对角化不是所有方阵都可以对角化;当一个方阵可以对角当一个方阵可以对角解解:令令4 4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化得得A A的特征值的特征值是实对称矩阵是实对称矩阵A A的两个特征值的两个特征值,定理定理6 6 设设是对应的特征向量是对应的特征向量,若若证明证明:为证为证,注意到注意到于是于是于是有于是有证毕证毕.,则必有则必有正交正交.移项得移项得又因为又因为即实对称矩阵即实对称矩阵A A的相异特征值对应的特征

15、向量的相异特征值对应的特征向量正交正交.注注:一般方阵一般方阵A A的相异特征值的相异特征值对应的特征向量一定线性无关对应的特征向量一定线性无关定理定理2 2；实对称矩阵实对称矩阵A A的相异特征值对应的特征向量不但的相异特征值对应的特征向量不但线性无关线性无关而且正交而且正交定理定理6.6.定理定理7 7 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则必有正交阵则必有正交阵P,P,使使,其其中中以是以是A A的的n n个特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.证略证略.该定理说明该定理说明,实对称矩阵不但一定可以对角化实对称矩阵不但一定可以对角化,而且可以通过一个而且可以通过一个正

16、交的相似变换矩阵实现对角化正交的相似变换矩阵实现对角化.推论推论 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,是是A A的的k k重特征值重特征值,则有则有相似相似,即有可逆阵即有可逆阵P P使使证毕证毕.从而对应于特征值从而对应于特征值恰有恰有k k个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.证明证明:由定理由定理7 7知知,A,A与对角阵与对角阵于是于是即即A-A-E E与与-E E相似相似.故故而而的对角元中的对角元中恰有恰有n-kn-k个不为零个不为零.的解集的秩的解集的秩(对应的线性无关特征向量的个数对应的线性无关特征向量的个数)为为注意注意注意注意:分组正交化和单位化分组正交化和单

17、位化分组正交化和单位化分组正交化和单位化.1.1.求出求出A A的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值它们正交化、单位化，得到它们正交化、单位化，得到2.2.对每个对每个二、实对称矩阵相似对角化的步骤二、实对称矩阵相似对角化的步骤设它们的重数依次为设它们的重数依次为重特征值重特征值对对以以A A的的n n个特征值为对角元构造对角阵个特征值为对角元构造对角阵；依照与方阵依照与方阵A A的的n n个个特征值相对应的次序特征值相对应的次序,将将n n个两两正交的单位特征向个两两正交的单位特征向,求出对应的求出对应的个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,再把再把个两两正交的单位特征向量个两两

18、正交的单位特征向量.,共得到共得到n n个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量.3.3.构造对角阵构造对角阵和正交阵和正交阵P:P:量排成一个矩阵的各列量排成一个矩阵的各列,即得到即得到正交矩阵正交矩阵P.P.于是于是可以根据此式是否成立验证题解的正确与否可以根据此式是否成立验证题解的正确与否可以根据此式是否成立验证题解的正确与否可以根据此式是否成立验证题解的正确与否.例例例例5.4.25.4.25.4.25.4.2 设设,求一个正交阵求一个正交阵P,P,使使解解:(1):(1)令令(2)(2)当当得得特征值特征值时时,解方程解方程同解方程组为同解方程组为基础解系可取为基础解系可取为

19、单位化得对应的单位特征向量单位化得对应的单位特征向量为对角阵为对角阵.若若若若由由由由此此此此凑凑凑凑出出出出正正正正交交交交的的的的基基基基础础础础解解解解系系系系,则只需再单位化则只需再单位化则只需再单位化则只需再单位化.解解:(2):(2)续续 当当时时,解方程解方程同解方程组为同解方程组为基础解系取为基础解系取为将它们正交化将它们正交化,令令再单位化再单位化,得得(3)(3)令令则则【】,先取先取x x2 2,x,x3 3为相等的非零值为相等的非零值,得得x x1 1=0;=0;于是可构造出与前述解法中不同的于是可构造出与前述解法中不同的正交阵正交阵:再将它们单位化得再将它们单位化得:

20、注注注注:观察同解方程组观察同解方程组再取再取x x2 2,x,x3 3为相反的非零值为相反的非零值,由同解方程组确定由同解方程组确定x x1 1,即得正交的基础解系即得正交的基础解系.如如则则所所所所求求求求的的的的正正正正交交交交阵阵阵阵不不不不唯唯唯唯一一一一,只只只只需需需需验证是否成立：验证是否成立：验证是否成立：验证是否成立：本次课基本要求本次课基本要求 1 1.理解矩阵相似的概念理解矩阵相似的概念,掌握矩阵相似的充要条件和充分条件掌握矩阵相似的充要条件和充分条件;2 2.理解实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量一定正交理解实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量一定正交;3.3.理解实对称矩阵一定可以对角化理解实对称矩阵一定可以对角化,且相似变换矩阵可以是正交阵且相似变换矩阵可以是正交阵;4.4.熟练熟练掌握掌握例例例例5.4.25.4.25.4.25.4.2(即教材第即教材第125125页例页例12)12)的求解步骤的求解步骤.作业作业 P135:15,17,19,20.P135:15,17,19,20.