第六章 t测验.ppt

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1、 平均数的假设测验1、t分布分布2、样本平均数与总体平均数的假设测验、样本平均数与总体平均数的假设测验3、两个样本平均数差异的假设测验、两个样本平均数差异的假设测验Chapter6Chapter6n n上章所述统计假设测验的计算中，是先计算出标准上章所述统计假设测验的计算中，是先计算出标准上章所述统计假设测验的计算中，是先计算出标准上章所述统计假设测验的计算中，是先计算出标准正态离差正态离差正态离差正态离差u u u u ，再在附表，再在附表，再在附表，再在附表2 2查得其相应的概率，测验查得其相应的概率，测验查得其相应的概率，测验查得其相应的概率，测验HH0 0:=0 0。这种用标准正态分布

2、（。这种用标准正态分布（。这种用标准正态分布（。这种用标准正态分布（u u u u分布）计算概分布）计算概分布）计算概分布）计算概率进行的假设测验，叫率进行的假设测验，叫率进行的假设测验，叫率进行的假设测验，叫u u u u测验（测验（测验（测验（u u u u-test-test-test-test）。）。）。）。n n由上述知，做由上述知，做由上述知，做由上述知，做u u u u测验，计算测验，计算测验，计算测验，计算u u u u值需要用总体标准差值需要用总体标准差值需要用总体标准差值需要用总体标准差作除数。但大多数情况下，总体标准差作除数。但大多数情况下，总体标准差作除数。但大多数情况

3、下，总体标准差作除数。但大多数情况下，总体标准差往往为未往往为未往往为未往往为未知。此时，自然的想法是用样本标准差知。此时，自然的想法是用样本标准差知。此时，自然的想法是用样本标准差知。此时，自然的想法是用样本标准差s s s s估计估计估计估计 ，根据上章分布有根据上章分布有根据上章分布有根据上章分布有1、t分布分布6.1n n 叫样本平均数的标准误，是总体标准差的估计值。叫样本平均数的标准误，是总体标准差的估计值。s s为样本标准差，为样本标准差，n n为样本容量。当样本容量为样本容量。当样本容量n n相当大，相当大，一般不小于一般不小于3030时，由于时，由于 相差无几，标准化离差相差无

4、几，标准化离差 ，趋近于标准正态分布，趋近于标准正态分布N N(0,1),(0,1),仍可用仍可用u u测验法测验测验法测验 。但当样本容量不太大（。但当样本容量不太大（n n303030时，时，时，时，t t分分分分布接近于标准正态分布，而当布接近于标准正态分布，而当布接近于标准正态分布，而当布接近于标准正态分布，而当dfdf=+=+时，二者合时，二者合时，二者合时，二者合一。一。一。一。t t分布的概率累积函数为分布的概率累积函数为分布的概率累积函数为分布的概率累积函数为6.5n n因而其右尾从因而其右尾从因而其右尾从因而其右尾从t t到到到到+的面积（概率）为的面积（概率）为的面积（概率

5、）为的面积（概率）为1 1-Fdf(t)-Fdf(t)。由于由于由于由于t t分布左右对称，其左尾从分布左右对称，其左尾从分布左右对称，其左尾从分布左右对称，其左尾从-到到到到-t-t的概率也为的概率也为的概率也为的概率也为2121-Fdf(t)-Fdf(t)。附表。附表。附表。附表3 3的表头概率就是这样计算出的两的表头概率就是这样计算出的两的表头概率就是这样计算出的两的表头概率就是这样计算出的两尾概率值。尾概率值。尾概率值。尾概率值。n n附表附表附表附表3 3中，第一列为自由度中，第一列为自由度中，第一列为自由度中，第一列为自由度dfdf，表头为两尾概率值，表头为两尾概率值，表头为两尾概

6、率值，表头为两尾概率值，表中数字乃临界值表中数字乃临界值表中数字乃临界值表中数字乃临界值t t值。例如，值。例如，值。例如，值。例如，dfdf=3=3时，查的两时，查的两时，查的两时，查的两尾概率值等于尾概率值等于尾概率值等于尾概率值等于0.050.05的临界的临界的临界的临界t t值为值为值为值为t t0.050.05=3.182=3.182。这。这。这。这表明，右尾（表明，右尾（表明，右尾（表明，右尾（t t=3.182=3.182到到到到+）概率和左尾（）概率和左尾（）概率和左尾（）概率和左尾（t=t=-到到到到-3.182-3.182）概率均为）概率均为）概率均为）概率均为0.0250

7、.025，两尾概率之和，两尾概率之和，两尾概率之和，两尾概率之和等于等于等于等于0.05.0.05.由附表由附表由附表由附表3 3知，在知，在知，在知，在dfdf不变下，概率不变下，概率不变下，概率不变下，概率P P值越值越值越值越大，临界大，临界大，临界大，临界t t值越小；值越小；值越小；值越小；P P越小，越小，越小，越小，t t越大。因此，在做两越大。因此，在做两越大。因此，在做两越大。因此，在做两尾测验时，当算得的尾测验时，当算得的尾测验时，当算得的尾测验时，当算得的|t|tt|tt|tt|t(df)(df)(df)(df)；则表明实际差；则表明实际差；则表明实际差；则表明实际差异属

8、于随机误差的概率异属于随机误差的概率异属于随机误差的概率异属于随机误差的概率PPPP,因而应在因而应在因而应在因而应在水平上水平上水平上水平上否定否定否定否定H H H H0 0 0 0。反之，若。反之，若。反之，若。反之，若|t|t|t|t|t|t|t|PPP,应接受应接受应接受应接受H H H H0 0 0 0。n n在做一尾测验时，所需概率值只需将附表在做一尾测验时，所需概率值只需将附表在做一尾测验时，所需概率值只需将附表在做一尾测验时，所需概率值只需将附表3 3的表头概的表头概的表头概的表头概率值乘以率值乘以率值乘以率值乘以2 2即得。例如，即得。例如，即得。例如，即得。例如，d df

9、=3f=3，=0.05=0.05=0.05=0.05时的一尾临界时的一尾临界时的一尾临界时的一尾临界t t t t值，只需查表头概率为值，只需查表头概率为值，只需查表头概率为值，只需查表头概率为2 2 2 2=0.10=0.10=0.10=0.10即可，两尾概率即可，两尾概率即可，两尾概率即可，两尾概率P=2P=2P=2P=2=0.100.100.100.10时的临界时的临界时的临界时的临界t t t t值为值为值为值为2.3532.3532.3532.353。这表明，右尾（。这表明，右尾（。这表明，右尾（。这表明，右尾（t t t t=2.353=2.353=2.353=2.353到到到到+

10、）概率）概率）概率）概率或左尾或左尾或左尾或左尾（t t=-到到到到-2.353-2.353）概率为）概率为）概率为）概率为0.05.0.05.因此，无效假设为因此，无效假设为因此，无效假设为因此，无效假设为H H H H0 0 0 0：0 0 0 0，则实得则实得则实得则实得tttttttt2 2 2 2(df)(df)(df)(df)时，必有时，必有时，必有时，必有P P ,应否定应否定应否定应否定H H H H0 0 0 0；反反反反之之之之tttttttPPP，应接受应接受应接受应接受H H H H0 0 0 0。同理，若无效假同理，若无效假同理，若无效假同理，若无效假设设设设为为为为

11、H H H H0 0 0 0:0,0,0,0,则实得则实得则实得则实得t-tt-tt-tt-tt-tt-tt-t2 2 2 2(df),(df),(df),(df),应接受应接受应接受应接受H H H H0 0 0 0n n这种用这种用这种用这种用t t t t分布计算概率进行的假设测验叫分布计算概率进行的假设测验叫分布计算概率进行的假设测验叫分布计算概率进行的假设测验叫t t t t测验（测验（测验（测验（t-testt-testt-testt-test）n n这是测验某一样本平均数这是测验某一样本平均数这是测验某一样本平均数这是测验某一样本平均数 与一已知总体平均数是否有显著差与一已知总体

12、平均数是否有显著差与一已知总体平均数是否有显著差与一已知总体平均数是否有显著差异，实际上是测验某一处理是否有效。当总体标准差异，实际上是测验某一处理是否有效。当总体标准差异，实际上是测验某一处理是否有效。当总体标准差异，实际上是测验某一处理是否有效。当总体标准差 为已知为已知为已知为已知（如前节中小麦产量一例），或（如前节中小麦产量一例），或（如前节中小麦产量一例），或（如前节中小麦产量一例），或 虽未知，但为大样本（虽未知，但为大样本（虽未知，但为大样本（虽未知，但为大样本（n n 3030）时用）时用）时用）时用 测验，当测验，当测验，当测验，当 为未知，且小样本（为未知，且小样本（为未知

13、，且小样本（为未知，且小样本（n n 3030 ）时，）时，）时，）时，用用用用t t测验。测验。测验。测验。【例例例例6.1 6.1】某地杂交玉米在原种植规格下一般亩产某地杂交玉米在原种植规格下一般亩产某地杂交玉米在原种植规格下一般亩产某地杂交玉米在原种植规格下一般亩产350kg350kg。现。现。现。现在为了间套作改变成一新种植规格，在新种植规格下在为了间套作改变成一新种植规格，在新种植规格下在为了间套作改变成一新种植规格，在新种植规格下在为了间套作改变成一新种植规格，在新种植规格下8 8个小区个小区个小区个小区的产量折合成的产量折合成的产量折合成的产量折合成kg/kg/亩为：亩为：亩为：

14、亩为：360360，340340，345345，352352，370370，361361，358358，354354。问新种植规格和原种植规格下玉米产量差。问新种植规格和原种植规格下玉米产量差。问新种植规格和原种植规格下玉米产量差。问新种植规格和原种植规格下玉米产量差异是否显著？异是否显著？异是否显著？异是否显著？2、样本平均数与总体平均数的假设测验、样本平均数与总体平均数的假设测验n n这里总体标准差 未知，又是小样本（未知，又是小样本（未知，又是小样本（未知，又是小样本（n=8n=8），故），故），故），故需用需用需用需用t t测验；新种植规格的玉米产量又可能比原规格测验；新种植规格的玉米

15、产量又可能比原规格测验；新种植规格的玉米产量又可能比原规格测验；新种植规格的玉米产量又可能比原规格高，也可能比原规格低，故需用两尾测验。测验步高，也可能比原规格低，故需用两尾测验。测验步高，也可能比原规格低，故需用两尾测验。测验步高，也可能比原规格低，故需用两尾测验。测验步骤如下：骤如下：骤如下：骤如下：（1 1）提出假设）提出假设）提出假设）提出假设 H H H H0 0 0 0：新规格和原规格种植的玉米产量相：新规格和原规格种植的玉米产量相：新规格和原规格种植的玉米产量相：新规格和原规格种植的玉米产量相同，即同，即同，即同，即H H H H0 0 0 0：=0 0 0 0=350kg=35

16、0kg，或简记：，或简记：，或简记：，或简记：H H H H0 0 0 0：=350=350 kgkg；H H H HA A A A:350kg350kg。（2 2）确定显著水平）确定显著水平）确定显著水平）确定显著水平 =0.05=0.05=0.05=0.05 （3 3）测验计算）测验计算）测验计算）测验计算（4 4）统计推断）统计推断）统计推断）统计推断 不能否定不能否定不能否定不能否定H H H H0 0 0 0：=350 kg=350 kg，认为改变种植规格后，认为改变种植规格后，认为改变种植规格后，认为改变种植规格后的玉米产量与原种植规格的玉米产量与原种植规格的玉米产量的玉米产量与原

17、种植规格的玉米产量与原种植规格的玉米产量的玉米产量与原种植规格的玉米产量与原种植规格的玉米产量的玉米产量与原种植规格的玉米产量与原种植规格的玉米产量无显著差异。无显著差异。无显著差异。无显著差异。n n测验两个样本平均数差异是否显著，就是由两个样本平均数测验两个样本平均数差异是否显著，就是由两个样本平均数测验两个样本平均数差异是否显著，就是由两个样本平均数测验两个样本平均数差异是否显著，就是由两个样本平均数之差测验这两个样本所属总体平均数是否存在显著差异，实之差测验这两个样本所属总体平均数是否存在显著差异，实之差测验这两个样本所属总体平均数是否存在显著差异，实之差测验这两个样本所属总体平均数是

18、否存在显著差异，实际上是测验两个处理的效应是否一样。测验方法因试验设计际上是测验两个处理的效应是否一样。测验方法因试验设计际上是测验两个处理的效应是否一样。测验方法因试验设计际上是测验两个处理的效应是否一样。测验方法因试验设计的不同，而分为以下两类：的不同，而分为以下两类：的不同，而分为以下两类：的不同，而分为以下两类：1 1、成组数据平均数比较、成组数据平均数比较、成组数据平均数比较、成组数据平均数比较 若要比较两个处理的优劣，可将试验单位完全随机地分成若要比较两个处理的优劣，可将试验单位完全随机地分成若要比较两个处理的优劣，可将试验单位完全随机地分成若要比较两个处理的优劣，可将试验单位完全

19、随机地分成两组，然后再随机地对两组各实施一处理，这是完全随机化两组，然后再随机地对两组各实施一处理，这是完全随机化两组，然后再随机地对两组各实施一处理，这是完全随机化两组，然后再随机地对两组各实施一处理，这是完全随机化设计当处理数设计当处理数设计当处理数设计当处理数k=2k=2的情况。两组试验单位相互独立，所得观的情况。两组试验单位相互独立，所得观的情况。两组试验单位相互独立，所得观的情况。两组试验单位相互独立，所得观察值也相互独立，两处理的样本容量可以相同，也可以不相察值也相互独立，两处理的样本容量可以相同，也可以不相察值也相互独立，两处理的样本容量可以相同，也可以不相察值也相互独立，两处理

20、的样本容量可以相同，也可以不相同，所得数据称为成组数据，以（处理）平均数作为相互比同，所得数据称为成组数据，以（处理）平均数作为相互比同，所得数据称为成组数据，以（处理）平均数作为相互比同，所得数据称为成组数据，以（处理）平均数作为相互比较的标准。先计算两个样本平均数差数的标准化离差，较的标准。先计算两个样本平均数差数的标准化离差，较的标准。先计算两个样本平均数差数的标准化离差，较的标准。先计算两个样本平均数差数的标准化离差，3、两个样本平均数差异的假设测验、两个样本平均数差异的假设测验6.66.7遵循于自由度遵循于自由度的的t分布，分布，n1和和n2分别为两样本容量。分别为两样本容量。式式6

21、.6和和6.7中中 称为两个小样本平均数差数的标准误。称为两个小样本平均数差数的标准误。6.8n n当6.9式式6.8和和6.9中中 称为样本的合并均方，即称为样本的合并均方，即6.10式中，式中，SS1、SS2分别为两样本的平方和，分别为两样本的平方和，df1,df2分别为分别为两样本自由度。在实际计算中，首先计算两样本自由度。在实际计算中，首先计算 ，其次计算，其次计算最后计算最后计算t。【例例例例6.26.2】有一水稻施肥试验，处理为甲、乙两种施肥方法，有一水稻施肥试验，处理为甲、乙两种施肥方法，有一水稻施肥试验，处理为甲、乙两种施肥方法，有一水稻施肥试验，处理为甲、乙两种施肥方法，完全

22、随机设计，试验结果见表完全随机设计，试验结果见表完全随机设计，试验结果见表完全随机设计，试验结果见表4.14.1。试测验两种施肥方法的。试测验两种施肥方法的。试测验两种施肥方法的。试测验两种施肥方法的水稻产量有无差异。水稻产量有无差异。水稻产量有无差异。水稻产量有无差异。由于事先不知道甲、乙两法的水稻产量谁高谁低，故用由于事先不知道甲、乙两法的水稻产量谁高谁低，故用由于事先不知道甲、乙两法的水稻产量谁高谁低，故用由于事先不知道甲、乙两法的水稻产量谁高谁低，故用两尾测验。两尾测验。两尾测验。两尾测验。表表表表6.1 6.1 两种施肥方法的水稻小区产量（两种施肥方法的水稻小区产量（两种施肥方法的水

23、稻小区产量（两种施肥方法的水稻小区产量（kgkg）X X1 1(甲甲甲甲)X X2 2(乙乙乙乙)8.28.210.710.79.69.611.211.28.78.79.29.28.98.910.910.99.49.411.111.18.58.510.810.8n n【例例6.36.3】研究矮壮素使玉米矮化的效果，在抽穗研究矮壮素使玉米矮化的效果，在抽穗期测定喷矮壮素小区玉米期测定喷矮壮素小区玉米8 8株、对照区玉米株、对照区玉米9 9株，株，其株高结果如表其株高结果如表6.26.2。试做假设测验。试做假设测验。从理论上讲，矮壮素只可能矮化无效而不可能促从理论上讲，矮壮素只可能矮化无效而不可能

24、促进植株长高，因此作一尾测验，假设进植株长高，因此作一尾测验，假设H H H H0 0 0 0：喷矮壮喷矮壮素的株高与未喷的相同或更高，即素的株高与未喷的相同或更高，即H H H H0 0 0 0：1 1 1 1 2 2 2 2，H H H HA A A A：1 1 1 1 2 2 2 2，即喷矮壮素的株高较未喷的为矮。，即喷矮壮素的株高较未喷的为矮。，即喷矮壮素的株高较未喷的为矮。，即喷矮壮素的株高较未喷的为矮。2、成对数据的比较、成对数据的比较n n成组数据平均数比较的成组数据平均数比较的成组数据平均数比较的成组数据平均数比较的t t测验，适用于完全随机试验。由于完全测验，适用于完全随机试

25、验。由于完全测验，适用于完全随机试验。由于完全测验，适用于完全随机试验。由于完全随机试验仅适用于试验单位较一致或试验单位间差异并不影响随机试验仅适用于试验单位较一致或试验单位间差异并不影响随机试验仅适用于试验单位较一致或试验单位间差异并不影响随机试验仅适用于试验单位较一致或试验单位间差异并不影响试验指标的情况。当试验小区供试个体等试验单元差异较大，试验指标的情况。当试验小区供试个体等试验单元差异较大，试验指标的情况。当试验小区供试个体等试验单元差异较大，试验指标的情况。当试验小区供试个体等试验单元差异较大，且对试验指标有明显影响时，若仍用完全随机试验，就有可能且对试验指标有明显影响时，若仍用完

26、全随机试验，就有可能且对试验指标有明显影响时，若仍用完全随机试验，就有可能且对试验指标有明显影响时，若仍用完全随机试验，就有可能使处理效应受到系统误差的影响，增大试验误差，从而降低试使处理效应受到系统误差的影响，增大试验误差，从而降低试使处理效应受到系统误差的影响，增大试验误差，从而降低试使处理效应受到系统误差的影响，增大试验误差，从而降低试验结果的准确性。验结果的准确性。验结果的准确性。验结果的准确性。n n为解决这一问题，可按局部控制的原理，将条件一致的两个供为解决这一问题，可按局部控制的原理，将条件一致的两个供为解决这一问题，可按局部控制的原理，将条件一致的两个供为解决这一问题，可按局部

27、控制的原理，将条件一致的两个供试单元配成一对，并设置多个配对，然后再对每一配对的两个试单元配成一对，并设置多个配对，然后再对每一配对的两个试单元配成一对，并设置多个配对，然后再对每一配对的两个试单元配成一对，并设置多个配对，然后再对每一配对的两个试验单元独立随机地实施一处理，这种试验叫配对试验。所得试验单元独立随机地实施一处理，这种试验叫配对试验。所得试验单元独立随机地实施一处理，这种试验叫配对试验。所得试验单元独立随机地实施一处理，这种试验叫配对试验。所得观察值称为成对数据，配对试验实为处理数观察值称为成对数据，配对试验实为处理数观察值称为成对数据，配对试验实为处理数观察值称为成对数据，配对

28、试验实为处理数k=2k=2时的随机区组时的随机区组时的随机区组时的随机区组试验。试验。试验。试验。n n设一配对试验，共有设一配对试验，共有设一配对试验，共有设一配对试验，共有n n个配对，每一配对内一处理的观察值个配对，每一配对内一处理的观察值个配对，每一配对内一处理的观察值个配对，每一配对内一处理的观察值为为为为x x1i1i，另一处理的观察值为，另一处理的观察值为，另一处理的观察值为，另一处理的观察值为x x2i2i，则，则，则，则n n对观察值的模式为：（对观察值的模式为：（对观察值的模式为：（对观察值的模式为：（x x1111,x,x2121 ）,（x x1212,x,x2222 ）

29、（x x1n1n,x,x2n2n ）n n显然，由于各配对间供试单元间差异较大，不便于由推断是显然，由于各配对间供试单元间差异较大，不便于由推断是显然，由于各配对间供试单元间差异较大，不便于由推断是显然，由于各配对间供试单元间差异较大，不便于由推断是否为否为否为否为0 0。但是，由于每一配对内两个试验单元一致，若计算。但是，由于每一配对内两个试验单元一致，若计算。但是，由于每一配对内两个试验单元一致，若计算。但是，由于每一配对内两个试验单元一致，若计算各配对内两观察值的差，不同配对间试验单位的差异就消除各配对内两观察值的差，不同配对间试验单位的差异就消除各配对内两观察值的差，不同配对间试验单位的差异就消除各配对内两观察值的差，不同配对间试验单位的差异就消除了。所以，成对数据的比较是通过各配对差数的平均数，来了。所以，成对数据的比较是通过各配对差数的平均数，来了。所以，成对数据的比较是通过各配对差数的平均数，来了。所以，成对数据的比较是通过各配对差数的平均数，来推断差数的总体平均数是否为推断差数的总体平均数是否为推断差数的总体平均数是否为推断差数的总体平均数是否为0 0或某一常数，因此或某一常数，因此或某一常数，因此或某一常数，因此