10 第五章 用差分法和变分法解平面问题 童中华.pptx

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1、School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology弹性力学主讲：童中华安徽工业大学弹性力学简明教程第三版徐芝纶School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology4+4+上一讲回顾上一讲回顾uu4-4-4-4-圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中带小圆孔的矩形板，作虚拟圆边界，带小圆孔的矩形板，作虚拟圆边界，四面受拉可引用轴对四面受拉可引用轴对称解，拉压组合用半逆

2、解法。小孔口问题的集中性和局部性。称解，拉压组合用半逆解法。小孔口问题的集中性和局部性。一般小孔口问题的分析方法。一般小孔口问题的分析方法。uu4-9 4-9 4-9 4-9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力应用圣维南原理处理集中力作用点的边界条件应用圣维南原理处理集中力作用点的边界条件。虚拟分离体。虚拟分离体的合力平衡。积分求位移过程中分离变量。相对沉陷。的合力平衡。积分求位移过程中分离变量。相对沉陷。uu4-10 4-10 4-10 4-10 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力半平面体在边

3、界上受分布力由集中力作用的解答积分可得。由集中力作用的解答积分可得。School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology第五章 用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5+小结School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导【差分法差分法】把微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方

4、程和边界条件近似地改用差分方程来表示，把求解微分方程的问题改换成求解代数方程的问题。fxo微分有限差分导数有限差商微分方程差分方程School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导在平面弹性体上划分等间距h 的两组平行线组成的网格，分别x 、y 轴。网格交点称为结点，网格的间距h称为步长。将f(x)在x0点用泰勒级数展开School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Te

5、chnology5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导结点3，结点1，联立(c)、(b)得中心差分公式School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导同理可得y方向中心差分公式混合高阶偏导计算School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导由结点3泰勒展开由结点1泰勒展开直接得到向前差分公式直接得到向

6、后差分公式两种差分公式间的差异School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology 5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导例1：稳定温度场中T(x，y)应满足网格间距为h，求a,b两点温度。ab0100011222解：School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解1.应力2.相容方程School of Architectural and Ci

7、vil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解3.边界条件由三角形微分体平衡得School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解等价于分部积分推导School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解由于F的常数项及

8、x,y一次项不影响应力，可令F在A的值及两坐标方向一阶偏导皆为0，因此ds以顺时针环绕弹性体为正向，M以顺时针为正。School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解3+.虚结点与不规则边界处理若边界不过结点，则将此边界附近的内结点1与外虚结点9上的F值都用内结点0的F值及边界点B的F值表示边界内边界外019Bhhhxh解出F1与F9的值，F0仍然作为基本未知量School of Architectural and Civil Engineerin

9、gAnhui Uinversity of Technology5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解应力函数差分解计算步骤1.划分网格，在边界上任意选定一个结点作为基点，并取边界内边界外019Bhhhxh2.计算边界经过的结点或者网格交点处的F值及必须的3.计算边界外虚结点及临近内结点处的F值及必须的4.在所有非临近边界内结点处建立差分方程（5-10）；5.求解差分方程组，得到F，用（5-9）计算应力。School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实

10、例应力函数差分解的实例例2：正方形深梁,上边受均布荷载q，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。解：(1)划分6x6网格如图，根据对称性只需计算一半，结点编号如图，选A为基点(2)计算所有边界结点处F F值及必须的用于计算虚结点用于计算虚结点F F值值School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(2a)A到J点各结点与A之间边界面力合力对末端结点合力矩为0，因此 F F A=F F J=0计算面力对K、L、M合力矩得到F F K

11、=2.5qh2，F F L=4.0qh2，F F M=4.5qh2。(2b)计算A、B、C及K、L、M各点处的(2c)计算E、F、G、H、I各点处的School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例列表整理如下结点AB,CDE,F,G,H,IJKLM03qh00000000002.5qh24.0qh24.5qh2(3)计算虚结点处F F值F F16,17,18,19,20,2116,17,18,19,20,21=F=F1,2,3,13,14

12、,151,2,3,13,14,15F F22,23,24,25,2622,23,24,25,26=F=F3,6,9,12,153,6,9,12,15-6-6qh2 School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(4)建立相容方程的差分方程注意对称性，结点1处(5)求解差分方程，解出F F1 1到F F15 15，计算虚结点F F值，进一步计算应力编号从1到15共15个结点，可建立15个差分方程，包含15个未知量F F1 1到F F151

13、5School of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例例3：计算图示结构的应力。分析：(1)根据对称性，可以只取1/4部分计算，边界结点有C,I,J,D,K,E，内结点有1-6，基点选C点。(2)C,I,J需要计算 K,E需要计算 ，用于计算虚结点F值。654321yxCqEBDAqqqFFFFo222351KIJ(3)内结点6个可建立6个方程，求解6个未知量。School of Architectural and Civil Enginee

14、ringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例例4：计算1 点应力。解：(1)根据对称性，可以只取1/2部分计算，边界结点有A,B,C,D,E，内结点有1，基点选A点。计算得到各边界结点F值及 如下表结点ABCDE0-0-00-0000-0.5-0.5qh2A2qh1qoxy234BCEDSchool of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(2)计算各虚结点F值结点

15、ABCDE0-0-00-0000-0.5-0.5qh2(3)建立内节点差分方程A2qh1qoxy234BCEDSchool of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例【习题】：计算1 点应力。解：(1)根据对称性，可以只取1/2部分计算，边界结点有A,B,C,D,E，内结点有1，基点选A点。计算得到各边界结点F值及 如下表结点ABCDE0-0-00-00-qh20-0.5-0.5qh2Aqh1qoxy234BCEDqhSchool of Arch

16、itectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(2)计算各虚结点F值结点ABCDE0-0-00-00-qh20-0.5-0.5qh2(3)建立内节点差分方程Aqh1qoxy234BCEDqhSchool of Architectural and Civil EngineeringAnhui Uinversity of Technology5+5+小结小结uu5-1 5-1 5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导差分公式的推导差分公式的推导中心差分公式：中心差分公式：uu5-2 5-2 5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解应力函数的差分解应力函数的差分解应力、相容方程用差分表示应力、相容方程用差分表示，边界条件用应力函数表示。，边界条件用应力函数表示。uu5-3 5-3 5-3 5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例选基点，列表计算边界结点必须的选基点，列表计算边界结点必须的 值，计算虚结值，计算虚结点点F F，解相容方程，计算应力。，解相容方程，计算应力。课课下下练习练习 5-35-3