解析函数的概念(精品).ppt

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1、2.1解析函数的概念1 1 复变函数的导数定义：存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作应该注意：上述定义中的方式是任意的。本文摘自论文范文，如需转载，请注明出处例2问f(z)=x +2yi 是否可导?解这里所以f(z)=x+2yi 的导数不存在.（即f(z)=x+2yi 在整个复平面处处不可导.）例3讨论的可导性。解：所以在复平面上除原点外处处不可导。可导和可微，连续的关系可导和可微，连续的关系可导和可微，连续的关系可导和可微，连续的关系我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立该点极限

2、一定存在，反之不一定成立.那么可导与那么可导与连续有何关系？连续有何关系？若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定成立成立成立成立.如上例如上例f(z)=x +2yi，显然在复平面上处处连续，显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导但在复平面处处不可导.定义定义定义定义2.1.2 2.1.2 复变函数的微分复变函数的微分复变函数的微分复变函数的微分复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。概念类似。设函数设

3、函数在在 可导，则由导数的定义可得可导，则由导数的定义可得其中其中。因此，。因此，是是的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，而而是函数是函数的改变量的改变量的线性部分的线性部分.我们称我们称为函数为函数在点在点 的的微分微分微分微分，记作记作如果函数在点如果函数在点 的微分存在，则称的微分存在，则称函数在点函数在点函数在点函数在点 可微。可微。可微。可微。容易证明：可导可导 可微可微；可可导导 连续。连续。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在内可导.2.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：例如f(z)=z2在整个复平面上解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解

4、析；f(z)=x +2yi在整个复平面上不解析。定义定义否则称为奇点。例4讨论函数f(z)=1/z 的解析性.解：故f(z)=1/z 除 z=0外处处解析；z=0 是它的一个奇点。解析函数的性质：解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。问题问题：对函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？换句话说：设函数于是u(x,y)与v(x,y)在该点可微,并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。设u(x,y)与v(x,

5、y)在点(x,y)可微,于是（x,y0时,ek0,(k=1,2,3,4)）并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函数f(z)在点z=x+iy 处可导.由z 的任意性可知：定理定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程.定理定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy 可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足Cauchy-Riemann方程。推论：例题1解：例题2判断下列函数在何处可导,在何处解

6、析:解：得u=x,v=-y,所以在复平面内处处不可导,处处不解析；2)由w=z Re(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以当且仅当x=y=0时,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.是区域内的正交正交 曲线族。(正交正交：两曲线在交点处的切线垂直)例题3证：得证。例如两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10函数解析与可导、连续、极限的关系函数解析与可导、连续、极限的关系 由解析函数定义可知，函数在区域内解析由

7、解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的与在区域内可导是等价的.但是，函数在一点处但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念解析和在一点处可导是不等价的两个概念.就是就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析.但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）该点及其邻域均可导）.函数在一点处解析比在函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域解析区域可导区域可导 在某点解析在某点解析该点可导该点可导该点连续该点连续该点极限存在，反之均不一定成立。该点极限存在，反之均不一定成立。复变函数在某点解析复变函数在某点解析复变函数在某点解析复变函数在某点解析 某点可导某点可导某点可导某点可导 某点极限存在某点极限存在某点极限存在某点极限存在 某点连续某点连续某点连续某点连续关于上节课的几个概念关于上节课的几个概念n n考虑只有一个点的集合E:An nA不是聚点，是孤立点,是边界点n n所以E是闭集。n n闭集包含它的全部聚点，但可能有些集合没有聚点。（任意有限个点的集合）作业P26:1,2（1）（2），4。P30：1（1）（2），4，6，7，8。