高等数学(同济版)下第七节_方向导数与梯度(精品).ppt

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1、第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,且有对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.例例3.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,方向的方向导数.在点P 处沿求函数例例1.求函数 在点 P(

2、1,1,1)沿向量的方向导数.二、梯度二、梯度 方向导数公式令这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 例例5.试证处矢径 r 的模,例例4.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方切线方向向 的夹角 .三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,密度场等如:力场,速度场等(向量场、势场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.作业作业 P108 2，6，7，8，10