数列极限的7个等价性质.ppt

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1、有限覆盖有限覆盖定理定理：使得使得证明：用反证法证明：用反证法.被被开开区区间间系系若闭区间若闭区间则存在则存在有限有限子系子系覆盖（即覆盖（即）,假设假设不然不然，即即不能被不能被将区间将区间等分为两半等分为两半,中有限个开区间覆盖，中有限个开区间覆盖，必至少有一半不能被必至少有一半不能被将这样的一半记作将这样的一半记作（如果两半都如此，（如果两半都如此，任取其一）任取其一）.也有一半不能被也有一半不能被中有限个开区间覆盖中有限个开区间覆盖.将此记作将此记作依此类推依此类推.中有限个开区间覆盖中有限个开区间覆盖.等分为两半，等分为两半，再将再将其中至少其中至少这样我们得到区间套这样我们得到区

2、间套存在唯一点存在唯一点由区间套定理知，由区间套定理知，因为因为覆盖区间覆盖区间所以所以使得使得因为因为所以所以使得使得与区间套的构做方式与区间套的构做方式矛盾矛盾.开区间开区间被被开开区区间间系系覆盖覆盖存在存在有限有限子系子系使得使得例如例如,令令则则被开区间系被开区间系覆盖覆盖,但但不不能被其任意一个有限子系覆盖能被其任意一个有限子系覆盖.闭区间闭区间被被闭闭区区间间系系覆盖覆盖存在存在有限有限子系子系使得使得例如例如,令令则则被闭区间系被闭区间系覆盖覆盖,但但不不能被其任意一个有限子系覆盖能被其任意一个有限子系覆盖.1.非空实数集若有上非空实数集若有上(下下)界则必有上界则必有上(下下

3、)确界确界.2.单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛.3.区间套定理区间套定理.4.有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.5.数列收敛当且仅当它是数列收敛当且仅当它是Cauchy列列.6.有限覆盖定理有限覆盖定理.以上六条等价！以上六条等价！已经证过的结论：已经证过的结论：单调有界必有极限单调有界必有极限(2)有上界必有上确界有上界必有上确界(1)设设A是一个非空实数集，是一个非空实数集，某个元素不是自己的上界某个元素不是自己的上界.有上界有上界.不妨设不妨设A 的的将此元素记作将此元素记作A 的一个上界记作的一个上界记作则令则令否则令否则令令令若若是是 A 的一个上界的一个上界,令令如此

4、我们得到一个数列如此我们得到一个数列有下界有下界记记易知易知其每一项都是其每一项都是A 的的一个上界，一个上界，数列数列单调减少、单调减少、所以收敛。所以收敛。由保序性由保序性,所以所以 s 是上是上确确界界.因为因为因为因为不是不是A的上界的上界,所以所以有限覆盖定理有限覆盖定理(6)假假设设数列数列有界，有界，因因为为没有收没有收敛敛子列，子列，存在有限个存在有限个使得使得Bolzano定理定理(4)分别是其一个下界，分别是其一个下界，一个上界，一个上界，但但没有收敛子列没有收敛子列.所以所以开区开区间间中只含中只含中有限项中有限项.由有限覆盖定理，由有限覆盖定理，因为每个开区间因为每个开

5、区间只含只含中有限项，中有限项，中有限项，中有限项，矛盾！矛盾！中只含中只含所以所以中有限中有限项，项，中中中只含中只含所以所以有限覆盖定理有限覆盖定理(6)但但中的任意有限个中的任意有限个中至少有一个中至少有一个记记这样找到有界数列这样找到有界数列存在收敛子列存在收敛子列假设假设开区间都不能覆盖开区间都不能覆盖中中记作记作至少有一个不能被至少有一个不能被中的有限个开区间覆盖，中的有限个开区间覆盖，不能被不能被中的有限个开区间覆盖，中的有限个开区间覆盖，由例题的结论，由例题的结论，Bolzano定理定理(4)记记则则且且有有因为因为所以所以使得使得因为因为是开集，是开集，所以所以与区间列与区间

6、列的构作方式的构作方式矛盾矛盾.且且Cauchy收敛准则收敛准则(5)单调有界必收敛单调有界必收敛(2)设数列设数列单调增加且有上界单调增加且有上界,但但发散发散.由由Cauchy收敛准则知收敛准则知,对于对于存在存在对于对于存在存在对于对于存在存在因为因为单调增加单调增加,所以所以使得使得使得使得使得使得从而数列从而数列无界无界,矛盾！矛盾！123456有上有上(下下)界则必有上界则必有上(下下)确界确界Cauchy收敛准则收敛准则Bolzano定理定理区间套定理区间套定理单调有界必收敛单调有界必收敛有限覆盖定理有限覆盖定理邻域邻域点点的的邻域是指与点邻域是指与点距离小距离小于于的点的集合的

7、点的集合即即开区间开区间聚点聚点设集合设集合若对于任意正数若对于任意正数的的邻域中都含有邻域中都含有 A 中无穷多个点中无穷多个点,则称则称是是A 的一个聚点的一个聚点.例如例如,A 中每个点都是中每个点都是A 的的聚点聚点,也都是也都是A 的聚点的聚点.例如例如则则 A只有一个聚点只有一个聚点而集合而集合没有聚点没有聚点.是是A 的一个聚点的充要条件是的一个聚点的充要条件是命题命题的的邻域中都含有邻域中都含有 A 中异于中异于的点的点.数列数列有界有界,从而有收敛子列从而有收敛子列,记记下证下证是是 A 的一个聚点的一个聚点.7.有界无穷集必有聚点有界无穷集必有聚点.证明证明任取任取设设A是

8、有界无穷集是有界无穷集.是有界无穷集是有界无穷集,任取任取是有界无穷集是有界无穷集,任取任取含有含有 A 中无穷多个点中无穷多个点即即的的邻域邻域设设是有界数列是有界数列.记记1)A 是有限集是有限集.此时此时中有无穷多项相等中有无穷多项相等,这些项组成的子列是常数列这些项组成的子列是常数列,收敛收敛.2)A 是无限集是无限集.此时此时A有聚点有聚点,记记 a 是是 A 的的一个聚点一个聚点.任取任取的一项的一项,记作记作令令在在 a 的的邻域中取邻域中取中标号大于中标号大于n1的一项的一项,记作记作这样得到的子列这样得到的子列收敛到收敛到 a.因为因为从而从而,令令中标号大于中标号大于 n2 的一项的一项,记作记作在在 a 的的邻域中取邻域中取12356有上有上(下下)界则必有上界则必有上(下下)确界确界Cauchy收敛准则收敛准则4 Bolzano定理定理区间套定理区间套定理单调有界必收敛单调有界必收敛有限覆盖定理有限覆盖定理7 有界无穷集必有聚点有界无穷集必有聚点