数字信号处理第七章-2.ppt

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1、数字信号处理Digital Signal Processing7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器（时域方法）滤波器（时域方法）如如果果希希望望得得到到的的滤滤波波器器的的理理想想频频率率响响应应为为，那那么么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应滤波器的设计就在于寻找一个频率响应去逼近去逼近，逼近方法有三种：逼近方法有三种：窗口设计法（时域逼近）窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）最优化设计（等波纹逼近）时时间间窗窗函函数数设设计计法法是是从从单单位位脉脉冲冲响响应应序序列列着着手手，使使h(n)逼逼近近理理想想的的单

2、单位位脉脉冲冲响响应应序序列列hd(n)。我我们们知知道道hd(n)可以从理想频响通过傅氏反变换获得：可以从理想频响通过傅氏反变换获得：但理想频响但理想频响 是分段恒定，在边界频率处有突是分段恒定，在边界频率处有突变点，这样得到的理想单位脉冲响应变点，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)是无限长序列，是无限长序列，而且是非因果的。而且是非因果的。FIR的的h(n)是是有有限限长长的的，问问题题是是怎怎样样用用一一个个有有限限长长的的序序列列去去近近似似无无限限长长的的hd(n)。最最简简单单的的办办法法是是直直接接截截取取一一段段hd(n)代代替替 h(n)。这这种种截截取取可可以以形形象象地

3、地想想象象为为h(n)是是通通过过一一个个“窗窗口口”所所看看到到的的一一段段hd(n)，因因此此，h(n)也也可可表表达达为为hd(n)和和一一个个“窗窗函函数数”的乘积，即的乘积，即 h(n)=w(n)hd(n)在在这这里里窗窗口口函函数数就就是是矩矩形形脉脉冲冲函函数数RN(n)，为为了了改改善善所所设设计计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式。滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式。设计步骤：设计步骤：设设计计FIR滤滤波波器器就就是是根根据据要要求求，找找到到有有限限个个傅傅里里叶叶级级数数系系数数，以以有有限限项项傅傅立立叶叶级级数数去去近近似似代代替替无无限限项项傅傅里里叶级数

4、。叶级数。窗函数法也称傅里叶级数法窗函数法也称傅里叶级数法。为为理理想想低低通通滤波器的传输函数。滤波器的传输函数。则滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度则滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数的幅度特性的卷积。特性与窗函数的幅度特性的卷积。如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截取，对截取后信号进行傅里叶变换得：取，对截取后信号进行傅里叶变换得：线性相位线性相位后面有证明后面有证明频域卷积定理频域卷积定理一一.矩形窗口法矩形窗口法：低通滤波器的延时低通滤波器的延时 以一个截止频率为以一个截止频率为 的线性相位理想低

5、通滤波器为例的线性相位理想低通滤波器为例,讨论讨论FIR的设计问题。的设计问题。1.对于给定的理想低通滤波器对于给定的理想低通滤波器，计算计算理想特性的理想特性的hd(n)和和Hd()（a）（b）hd(n)是一个以是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列，为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n)，则为保证所得到的则为保证所得到的是线性相位是线性相位FIR滤波器，延时滤波器，延时 应为应为h(n)长度长度N的一半，即的一半，即hd(n)的最的最大值是多少大值是多少？其其中中2.计算计算3.计算计算 窗口函数的频谱窗口函数的

6、频谱4.加窗后的截断效应加窗后的截断效应矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）幅度函数为幅度函数为7.2.1主瓣主瓣旁瓣旁瓣w(n)=RN(n)把把理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式 其中幅度函数为其中幅度函数为两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有则实际则实际FIR滤波器的幅度函数滤波器的幅度函数H()为为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。取样函数取样函数矩形窗矩形窗 矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）7.2.3课本课本P205图图

7、7.2.3H(0)0.5H(0)H()maxH()min4个特殊频率点看卷积结果：个特殊频率点看卷积结果：，故故H(0)近似为近似为在在（1）=0时时，H(0)等于等于在在-c,c内的积分面积内的积分面积因一般因一般-,内内的积分面积；的积分面积；（2）=c时，仅一半波形重叠时，仅一半波形重叠，H(c)=0.5 H(0)；（3）=c2/N时，时，主瓣完全在主瓣完全在-c,c内，最大内，最大的第一旁瓣（负数）在通带外的第一旁瓣（负数）在通带外，在该点在该点H()出出现正肩峰；现正肩峰；（4）=c+2/N时时，主瓣完全在主瓣完全在-c,c外，最外，最大的第一旁瓣（负数）完全在通带大的第一旁瓣（负数

8、）完全在通带-c,c内内，出现负肩峰。出现负肩峰。窗口函数对理想特性的影响：窗口函数对理想特性的影响：改变了理想频响的边沿特性改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为形成过渡带，宽为，等于等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长）的主瓣宽度。（决定于窗长）过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR()的旁瓣的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与与N无关。（决定于窗口形状）无关。（决定于窗口形状）N增加增加,过渡带宽减小过渡带宽减小,肩峰值不变。肩峰值不变。因主瓣附近因主瓣附近 其其中中x

9、=N/2,所所以以N的的改改变变不不能能改改变变主主瓣瓣与与旁旁瓣瓣的的比比例例关关系系，当当N增增加加时时，H()的的波波动动幅幅度度没没有有多多大大改改善善，使使阻阻带带衰衰减减只只有有21dB（图图7.2.4）,这这种种现现象象称称为为吉吉布布斯斯（Gibbs）效效应应(截截断效应断效应）。肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要尽量满足以下两点要求：

10、许多种，但要尽量满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相相对对于于主主瓣瓣幅幅度度，旁旁瓣瓣要要尽尽可可能能小小，使使能能量量尽尽量量集集中中在在主主瓣瓣中中，这这样样就就可可以以减减小小肩肩峰峰和和余余振振，以以提提高高阻阻带带衰衰减减和和通带平稳性。通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。度来换取对旁瓣的抑制。2.2.三角形窗三角形窗（BartlettWindow）其频率响应为：其频率响应为：主瓣宽度为主瓣宽度为 ，第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低 2

11、6dB，过过渡带宽为渡带宽为。几种常用的窗函数：几种常用的窗函数：1.1.矩形窗，上面已讲过，不再细述。矩形窗，上面已讲过，不再细述。3.汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（升余弦窗）利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数 可用矩形窗的幅度函数表示为可用矩形窗的幅度函数表示为：三部分相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大三部分相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加大减小，主瓣宽度增加1 1倍，为倍，为。第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低31dB，过渡带宽度过渡带宽度。7.2.34.4.哈明窗（改进的升余弦窗）哈明窗（改进的升

12、余弦窗）其频谱函数为：其频谱函数为：其幅度函数为：其幅度函数为：它它是是对对汉汉宁宁窗窗的的改改进进，在在主主瓣瓣宽宽度度相相同同的的情情况况下下，旁旁瓣瓣进进一一步步减减小小，可可使使99.96%的的能能量量集集中中在在窗窗谱谱的的主主瓣瓣内内。第第一一旁旁瓣瓣比主瓣峰值低比主瓣峰值低 41dB，主瓣宽度为，主瓣宽度为 。过渡带宽度为过渡带宽度为 。其频域函数为：其频域函数为：5.5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）布莱克曼窗（三阶升余弦窗）幅幅度度函函数数由由五五部部分分组组成成，可可进进一一步步降降低低旁旁瓣瓣，但但主主瓣瓣宽宽度度进进一一步步增增加加为为 。增增加加N可可减减少少过过渡渡带带

13、。主主瓣瓣宽宽度度为为，过渡带宽度为过渡带宽度为 ，第一旁瓣比主瓣低，第一旁瓣比主瓣低57dB。(5)三角形窗三角形窗7.2.45常用窗函数的幅度特性常用窗函数的幅度特性 N=51，A=20lg|W()/W(0)|四种窗函数的比较图图7.2.5图图7.2.6-44dB-53dB-21dB-74dB6.6.凯塞窗凯塞窗 以以上上几几种种窗窗函函数数，都都是是以以增增加加主主瓣瓣宽宽度度为为代代价价来来降降低低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。，式中式中=5.44接近汉明接近汉明；=8.5接近布莱克曼接近布莱克曼；=0=0为矩形窗。为矩形窗。参

14、数参数可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。越大越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取一般取49。I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可表示为是零阶第一类修正贝塞尔函数，可表示为凯塞窗的幅度函数为：凯塞窗的幅度函数为：图图1 1 零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数I0(x)x01窗函数法的主要工作是计算窗函数法的主要工作是计算hd(n)和和w(n)的选取。的选取。用窗函数进行用窗函数进行FIR设计的步骤设计的步骤：(1)确定待求滤波器的理想单位脉冲取样响应确定待求滤波器的理想单位脉冲取样响应hd(n)；(2)根据过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形状；根据过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形状；(3)估计窗长估计窗长N(4)确定确定(5)计算计算，验证是否满足指标。验证是否满足指标。过度带宽过度带宽A取取决决于于窗窗的的形形状状，如如矩矩形形窗窗 ，哈哈明明窗窗 等。等。主瓣带宽主瓣带宽窗函数法的优缺点窗函数法的优缺点：优点：优点：设计简单，使用方便。设计简单，使用方便。缺点缺点若若 不能用简单的函数表示，则很难求出不能用简单的函数表示，则很难求出 ；窗函数法很难精确控制滤波器的通带和阻带及边界频率。窗函数法很难精确控制滤波器的通带和阻带及边界频率。P212例例7.2.1