第4章 玻色统计和费米统计.ppt

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1、第四章玻色统计与费米统计前言n n三种粒子系统n n非简并性条件（经典极限条件）n n玻耳兹曼统计的成功n n玻耳兹曼统计的遗留问题1，金属固体的热容量/低温固体的热容量2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”第1节 热力学量的统计表达式n n回忆：玻耳兹曼统计方法：1，计算配分函数Z；2，通过配分函数计算热力学函数n n设想：量子统计方法：1，计算巨配分函数；2，通过巨配分函数计算热力学函数一，巨配分函数n n考虑玻色分布n n则内能n n假设n n对比两式，则：ksai：称为巨配分函数二，平均粒子数和广义力对比巨配分函数平均粒子数广义力对于PVT系统三，熵和因子用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出

2、玻色系统的熵其中说明：1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本热力学函数U,P,S 2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量四，热力学公式玻色系统 费米系统巨配分函数内能广义力/状态方程熵第2节 弱简并玻色气体和费米气体n n什么叫弱简并性气体？简并性气体？非简并性气体？n n弱简并性气体的内能有何特点？在体积V内，d范围内的微观状态数：则系统粒子数为：“”表示费米气体，“”表示玻色气体 g表示因自旋引起的状态增加系统的内能为：方便推导起见，令x=考虑代入N和U的积分，即可得到：即：说明：1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分

3、布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增加了一项附加内能。3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。第3节 光子气体n n一，空腔热辐射（普朗克公式）有关概念：1，“紫外灾难”2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场n n光子气体电磁辐射场光子气体光子是一种准粒子其中k称为波矢，是电磁波方向2长度上的波数。光子的自旋为s=1，为玻色子.玻色系统单态平均粒子数：光子系统有其特殊性n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式n n普朗克公式的意义1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于此结论导致“紫外灾难”，并

4、且动摇了经典物理的基础。2，普朗克公式考虑光能量按h传播量子力学的萌芽。n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式n n普朗克公式极限情况1，低频2，高频瑞利-金斯公式，导致“紫外灾难”维恩公式，1896年二，光子气体的热力学量 n n可根据玻色分布的理论，先求巨配分函数，然后再求热力学量。n n可利用普朗克公式直接求出系统的内能。n n内能密度的最大值 维恩位移定律，1893年第4节 玻色爱因斯坦凝聚n n典型的玻色系统光子气体n n一般性的玻色系统有什么性质？一，爱因斯坦凝聚 n n费米系，温度0K时，粒子不集中在基态n n玻色系，温度0K时，粒子都处于基态，基态粒子数N0=N n nT0

5、K时，N0=N-N。N0与N可相比拟n nTTc时，N0趋于零，N趋于Nn n反过来，当T0K时 三，费米气体的热力学量 四，金属中的自由电子气体金属模型：离子具有一定的结构，骨架；价电子公有电子，并且考虑电子之间相互作用很弱，以及电子与粒子场受力平均。对于Cu,Ag,Au,碱金属，每个原子提供一个电子。则：原子数N=自由电子数N；金属体积V=自由电子气体V；金属温度T=自由电子温度T。五，一些概念：费米能，费米温度，费米动量，费米速度 当TE时，有：当TE时，有：高温符合实验结果：杜隆伯替定律；低温定性符合实验规律cv0。缺点：不能给出T3的规律。n n三：德拜理论：1：德拜模型：修改了爱因

6、斯坦模型。认为3N个振子不以同一频率振动，而各自具有不同的频率1，2，3，每个振子的平均能量为：总能量为：从形式上解决了问题，求出U，则：但1，2，3，均需实验确定，N为极大的数量，全确定不可能。需要用其它方法解决此问题。则提出了德拜频谱。2：德拜频谱：通过低频下的电磁波驻波数目：普朗克公式在低频下的极限推论。对于固体，有：上式中第一项是弹性驻波在d内的横波数目，第二项是纵波数目，不考虑偏振，相同情况下是横波数目的一半。而总驻波数目为3N，即：D最大驻波圆频率。由上积分计算得：则可用D表示g()d为：德拜频谱。D德拜频率，是待定参量，习惯上用德拜温度D来表示。德拜频率测量方法：1，测量驻波速率

7、；2，热容量标定。3：热容量：考虑的连续分布，求和变为积分：代入德拜频谱其中D(x)称为德拜函数验证实验结果：高温时：低温时：T1，则：1，试简要说明什么是爱因斯坦凝聚现象？回答要点：（1）：对玻色系统而言。（2）：T较高时，基态N00，激发态N(T)N。（3）：当TTc（临界温度，凝聚温度），N0(T)随温度T下降而显著增加。当T=0K时，N0(T)=N。（4）：在T=Tc处发生了相变现象，大量玻色子在动量空间凝聚到动量最低的状态。2，简要介绍统计物理对固体热容量试验定律的解释。回答要点：（1）：实验表明：a,高温时cv=3R（杜隆伯替定律）；b,T0时，cv0；c,且有在低温时，cv与T3成比例。（2）：经典的能量均分定理，可解释a；（3）：爱因斯坦利用固体的谐振子模型，解释当T0时，cv0。但不能给出T3的规律。（4）：德拜修改了爱因斯坦的单一频率谐振子模型，引入了德拜频谱，成功地解释了实验定律。3，根据普朗克公式辐射场的能量密度随频率的分布有极大值m，试证明：（此结论称为维恩位移定律）