11.3 角平分线的性质(2)课件2.ppt

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1、角角平分线的性质平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用用符号语言表示为：符号语言表示为：AOBPED12 1=21=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(在角平分线上的点到角的两在角平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。复习复习？思考思考要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺

2、处？（比例尺 1 1：2000020000）公路公路铁路铁路 我我们们已已经经知道角的平分知道角的平分线线上的点到角的两上的点到角的两边边的距离相等，那么的距离相等，那么若一个点到角的两若一个点到角的两边边的距离相等，的距离相等，则这则这个点是否在个点是否在这这个角的平分个角的平分线线上呢？上呢？谈谈谈谈你的看法你的看法.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。平分线上。已知：已知：PD OA，PE OB，垂足分别是垂足分别是D、E，PD=PE.求证：求证：点点P在在AOB的平分线上。的平分线上。AOBPDE证明：证明：作射线作射线OP 点点P在在

3、 角的平分线上角的平分线上 在在 RtPDO 和和RtPEO 中，中，（HL）（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）OP =OP（公共边公共边）PD =PE （已已 知知 ）PDO 和和PEO 是是RtOP 是是 的平分线的平分线PD=PE （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平在这个角的平 分线上分线上）DEOPAB用用符号语言表示为：符号语言表示为：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。平分线上。解决问题：解决问题：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距

4、离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺处？（比例尺 1 1：2000020000）公路公路铁路铁路P定理定理定理定理 1 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理定理定理定理 2 2 角的内部角的内部角的内部角的内部到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等的点的点的点的点 在角的平分线上。在角的平分线上。在角的平分线上。在角的平分线上。BADOPECPD=PEOP 是是 的平分线的平分

5、线OP 是是 的平分线的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等；由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。练一练练一练1.填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(2).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB121=2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。角平分线

6、上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等AD平分平分BAC例例1 1 已知：如图，已知：如图，C=C=90C=C=90 ，AC=AC=ACAC 求证求证（1 1）ABC=ABC=ABCABC ；（；（2 2）BC=BC BC=BC （要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定）BCAC例例2.2.已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足

7、为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？三边距离相等的点？我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三条角平分线相交于一点，你能证明这形的三条角平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？个结论吗？例例3:如图，设如图，设ABC的角的角平分线平分线BM，CN相交于点相交于点P，

8、你能证明点你能证明点P在在BAC的平分线上吗？的平分线上吗？CABDFEPNM证明证明:过点过点P P分别作分别作BCBC，ACAC，ABAB的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是E E，F F，D D，BMBM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上，上，PD=PEPD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理，同理，PE=PFPE=PF，PD=PFPD=PF点点P P在在BACBAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。两边距离相等的点，在这个角

9、的平分线上）。ABCABC三条角平分线相交于点三条角平分线相交于点P P。如图，如图，的的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的求证：点到三边，所在直线的距离相等距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！变式变式已知：如图，已知：如图，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的平分线相交于点平分线相交于点F F。求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上。的平分线上。CD A B F E 你会吗？你会吗？OQP变式变式 例例5、已知，如图，、已知，如图，B=C=，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC。求

10、证：求证：AM平分平分DAB。AMDCB证明：证明：过M作MEAD于EE B=C=MCDC，MBAB又又 DM平分平分ADCME=MCMC=MB ME=MBAM平分平分DAB（到（到角角两边距离相等的点在这个角的平分线上）两边距离相等的点在这个角的平分线上）（角平分线上的角平分线上的 点点 到角两边的距离相等）到角两边的距离相等）例例6、如图，、如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是垂足分别是E、F，连接连接EF，EF与与AD交于交于G。求证：求证：（1）DE=DFBFEDCAG（2）AE=AF（3）ADEF1.1.角平分线的性质：角平分线的性质：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。2.2.怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。ABCP角的角的平分线上的点平分线上的点到角的两边的到角的两边的距离相等距离相等.