教育专题：角平分线（1）.ppt

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1、第四节第四节 角平分线（一）角平分线（一）还记还记得角平分得角平分线线上的点有什么性上的点有什么性质质吗吗?你是怎你是怎样样得到的得到的?用心想一想用心想一想角平分角平分线线上的点到角两上的点到角两边边的的距离相等距离相等 已知：如已知：如图图，OC是是AOB的平分的平分线线，点，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分，垂足分别为别为D、E求求证证：PD=PE证证明：明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等)21EDCPOBA分析分析:要证明要证明PD=PE,只要证明它们所在的只要证明它们所在的 O

2、PDOPB，角平分线的性质定理角平分线的性质定理 角平分角平分线线上的点到上的点到这这个角的两个角的两边边的距离相等的距离相等 21EDCPOBA几何语言：几何语言：1=2 PD OA，PE OBPD=PE老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段这个结论是经常用来证明两条线段 相等的根据之一相等的根据之一.如果有一个点到角两如果有一个点到角两边边的距离相等，的距离相等，那么那么这这个点必在个点必在这这个角的平分个角的平分线线上上 你能写出你能写出这这个定理的逆命个定理的逆命题吗题吗?用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成这这个命个命题题是假命是假命题题角平分角平分线线是角内部是角内部的一条射

3、的一条射线线，而角的外部也存在到角两，而角的外部也存在到角两边边距距离相等的点离相等的点角平分角平分线线性性质质定理的逆命定理的逆命题题：在一个：在一个角的内部且到角的两角的内部且到角的两边边距离相等的点，在距离相等的点，在这这个角的角平分个角的角平分线线上上这这是一个真命是一个真命题吗题吗?已知：在已知：在AOB内部有一点内部有一点P，且，且PD OA，PE OB，D、E为为垂足且垂足且PD=PE，求求证证：点：点P在在AOB的角平分的角平分线线上上用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成证证明：明：PD OA，PE OB，PDO=PEO=90在在Rt ODP和和Rt OEP中中OP=OP，

4、PD=PERt ODP Rt OEP(HL)1=2(全等三角形全等三角形对应对应角相等角相等)21EDCPOBA角平分线的判定定理角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角在一个角的内部，且到角两两边边距离相等的点，在距离相等的点，在这这个角个角的角平分的角平分线线上上老师提示老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线这个结论又是经常用来证明点在直线 上上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.你能用什么你能用什么办办法平分一个已知角呢法平分一个已知角呢?用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成可以用量角器可以用量角器使用三角尺，也可以平分一个已知角使用三角尺，也可以平分一个

5、已知角用角尺也可以平分一个已知角用角尺也可以平分一个已知角用直尺和用直尺和圆规圆规平分一个已知角平分一个已知角已知：已知：AOB(如如图图)求作：射求作：射线线OC，使，使AOC=BOCEDBOA作法：作法：1、在、在OA和和OB上分上分别别分分别别截取截取OD、OE，使，使OD=OE2分分别别以以D、E为圆为圆心，以大于心，以大于 DE的的长为长为半径作弧，半径作弧，两弧在两弧在AOB内交于点内交于点C3作射作射线线OCOC就是就是AOB的平分的平分线线 如如图图，AD、AE分分别别是是ABC中中A的内角平分的内角平分线线和外角平分和外角平分线线，它，它们们有什么关系？有什么关系？FEDCB

6、A4321解：解：AD平分平分CAB,1=2=CABAE平分平分CAF，3=4=CAF又又CAB+CAF=1801+3=（CAB+CAF）=180=90即即AD AEw1、邻补角的平分线互相 w2、如果一个三角形一个角的外角平分线平行与第三边，则这个三角形是 w3、已知点P及线段MN都在AOB内部，且PM=PN，点P到AOB两边之距相等，则点P是 线与 线的交点w4、ABC中，B与C的平分线相交于点F，过点F作DEBC交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，BC=10，则四边形DBCE的周长是 w5.如图所示，在ABC中，C=90，AC=BC,AD平分BAC,DEAB于E,若AB=10cm,

7、则DBE的周长等于 。w6。、ABC中，A=70，B与C的内角平分线相交于O，B与C的外角平分线相交于M，则BOC=，BMC=7、已知：在、已知：在ABC中，中，AD是它的角平分线，且是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F。求证：。求证：EB=FC8.如图所示如图所示,在四边形在四边形ABCD中，中，BCAB,AD=DC,BD平分平分ABC.求证：求证：BAD=BCD=180课堂小结课堂小结,畅谈收获：畅谈收获：(一一)角平分角平分线线的性的性质质定理定理角平分角平分线线上的点到角两上的点到角两边边的距离相等的距离相等(二二)角平分角平分线线的判定定理的

8、判定定理 在一个角的内部，且到角的两在一个角的内部，且到角的两边边距离相距离相等的点，在等的点，在这这个角的平分个角的平分线线上上(三三)用尺用尺规规作角平分作角平分线线已知：在三角形已知：在三角形ABCABC中中，BADBAD=CAD,ABC=2 C.求证求证:AB+BD=AC:AB+BD=AC2 2、ABCABC中，中，BB与与CC的角平分线相交于点的角平分线相交于点F F，过点，过点F F作作DEBCDEBC交交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E E，若，若BD+CE=9BD+CE=9，BC=10BC=10，则四边形，则四边形DBCEDBCE的周长是的周长是 。3 3、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BC,ADAC=BC,AD平平分分BAC,DEABBAC,DEAB于点于点E,E,若若AB=10cm,AB=10cm,则则DBEDBE的周长的周长等于等于 。