量子力学用算符表达与表象变换(精品).ppt

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1、第四章量子力学用算符表达与表象变换第四章量子力学用算符表达与表象变换 这一章主要介绍量子力学处理问题特有的一整这一章主要介绍量子力学处理问题特有的一整套基本原理与数学方法。这一章构成了量子力套基本原理与数学方法。这一章构成了量子力学基本理论框架的主要部分。学基本理论框架的主要部分。4.1 算符的运算规则；算符的运算规则；4.2厄米算符的本征值与本征函数；厄米算符的本征值与本征函数；4.6 狄拉克（狄拉克（Dirac)符号符号.4.4 连续本征函数的连续本征函数的归一化归一化；4.5量子力学矩阵形式与表象变换；量子力学矩阵形式与表象变换；4.3 共同本征函数；共同本征函数；共六节：共六节：4.1

2、 算符的运算规则算符的运算规则1.算符定义算符定义：作用在一个函数上得出另一个函数的作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号运算符号。2.线性算符线性算符算符算符 若若成立，则是线性算符。成立，则是线性算符。单位算符单位算符I I，I I，对对是任意函数成立。是任意函数成立。算符相等算符相等：对任意函数：对任意函数，若若 成立，则成立，则 .可观测的力学量算符都是线性算符。可观测的力学量算符都是线性算符。是态迭加原理反映是态迭加原理反映。算符和、差满足算符和、差满足交换律与结合律交换律与结合律。3.3.算符和、差定义：算符和、差定义：如哈密顿算符如哈密顿算符H4.4.算符之积定义算符之积定义

3、例如，例如，算符之积满足算符之积满足结合律，但结合律，但不满足交换律不满足交换律1)坐标与动量算符的一般坐标与动量算符的一般对易关系：对易关系：2)2)引入泊松括号：引入泊松括号：坐标动量对易式坐标动量对易式称算符称算符A、B对易对易。称算符称算符A、B不对易不对易。泊松括号有如下几个恒等式：泊松括号有如下几个恒等式：c c为常数。为常数。称雅可比称雅可比(JacobiJacobi)恒等式。恒等式。练习练习1 1。3)3)角动量算符基本对易式角动量算符基本对易式 其他对易关系通过其他对易关系通过x,y,z轮换得到。轮换得到。可统一写成：可统一写成：或写成或写成：（1）规定：规定：偶置换为偶置换

4、为1，奇置换为，奇置换为1，任两个相同为，任两个相同为0。称为称为Levi-Civita 符号。符号。注注：（：（1）式右边）式右边、L下标相同的意味求和。下标相同的意味求和。其他重要的对易关系式：其他重要的对易关系式：定义定义:，i=x,y,z 定义：定义：练习练习 2 球坐标下的角动量算符形式：球坐标下的角动量算符形式：(推导见周世勋量子力学教程推导见周世勋量子力学教程p62)2、P90，练习练习3；作业作业105.逆算符逆算符若成立若成立，称是的逆算符。称是的逆算符。有公式：有公式：6.算符函数，算符函数，（问）（问）补充知识：补充知识：标识（或称内积）标识（或称内积）8.转置算符：转置

5、算符：9.厄米共轭算符厄米共轭算符7.复共轭算符：是复共轭算符：复共轭算符：是复共轭算符：例，例，有公式：有公式：若算符满足：，若算符满足：，其中其中、是任意函数，则称是的是任意函数，则称是的厄米共轭算符厄米共轭算符，记为：记为：。（与书上定义（。（与书上定义（4141）式是一致）式是一致）定义式为：定义式为：厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二个算符的一种对应关系。个算符的一种对应关系。厄米共轭算符的几个关系式：厄米共轭算符的几个关系式：V(r)+=V(r)10.厄米算符厄米算符其中其中、是任意函数是任意函数，厄米算符反映某一类算符的特性。定理：定理：体系的任何状态下，其厄米算符的体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。平均值必为实数。可测量的物理量算符一定为厄米算符可测量的物理量算符一定为厄米算符。逆定理也成立逆定理也成立(证明见证明见P93P93）。）。坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符。1、P131，习题习题41；2、P132，习题习题47；3、P133,习题习题49，a,b.c。4、练习练习2作业作业11P90，练习练习3、练习、练习4讲解讲解