11、一维原子链(第二章).ppt

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1、第 1 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质本章本章本章本章主要讨论晶格的动力学主要讨论晶格的动力学主要讨论晶格的动力学主要讨论晶格的动力学:l l 晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动l l 以及这种振动对固体性质的影响。以及这种振动对固体性质的影响。以及这种振动对固体性质的影响。以及这种振动对固体性质的影响。晶格振动决定了晶体的宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研晶格振动决定了晶体的宏观热学

2、性质，晶格振动理论也是研究研晶格振动决定了晶体的宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研晶格振动决定了晶体的宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，这是在晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，这是在晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，这是在晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，这是在19121912年由玻恩和卡门建年由玻恩和卡门建年由玻恩和卡门建年由玻恩和卡门建立的，其立的，其立的，其立的

3、，其基本假设是基本假设是基本假设是基本假设是：假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近似，也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。似，也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。似，也就是

4、说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。似，也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。第 2 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用格波来描写晶格原子的集体运动；用格波来描写晶格原子的集体运动；用格波来描写晶格原子的集体运动；用格波来描写晶格原子的集体运动；用量子

5、理论来表述格波相应的能量量子；用量子理论来表述格波相应的能量量子；用量子理论来表述格波相应的能量量子；用量子理论来表述格波相应的能量量子；在此基础上处理固体的热学性质。在此基础上处理固体的热学性质。在此基础上处理固体的热学性质。在此基础上处理固体的热学性质。第 3 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质3.1 3.1 一维晶格的振动一维晶格的振动一维晶格的振动一维晶格的振动晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。

6、对于晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格振动的基本特点。振动的基本特点。振动的基本特点。振动的基本特点。把一些主要方法和结论推广到三维情况。把一些主要方法和结论推广到三维情况。把一些主要方法和结论推广到三

7、维情况。把一些主要方法和结论推广到三维情况。第 4 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质一、一维简单晶格一、一维简单晶格为了简单起见，采用简谐近似为了简单起见，采用简谐近似为了简单起见，采用简谐近似为了简单起见，采用简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力，即原子间相互作用力类似于弹性力，即原子间相互作用力类似于弹性力，即原子间相互作用力类似于弹性力，正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹

8、簧振子。正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。设设设设两两两两原子间的互作原子间的互作原子间的互作原子间的互作用势为用势为用势为用势为U U（r r）,这两原这两原这两原这两原子间的互作用力为：子间的互作用力为：子间的互作用力为：子间的互作用力为：一般条件下，原子作微小振动，一般条件下，原子作微小振动，一般条件下，原子作微小振动，一般条件下，原子作微小振动，UnUna a，为了取近似，将为了取近似，将为了取近似，将为了取近似，将U U（r r）在）在）在）在平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置a a附近展成泰勒级数：附近展成泰勒级数：附近展成泰勒级数：附近展成泰勒级数：a一维原子

9、键振动一维原子键振动一维原子键振动一维原子键振动第 5 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质当（当（当（当（r-ar-a）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（r-ar-a）2 2项，则原子项，则原子项，则原子项，则原子间距离变化为（间距离变化为（间距离变化为（间距离变化为（r-ar-a）时）时）时）时,互作用力为：互作用力为：互作用力为：互作用力为：为常数为常数为常数为常数第 6 页第三章

10、晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质得到一对原子间距离变化为（得到一对原子间距离变化为（得到一对原子间距离变化为（得到一对原子间距离变化为（r-ar-a）时受到的弹性力为：时受到的弹性力为：时受到的弹性力为：时受到的弹性力为：令令令令称为弹性恢复力系数。称为弹性恢复力系数。称为弹性恢复力系数。称为弹性恢复力系数。第 7 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质考察第考察第考察第考察第n n个原子受到的力：个原子受到的力：个原子受到的力：

11、个原子受到的力：只考虑最近邻原子间的作用力，只考虑最近邻原子间的作用力，只考虑最近邻原子间的作用力，只考虑最近邻原子间的作用力，则第则第则第则第n n个原子受到的力为：个原子受到的力为：个原子受到的力为：个原子受到的力为：第第第第n n n n个原子的牛顿运动方程为个原子的牛顿运动方程为个原子的牛顿运动方程为个原子的牛顿运动方程为：一维原子键振动一维原子键振动一维原子键振动一维原子键振动第 8 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：通常采用试解的方法求解。假

12、设上式具有简谐波形式的试解：通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：q q为波矢，为波矢，为波矢，为波矢，qnaqna是序号为是序号为是序号为是序号为n n的原子在的原子在的原子在的原子在t=0t=0时刻的振动位相。时刻的振动位相。时刻的振动位相。时刻的振动位相。若两原子的位相因子之差：若两原子的位相因子之差：若两原子的位相因子之差：若两原子的位相因子之差：l l为为为为整数，则整数，则整数，则整数，则序号为序号为序号为序号为nn的原子的位移：的原子的位移：的原子的位移：的原子的位移：即两原子因振动而产生的位移相同即两原子因振

13、动而产生的位移相同即两原子因振动而产生的位移相同即两原子因振动而产生的位移相同 第 9 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质时时时时即该两原子有相反的位移。即该两原子有相反的位移。即该两原子有相反的位移。即该两原子有相反的位移。而当而当而当而当表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。原子的位移构成了波，这种波称为原子的位移构成了波，这种波称为原子的位移构成了波，这种波

14、称为原子的位移构成了波，这种波称为格波格波格波格波。格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。传播，称为格波。传播，称为格波。传播，称为格波。第 10 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学

15、性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质将简谐波形式的试解代入运动学方程将简谐波形式的试解代入运动学方程将简谐波形式的试解代入运动学方程将简谐波形式的试解代入运动学方程第 11 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质对应相同的角频率，对应相同的角频率，对应相同的角频率，对应相同的角频率，i i i i为整数为整数为整数为整数考虑振动波函数单值的要求，波矢考虑振动波函数单值的要求，波矢考虑振动波函数单值的要求，波矢考虑振动波函数单值的要求，波矢q q q q可限制在如下范围（简约布里渊区）

16、：可限制在如下范围（简约布里渊区）：可限制在如下范围（简约布里渊区）：可限制在如下范围（简约布里渊区）：注意到注意到注意到注意到说明格波的频率说明格波的频率说明格波的频率说明格波的频率 在波矢空间内是以在波矢空间内是以在波矢空间内是以在波矢空间内是以倒格矢倒格矢倒格矢倒格矢2/a2/a2/a2/a为为为为周期的周期函数。周期的周期函数。周期的周期函数。周期的周期函数。波波波波矢矢矢矢q q q q与波矢与波矢与波矢与波矢q q q q的格波等价。的格波等价。的格波等价。的格波等价。这也正是晶格排列周期性的结果。这也正是晶格排列周期性的结果。这也正是晶格排列周期性的结果。这也正是晶格排列周期性的

17、结果。第 12 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质上式中指标上式中指标上式中指标上式中指标n n已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的频频频频率波矢关系（称为色散关系）率波矢关系（称为色散关系）率波矢关系（称为色散关系）率波矢关系（称为色散关系）。表明试解代表一种简正模型（即一个表明试解代表一种简正模型（即一个表明试解代表一种简正模型（即一个表明试解代表一

18、种简正模型（即一个和一个和一个和一个和一个q q值）的格波。值）的格波。值）的格波。值）的格波。格波：格波：格波：格波：连续介质弹性波：连续介质弹性波：连续介质弹性波：连续介质弹性波：第 13 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波中的中的中的中的X X是可连续取值的；而在格波中只能取是可连

19、续取值的；而在格波中只能取是可连续取值的；而在格波中只能取是可连续取值的；而在格波中只能取nana（原子位置），这是一（原子位置），这是一（原子位置），这是一（原子位置），这是一系列周期排列的点。系列周期排列的点。系列周期排列的点。系列周期排列的点。一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为子有不同的振动位相，相邻两

20、原子的振动位相差为aqaq。若。若。若。若aqaq改变改变改变改变的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。第 14 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质格波的波速格波的波速格波的波速格波的波速在长波区域，波矢在长波区域，波矢在长波区域，波矢在长波区域，波矢色散关系的格波称为声频支格波。色散关系的格波称为声频支格波。色散关系的格波

21、称为声频支格波。色散关系的格波称为声频支格波。第 15 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质周期性边界条件周期性边界条件周期性边界条件周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）（玻恩卡门边界条件）（玻恩卡门边界条件）（玻恩卡门边界条件）：实际情况：实际情况：实际情况：实际情况：N N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体内原子。内原子。内原子。内原子。设想边

22、界条件：设想边界条件：设想边界条件：设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。运动情况都一样。运动情况都一样。运动情况都一样。近似考虑：近似考虑：近似考虑：近似考虑：N N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。将边界上原子视如体内原子

23、不至于带来误差。将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。玻恩卡门边界条件玻恩卡门边界条件玻恩卡门边界条件玻恩卡门边界条件：德国理论物理学家，量子德国理论物理学家，量子德国理论物理学家，量子德国理论物理学家，量子力学的奠基人之一玻恩，力学的奠基人之一玻恩，力学的奠基人之一玻恩，力学的奠基人之一玻恩，M.(MaxM.(Max Born 1882 Born 18821970).19541970).1954年荣获诺贝年荣获诺贝年荣获诺贝年荣获诺贝尔物理学奖尔物理学奖尔物理学奖尔物理学奖第 16 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章

24、晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态的波矢的波矢的波矢的波矢q q只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。第 17 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶

25、体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质因为因为因为因为q q的取值范围限制在第一布里渊区，即的取值范围限制在第一布里渊区，即的取值范围限制在第一布里渊区，即的取值范围限制在第一布里渊区，即q q只能取相隔的分立值只能取相隔的分立值只能取相隔的分立值只能取相隔的分立值第 18 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质允许的波矢数目等于允许的波矢数目等于允许的波矢数目等于允许的波矢数目等于N N；振动谱是分离谱；振动谱是分离谱；振动谱是分离谱；振动谱是分离谱；晶格振动波矢的数目晶格原

26、胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数在波矢空间中，在波矢空间中，在波矢空间中，在波矢空间中，每一个可能的每一个可能的每一个可能的每一个可能的q q所占据的线度为所占据的线度为所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为（单位长度波矢代表点数目）（单位长度波矢代表点数目）（单位长度波矢代表点数目）（单位长度波矢代表点数目）第 19 页第三章晶体振动与晶体的

27、热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质二、一维复式格子二、一维复式格子二、一维复式格子二、一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和和和MM的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格常数常数常数常数2a2a（相邻同种原子间的距离）。（相邻同种原子间的距离）。（相邻同种原子间的距离）。（相邻同种原子间的距离）。当原子产生位移时，平衡位当原子产生位移时，平衡位当原子产生位移时，平衡位当原子

28、产生位移时，平衡位置在置在置在置在2n2n2n2n与第与第与第与第(2n+1)(2n+1)(2n+1)(2n+1)个原子的个原子的个原子的个原子的运动运动运动运动方程：方程：方程：方程：假设：假设：假设：假设：分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作用力相同，即用力相同，即用力相同，即用力相同，即1 12 22a第 20 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶

29、体振动与晶体的热学性质试解：试解：试解：试解：假设：假设：假设：假设：分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作用力相同，即用力相同，即用力相同，即用力相同，即1 12 2第 21 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质A A A A与与与与B B B B分别表示质量为分别表示质量为分别表示质量为分别表示质量为m m m m与与与与M M

30、M M的原子的振幅的原子的振幅的原子的振幅的原子的振幅。将试解代入运动方程可得：将试解代入运动方程可得：将试解代入运动方程可得：将试解代入运动方程可得：这是振幅这是振幅这是振幅这是振幅A A与与与与B B的线性齐次方程，的线性齐次方程，的线性齐次方程，的线性齐次方程，A A与与与与B B不能同时为零，不能同时为零，不能同时为零，不能同时为零，要求要求要求要求第 22 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质由此可得由此可得由此可得由此可得一维双原子复式格子具有两支色散关系一维双原子复式格子具有两支色散关系一维双原

31、子复式格子具有两支色散关系一维双原子复式格子具有两支色散关系同样，对于一维复式格子，同样，对于一维复式格子，同样，对于一维复式格子，同样，对于一维复式格子，q q值限制在值限制在值限制在值限制在以保证以保证以保证以保证x xn n的单值性。如图所示。的单值性。如图所示。的单值性。如图所示。的单值性。如图所示。第 23 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质声学波和光学波声学波和光学波声学波和光学波声学波和光学波在布里渊区的在布里渊区的在布里渊区的在布里渊区的边界边界边界边界/2 a/2 a处处处处达到最大值达到

32、最大值达到最大值达到最大值在布里渊区的在布里渊区的在布里渊区的在布里渊区的边界边界边界边界/2 a/2 a处处处处达到最小值达到最小值达到最小值达到最小值第 24 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质由由由由mMmM可见，在两支色散关系可见，在两支色散关系可见，在两支色散关系可见，在两支色散关系间存在一频隙。间存在一频隙。间存在一频隙。间存在一频隙。_OO为零为零为零为零AA在布里渊区中心，即倒空间在布里渊区中心，即倒空间在布里渊区中心，即倒空间在布里渊区中心，即倒空间原点达到其最大值：原点达到其最大值：原点

33、达到其最大值：原点达到其最大值：第 25 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质讨论：（讨论：（讨论：（讨论：（1 1）光学波与声学波）光学波与声学波）光学波与声学波）光学波与声学波即即即即称频率较高的一支称频率较高的一支称频率较高的一支称频率较高的一支O O O O的的的的格波为格波为格波为格波为光学波光学波光学波光学波 因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶

34、体因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。称频率较低的一支称频率较低的一支称频率较低的一支称频率较低的一支A A A A的格波为的格波为的格波为的格波为声学波声学波声学波声学波。当当当当q q 0 0时，时，时，时，-A-A-A-A有近似于线性的色散关系有近似于线性的色散关系有近似于线性的色散关系有近似于线性的色散关系第 26 页第三章晶体振

35、动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质而波速为而波速为而波速为而波速为为一常数。为一常数。为一常数。为一常数。频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点.第 27 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质（2 2）相邻两种不同原子的振幅比）相邻两种不同原子的振幅比）相邻两种不同原子的振幅比）相邻两种不同原子的振幅比这是因

36、为这是因为而而这有两种情况：这有两种情况：这有两种情况：这有两种情况：n n对于声学波对于声学波对于声学波对于声学波 由（由（由（由（3 3 3 3）式）式）式）式第 28 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的正号或负号，即对于声学波：正号或负号，即对于声学波：正号或负号，即对于声学波：正号或负号，即对于声学波：相邻原子都是沿着同一方向振动的。相邻原子都是沿着

37、同一方向振动的。相邻原子都是沿着同一方向振动的。相邻原子都是沿着同一方向振动的。当在长波极限，即波矢当在长波极限，即波矢当在长波极限，即波矢当在长波极限，即波矢q q接近于布里渊区中心接近于布里渊区中心接近于布里渊区中心接近于布里渊区中心附近附近附近附近，q q 0 0时，时，时，时，A A A A 0 0，有，有，有，有说明长波限原胞内两个原子振幅相同说明长波限原胞内两个原子振幅相同说明长波限原胞内两个原子振幅相同说明长波限原胞内两个原子振幅相同第 29 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质相邻原子振动的位

38、相差相邻原子振动的位相差相邻原子振动的位相差相邻原子振动的位相差qaqa 0 0n n对于光学波对于光学波对于光学波对于光学波因为因为因为因为而而而而表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心的振动质心的振动质心的振动质心的振动。相邻两种原子振幅之比，由（相邻两种原子振幅之比，由（3）得到）得到第 30 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 30这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方

39、向是相反的这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的可得可得对于长光学波：对于长光学波：对于长光学波：对于长光学波：即即即即原胞的质心保持不动。原胞的质心保持不动。原胞的质心保持不动。原胞的质心保持不动。长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。当当当当q q 0 0时，时，时，时，cos(qacos(qa)1 1，又又又又第 31 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第

40、三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 31（3 3）短波限格波的特点）短波限格波的特点）短波限格波的特点）短波限格波的特点以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界q=q=/2a/2a处并不明显。处并不明显。处并不明显。处并不明显。对于声学波对于声学波对于声学波对于声学波A A A A，质量为质量为质量为质量为mm的原子静止，质量为的原子静止，质量为的原子

41、静止，质量为的原子静止，质量为MM的原子振动。的原子振动。的原子振动。的原子振动。对于光学波对于光学波对于光学波对于光学波 O O O O，有有有有 质量为质量为质量为质量为MM的原子静止，而质量为的原子静止，而质量为的原子静止，而质量为的原子静止，而质量为mm的原子振动。的原子振动。的原子振动。的原子振动。两者都对应只有一种原两者都对应只有一种原两者都对应只有一种原两者都对应只有一种原子振动的情形。子振动的情形。子振动的情形。子振动的情形。第 32 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 324 4、

42、用周期性边界条件确定波矢、用周期性边界条件确定波矢、用周期性边界条件确定波矢、用周期性边界条件确定波矢波恩卡门周期性边界条件波恩卡门周期性边界条件波恩卡门周期性边界条件波恩卡门周期性边界条件对一维复式格子，有类似的结果：对一维复式格子，有类似的结果：对一维复式格子，有类似的结果：对一维复式格子，有类似的结果：同一维单原子晶格一样，在同一维单原子晶格一样，在同一维单原子晶格一样，在同一维单原子晶格一样，在第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区q q可有可有可有可有N N个不同的取值个不同的取值个不同的取值个不同的取值。第 33 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学

43、性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 33注意：这里每个注意：这里每个注意：这里每个注意：这里每个q q对应两个不同对应两个不同对应两个不同对应两个不同O O O O，A A A A。所以晶体中共有所以晶体中共有所以晶体中共有所以晶体中共有2N2N个独立的振动模式。个独立的振动模式。个独立的振动模式。个独立的振动模式。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。因此

44、，晶体的自由度数为因此，晶体的自由度数为因此，晶体的自由度数为因此，晶体的自由度数为2N2N。得出结论：得出结论：得出结论：得出结论：晶格振动的波矢晶格振动的波矢晶格振动的波矢晶格振动的波矢q q的数目晶体的原胞数。的数目晶体的原胞数。的数目晶体的原胞数。的数目晶体的原胞数。晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数第 34 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 34对

45、于对于对于对于晶格振动波，最重要的结果是两个晶格振动波，最重要的结果是两个晶格振动波，最重要的结果是两个晶格振动波，最重要的结果是两个：一是分析出具有一是分析出具有N个原胞的晶体中的多少个晶格振动的模式（或者个原胞的晶体中的多少个晶格振动的模式（或者说有多少种基本波动解）对应声子的种类。说有多少种基本波动解）对应声子的种类。二是计算出振动波的色散关系，即波动频率波数的关系。对二是计算出振动波的色散关系，即波动频率波数的关系。对应声子的能量动量关系。应声子的能量动量关系。本节结束本节结束本节结束本节结束第 35 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的

46、热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 35例题：例题：证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程：方程：解：解：第第n个原子的运动方程为个原子的运动方程为因为因为所以第所以第n个原子的运动方程化为个原子的运动方程化为第 36 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质Page 36在长波近似下，在长波近似下，在长波近似下，在长波近似下，运动方程化为运动方程化为运动方程化为运动方程化为在长波近似下，当在长波近似下，当在长波近似下，当在

47、长波近似下，当l l为有限整数时，为有限整数时，为有限整数时，为有限整数时，上式说明，上式说明，上式说明，上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动。的振幅、相同的位相做集体运动。的振幅、相同的位相做集体运动。的振幅、相同的位相做集体运动。因此（因此（因此（因此（1 1）式可统一写成）式可统一写成）式可统一写成）式可统一写成固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动固体弹性理

48、论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动第 37 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质所构成。这些原子偏离平衡位置的位移所构成。这些原子偏离平衡位置的位移从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离（从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离（n+l）a可视为连可视为连续坐标续坐标x，即即即是宏观上的质点位移即是宏观上的质点位移u。Page 37于是，于是，代入（代入（2

49、）式）式化成化成其中其中是用微观参数表示的弹性波的波速。是用微观参数表示的弹性波的波速。第 38 页第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质第三章晶体振动与晶体的热学性质晶体中原子振动的波粒二象性：晶体中原子振动的波粒二象性：随着固体物理学的成熟，人们将晶格振随着固体物理学的成熟，人们将晶格振动波的能量量子称为声子。晶格振动波和声子正是固体中原子振动的波动波的能量量子称为声子。晶格振动波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性的两个表示。粒二象性的两个表示。原子振动的波动形式：晶格振动波，可看成是机械波。原子振动的波动形式：晶格振动波，可看成是机械波。原子振动的粒子形式：声子。原子振动的粒子形式：声子。声子是解释固体热性质、电性质的关键之一，可以看成是固体中的声子是解释固体热性质、电性质的关键之一，可以看成是固体中的一种元激发或激发子，不是真的基本粒子。一种元激发或激发子，不是真的基本粒子。