机器人技术 第六章.ppt

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1、机器人技术陶建国哈尔滨工业大学机电学院2005.2.&第六章第六章 机器人静力学和动力学机器人静力学和动力学 静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。力（矩）与接触力的关系。机

2、器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器器人动力学模型，使其适合于实时控制

3、的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。人动力学研究者追求的目标。26.1 6.1 机器人静力学机器人静力学 一、杆件之间的静力传递一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆在操作机中，任取两连杆 ，。设在杆。设在杆 上的上的 点点作用有力矩作用有力矩 和力和力 ；在杆在杆 上作用有自重力上作用有自重力 过质过质心心 ）；）；和和 分别为由分别为由 到到 和和 的向径的向径。3 按静力学方法，把这些力、力矩简化到按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系的固联坐标系 ，可得：可得：或或式中式中 (为杆为杆 的质量的质量)。求出求出 和和 在在 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，轴

4、上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作衡所应提供的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为，其大小为4 当忽略杆件自重时当忽略杆件自重时 ，上式可简记为，上式可简记为：若若以以 表表示示不不计计重重力力的的关关节节力力或或力力矩矩值值，对对于于转转动动关关节节则有则有：式中式中 是自是自 到杆到杆 的质心的质心 的向径。的向径。5 例例1 求两杆操作机的静关节力矩求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图坐标系与结构尺寸如图)。解：解：设已知设已知678二、操作机的静力

5、平衡二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广广义驱动力，指向义驱动力，指向 的正向的正向)，在末端执行器的参考点，在末端执行器的参考点 处处将产生力将产生力 和力矩和力矩 。由于。由于 、是操作机作用于外是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算，一起进行运算，故应取负值故应取负值。9利用虚功原理建立静力平衡方程，令利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功根据虚功原理，若系统处于平衡

6、，则总虚功(虚功之和虚功之和)为为0，即，即10式中式中 J 是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。的偏速度。由机器人运动微分关系可知，由机器人运动微分关系可知，则有，则有 因为因为 是独立坐标，则是独立坐标，则 ，所以有，所以有 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的间所产生的力和力矩之间的关系式。力和力矩之间的关系式。该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固进行变

7、换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。11 例例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上 方方联接一测力传感器可测六维力向量联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩力和力矩)。试确定测力。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。传感器和扭动板手时力和力矩的关系。12解：解：设在测力传感器上置坐标系设在测力传感器上置坐标系 Sf()，在

8、螺栓上置坐在螺栓上置坐标系标系 S()。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移体的无限小位移(平移和转动平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：微位移可分别表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：13 前式也可以从前图直观求得。前式也可以从前图直观求得。设设 为相应于为相应于 的广义力向量，的广义力向量，为相应于为相应于 的广义的广义力向量，则可得力向量，则可得：上式也可直接用虚功原理求得。上式也可直接用虚功原理求得。14一、研究目的：一、研究目的：1

9、、合合理理地地确确定定各各驱驱动动单单元元（以以下下称称关关节节）的的电电机机功功率率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在在机机器器人人处处于于不不同同位位置置图图形形（位位形形）时时，各各关关节节的的有有效效惯惯量量及及耦耦合合量量都都会会发发生生变变化化（时时变变的的），因因此此，加加于于各各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。6-2 机器人动力学概述机器人动力学概述二、机器人动力学研究的问题可分为两类：二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给给定定机机器器人人的的驱驱动动力

10、力（矩矩），用用动动力力学学方方程程求求解解机机器器 人人（关关节节）的的运运动动参参数数或或动动力力学学效效应应（即即已已知知 ,求求 和和 ，称为动力学正问题。）。，称为动力学正问题。）。2、给给定定机机器器人人的的运运动动要要求求，求求应应加加于于机机器器人人上上的的驱驱动动力力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 ,称为动力学逆问题称为动力学逆问题）。）。15三、动力学研究方法：三、动力学研究方法：1拉拉格格朗朗日日方方程程法法：通通过过动动、势势能能变变化化与与广广义义力力的的关关系系，建建立立机机器器人人的的动动力力学学方方程程。代代表表人人物物 R.P.Paul、J.J.

11、Uicker、J.M.Hollerbach等等。计算量。计算量O(n4)，经优化经优化O(n3)，递推递推O(n)。2牛牛顿顿欧欧拉拉方方程程法法：用用构构件件质质心心的的平平动动和和相相对对质质心心的的转转动动表表示示机机器器人人构构件件的的运运动动，利利用用动动静静法法建建立立基基于于牛牛顿顿欧欧拉拉方方程程的动力学方程。代表人物的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生陆养生)等。等。计算量计算量O(n)。3高高斯斯原原理理法法:利利用用力力学学中中的的高高斯斯最最小小约约束束原原理理,把把机机器器人人动动力力学学问问题题化化成成极极值值问问题题求求解解.代代表表人人物物波波波波夫夫

12、(苏苏).用用以以解解决决第第二类问题。计算量二类问题。计算量O(n3)。4凯凯恩恩方方程程法法：引引入入偏偏速速度度概概念念，应应用用矢矢量量分分析析建建立立动动力力学学方方程程。该该方方法法在在求求构构件件的的速速度度、加加速速度度及及关关节节驱驱动动力力时时，只只进进行行一一次次由由基基础础到到末末杆杆的的推推导导，即即可可求求出出关关节节驱驱动动力力，其其间间不不必必求求关关节节的的约约束束力力，具具有有完完整整的的结结构构，也也适适用用于于闭闭链链机机器器人人。计计算量算量O(n!)。16v 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆

13、柱坐 标系等）中表示标系等）中表示，不是一定在直角坐标系中，不是一定在直角坐标系中。动力学方程为：动力学方程为：广义力广义力 广义速度广义速度 广义坐标广义坐标 （力或力矩）（力或力矩）（或或 ）（或或 ）6.3 二杆机器人的拉格朗日方程二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的应用质点系的拉格朗日拉格朗日方程来处理杆系的问题。方程来处理杆系的问题。定义：定义：L=K-P LLagrange函数；函数；K系统动能之和；系统动能之和；P系统势能之和。系统势能之和。6.3.1 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程17 设设二二杆杆机机器器人人臂臂杆杆长长度度分分别别为为 ，质质量量分别集中在端点为分

14、别集中在端点为 ，坐标系选取如图。，坐标系选取如图。以下分别计算方程中各项：以下分别计算方程中各项：一、动能和势能一、动能和势能 对质点对质点 ：势能：势能：动能：动能：v（负号与坐标系建立有关）（负号与坐标系建立有关）对质点对质点 ：先写出直角坐标表达式：先写出直角坐标表达式：6.3.2 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程18对对 求导得速度分量：求导得速度分量：动能：动能：势能：势能：二、二、Lagrange函数函数 19三、动力学方程三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩先求第一个关节上的力矩（1）20同理，对同理，对 和和 微分，可求得第二关节力矩微分，可求得第二关节力矩 以上是

15、两杆机器人动力学模型。以上是两杆机器人动力学模型。（2）21系数系数 D 的物理意义：的物理意义：关节关节 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 处的加速度处的加速度 引起的关节引起的关节 处的力矩为处的力矩为 （）关节关节 和和 之间的耦合惯量之间的耦合惯量。由关节由关节 或或 的加速度的加速度 （或或 ）所引起的关节）所引起的关节 和和 处的力矩为处的力矩为 或或 向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的处的 向心力（向心力（）向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处处

16、的速度作用在本身关节处 的向心力（的向心力（）四、动力学方程中各系数的物理意义四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式将前面结果重新写成简单的形式：22哥氏力项系数。哥氏力项系数。两项组合为关节两项组合为关节 与与 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。牵连运动是转动造成的。关节关节 处的重力项处的重力项。重力项只与重力项只与 大小、长度大小、长度 以以 及机构的结构图形（及机构的结构图形（）有关。）有关。比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到

17、有效惯量系数：有效惯量系数：耦合惯量系数：耦合惯量系数：23向心力项系数：向心力项系数：哥氏力项系数：哥氏力项系数：重力项：重力项：246.4 机器人的拉格朗日方程机器人的拉格朗日方程的一般表达形式的一般表达形式 从上节容易看出从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微方程是一个二阶耦合、非线性和微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。后再加入关节处驱动

18、装置（如电机、码盘等）的影响。推导分五步进行：推导分五步进行：一、计算任意任意杆件上任意点的速度；一、计算任意任意杆件上任意点的速度；二、计算动能二、计算动能 ；三、计算势能三、计算势能 ；四、形成四、形成Lagrange函数；函数；五、建立动力学方程五、建立动力学方程 。25其速度为：其速度为：一、点的速度一、点的速度 由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度各质点在基础坐标系中的速度 。对于杆对于杆 坐标系中的一点坐标系中的一点 ，它在基础坐标系中的位置为，它在基础坐标系中的位置为 式中式中 变换矩阵变换

19、矩阵速度平方为：速度平方为：式中式中 矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。26二、动能二、动能 位于杆位于杆 上上 处质量为处质量为 的质点的动能是：的质点的动能是：27则杆则杆 的动能（在基础坐标系中）为：的动能（在基础坐标系中）为：令式中令式中 称为连杆称为连杆 的伪惯量矩阵。的伪惯量矩阵。则得到杆则得到杆 的动能为：的动能为：对于杆对于杆 上任意一点的上任意一点的 （在杆（在杆 坐标系中）可以表示为：坐标系中）可以表示为：28根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：对坐标轴的惯性矩：对坐标

20、轴的惯性矩：则有：则有：29对坐标轴的惯性积：对坐标轴的惯性积：对坐标轴的静矩对坐标轴的静矩：质量之和质量之和：于是于是：xzyr30同理同理：于是于是 能够表达为能够表达为：机器人臂杆总的动能是：机器人臂杆总的动能是：31如果考虑到关节处驱动装置的动能如果考虑到关节处驱动装置的动能：调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，得到机器人总的动能为：得到机器人总的动能为：（对于移动关节对于移动关节：）式中式中 为关节为关节 处驱动装置的转动惯量。处驱动装置的转动惯量。三、势能三、势能 设杆设杆 的质心在再其自身坐标系的位置向量为的质心

21、在再其自身坐标系的位置向量为 ，则它在，则它在基础坐标系中的位置向量基础坐标系中的位置向量 为为 32设重力加速度设重力加速度 在基础坐标系中的齐次分量为在基础坐标系中的齐次分量为：于是机器人的总势能为于是机器人的总势能为：则杆在基础坐标系中的势能为则杆在基础坐标系中的势能为：v（一般认为基础坐标系的（一般认为基础坐标系的 z 轴取向上方）轴取向上方）33先求拉格朗日方程中的各项先求拉格朗日方程中的各项：四、拉格朗日函数四、拉格朗日函数五、动力学方程五、动力学方程（1)34由于由于 是对称矩阵，则有：是对称矩阵，则有：合并合并(a)a)式中前两项，得到：式中前两项，得到：（1)当当 时，时，中

22、不包含中不包含 以后关节变量，即：以后关节变量，即：于是可得于是可得：35（2)交换其中的部分哑元，得到：交换其中的部分哑元，得到：36（3)37将以上各项带入拉格朗日公式，并用将以上各项带入拉格朗日公式，并用 和和 分别代替上式中分别代替上式中的哑元的哑元 和和 ，得到：，得到：上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无关，因此可将上式写为简化形式：关，因此可将上式写为简化形式：（5)（4)38式中：式中：v 以上的动力学方程以上的动力学方程(5)5)中系数中系数 D的意义与上节所列相同，的意义与上节所列相同，即分别为有效惯量项系

23、数即分别为有效惯量项系数(),(),耦合惯量项系数（耦合惯量项系数（），），向心力项系数（向心力项系数（），哥氏力项系数（），哥氏力项系数（），重力项），重力项等。等。39v 动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。大，对系统动态特性的影响也不可忽略。在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日

24、动力学方程常写在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写作更简化的一般形式：作更简化的一般形式：式中：式中：的意义见（的意义见（5)式。式。（6)40乘法次数：乘法次数：6.5 机器人的机器人的牛顿牛顿欧拉方程欧拉方程 机机器器人人的的拉拉格格朗朗日日动动力力学学模模型型为为非非线线性性二二阶阶常常微微分分方方程程，利利用用这这些些方方程程，由由已已知知的的每每一一轨轨迹迹设设定定点点的的关关节节位位置置、速速度度和和加加速速度度，可可以以计计算算各各关关节节的的标标称称力力矩矩，但但拉拉格格朗朗日日方方程程利利用用44齐次变换矩阵，使得计算效率太低。齐次变换矩阵，使得计算效率太低。加

25、法次数：加法次数：为为了了实实现现实实时时控控制制，曾曾用用过过略略去去哥哥氏氏力力和和向向心心力力的的简简化化模模型型，但但当当操操作作机机快快速速运运动动时时，哥哥氏氏力力和和向向心心力力在在计计算算关关节节力力矩矩中中是是相相当当重重要要的的。因因而而这这种种简简化化只只能能用用于于机机器器人人的的低低速速运运动动，在在典典型型的的制制造造业业环环境境中中，这这是是不不合合乎乎要要求求的的。此此外外，这这种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。牛牛顿顿欧欧位位法法采采用用迭迭代代形形式式方方程程，计计算算速速度度快快，可可用用于于实

26、实时控制，因而成为一种常用的建模方法。时控制，因而成为一种常用的建模方法。41 寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系,再再推广到运动坐标系推广到运动坐标系(转动和平移转动和平移)和惯性坐标系之间的关系。和惯性坐标系之间的关系。如图如图,惯性坐标系惯性坐标系O-XYZ和转动坐标系和转动坐标系O-X*Y*Z*的原点重合的原点重合于于O点。而点。而OX*、OY*、OZ*轴轴相对相对OX、OY、OZ轴旋转。设轴旋转。设 和和 分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢量。转动坐标系中点量。转动坐标系中点 P 可用它在任一

27、坐标系中的分量来表示：可用它在任一坐标系中的分量来表示：6.5.1 转动坐标系转动坐标系或或在惯性坐标系中的运动：在惯性坐标系中的运动：YXZrY*X*Z*OP在转动坐标系中的运动：在转动坐标系中的运动：42在惯性坐标系中的运动：在惯性坐标系中的运动：（7)需要解决转动坐标系坐标轴在惯性坐标系中的导数问题。我需要解决转动坐标系坐标轴在惯性坐标系中的导数问题。我们假定，转动坐标系绕着过原点们假定，转动坐标系绕着过原点O的某轴的某轴OQ以角速度以角速度 旋转。旋转。方向沿方向沿OQ轴，指向转动坐标系右旋方向。则可以证明转动坐轴，指向转动坐标系右旋方向。则可以证明转动坐标系中的任意固定矢量标系中的任

28、意固定矢量 在惯性坐标系中的导数为：在惯性坐标系中的导数为：XZYsY*X*Z*OQ43于是由于是由（6)式可得：式可得：这是建立转动坐标系两种时间导数之间关系的基本方程。这是建立转动坐标系两种时间导数之间关系的基本方程。方程方程（9)又被称为哥氏定理。又被称为哥氏定理。（8)（9)446.5.2 运动坐标系运动坐标系如图如图,运动坐标系运动坐标系O-X*Y*Z*相对于惯性坐标系相对于惯性坐标系O-XYZ转动和平转动和平移。质量为移。质量为M 的质点的质点P 分别以分别以 和和 确定相对于惯性坐标系确定相对于惯性坐标系和运动坐标系的原点的位置。原点和运动坐标系的原点的位置。原点O*相对于原点相

29、对于原点O的位置以矢的位置以矢量量 表示。则有：表示。则有：rYXZOPY*X*Z*O*r*h（10)（11)456.5.3 杆件运动学杆件运动学 根据前述运动坐标系的概念，推导一组数学方程，描述机根据前述运动坐标系的概念，推导一组数学方程，描述机器人的运动杆件相对于基础坐标系的运动学关系。器人的运动杆件相对于基础坐标系的运动学关系。令令 和和 分别为坐标系分别为坐标系 相对于基础坐标相对于基础坐标系系 的线速度和角速度。令的线速度和角速度。令 和和 分别为杆件分别为杆件i坐标系坐标系 相对于基础坐标系相对于基础坐标系 和杆件和杆件 i-1坐标系坐标系 的角速度。则杆件的角速度。则杆件 i 坐

30、标系坐标系 相对于基相对于基础坐标系的线速度础坐标系的线速度 和角速度和角速度 分别是：分别是：坐标系坐标系 是基础坐标系，而坐标系是基础坐标系，而坐标系 和和 分别固联于杆件分别固联于杆件 i-1和杆件和杆件 i 上，原点分别为上，原点分别为 Oi-1和和 Oi。原点原点 Oi 相对于原点相对于原点 O 和原点和原点 Oi-1 的位置分别用的位置分别用位置矢量位置矢量 和和 表示。原点表示。原点 Oi-1相对于基础坐标系原点相对于基础坐标系原点 O 的位置用位置矢量的位置用位置矢量 表示。表示。46式中式中 d*(.)dt 表示在表示在运动坐标系运动坐标系 的时间导数。的时间导数。（12)（

31、13)47（14)（15)为坐标系为坐标系 相对于相对于 的角加速度的角加速度:根据机器人杆件坐标系建立的步骤和参数的定义，杆件根据机器人杆件坐标系建立的步骤和参数的定义，杆件 i 在在杆件杆件 i 1 坐标系中的运动是沿坐标系中的运动是沿 方向的平移或绕方向的平移或绕 转动。转动。因此，因此，式中式中 是杆件是杆件 i 相对于杆件相对于杆件 i-1 坐标系的角速度值。坐标系的角速度值。若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（16)48（18)类似地类似地（17)若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（13)和和式式（16)有：有：若杆件若杆件 i 转动转动

32、若杆件若杆件 i 平移平移若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（19)若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（15)、式式（16)和和式式（17)有：有：若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（20)（21)由式由式（15)、式式（16)和和式式（17)有：有：49（22)若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（12)、式式（13)和和式式（20)有：有：利用矢量叉乘积的恒等式利用矢量叉乘积的恒等式并根据式并根据式（14)、式式（15)和和式式（19)有：有：（23)若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移5

33、0 刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：6.5.4 牛顿牛顿欧拉法基本运动方程欧拉法基本运动方程 牛顿定理牛顿定理:欧拉方程欧拉方程 :式中：式中：杆杆i 质量；质量；杆杆i上所有外力合力；上所有外力合力；杆杆i上所有外力对质心的合

34、力矩；上所有外力对质心的合力矩；杆杆i 绕其质心惯性矩阵。绕其质心惯性矩阵。51根据力（矩）平衡原理，在质心处有：根据力（矩）平衡原理，在质心处有：则有则有（24)方程方程（24)即为牛顿即为牛顿欧拉法的基本方程。欧拉法的基本方程。52 上上面面推推导导的的牛牛顿顿欧欧拉拉法法（也也简简称称N-E法法）方方程程式式含含关关节节联联接接的的约约束束力力（矩矩），没没有有显显示示地地表表示示输输入入输输出出关关系系，不不适适合合进进行行动动力力学学分分析析和和控控制制器器设设计计。如如果果变变换换成成由由一一组组完完备备且且独独立立的的位位置置变变量量（质质心心位位置置变变量量通通常常不不是是相相

35、互互独独立立的的）和和输输入入力力来来描描述述，这这些些变变量量都都显显式式地地出出现现在在动动力力学学方方程程中中，即即得得到到显显式式的的输输入入输输出出形形式式表表示示的的动动力力学学方方程程，称称为为封封闭闭形形式式的的动动力力学方程学方程（拉格朗日方程即是封闭的）。（拉格朗日方程即是封闭的）。6.5.5 递推形式的牛顿递推形式的牛顿欧拉方程欧拉方程 关关节节变变量量 是是一一组组完完备备且且独独立立的的变变量量，关关节节力力（矩矩）是是一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用 和和来描述方程，可以得到封闭形式的动力学方程。来描述

36、方程，可以得到封闭形式的动力学方程。53 根根据据N-E法法的的基基本本方方程程，利利用用质质心心运运动动变变量量与与关关节节变变量量及及关关节节运运动动变变量量之之间间的的关关系系以以及及约约束束力力与与关关节节力力矩矩之之间间的的关关系系，消消去去中中间间变变量量，可可以以得得到到封封闭闭形形式式的的动动力力学学方方程程。但但显显然然不不如如用用拉格朗日法简单，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。拉格朗日法简单，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。因因此此，对对于于N-E法法，常常用用的的不不是是它它的的封封闭闭形形式式方方程程，而而是是它它的递推形式方程。方程（的递推形式方程。方程（

37、2424）可直接写成如下递推形式：）可直接写成如下递推形式：（25)而关节力（矩）可写成如下形式：而关节力（矩）可写成如下形式：（26)式中，式中，为沿关节轴线为沿关节轴线 的单位矢量，的单位矢量，为关节的粘滞阻尼系数。为关节的粘滞阻尼系数。54 递推形式的递推形式的N-E法方程法方程与封闭形式方程比较，计算量从与封闭形式方程比较，计算量从减少到减少到 ：乘法次数：乘法次数：117117n 24 24，加法次数：加法次数：103103n-2121，从从而而大大大大加加快快了了计计算算速速度度。自自由由度度越越多多，递递推推形形式式的的优优势势越越明明显显。对对于于典典型型 n=6 的的情情形形

38、，递递推推形形式式的的计计算算效效率率几几乎乎提提高高1010倍倍。因此，常用于实时计算。因此，常用于实时计算。递递推推形形式式方方程程的的特特点点是是其其计计算算从从机机器器人人操操作作机机的的一一个个杆杆到到另另一一杆杆逐逐个个顺顺序序进进行行的的，它它充充分分利利用用了了操操作作机机的的串串联联链链特特性性，常常用于求解动力学逆问题（即已知用于求解动力学逆问题（即已知 ，求，求 ）。）。求求解解的的大大致致过过程程为为：根根据据运运动动和和力力的的不不同同传传递递方方向向，进进行行运运动量的向前迭代和力学量的向后迭代。动量的向前迭代和力学量的向后迭代。具体步骤如下：具体步骤如下：55动力

39、学动力学计算计算运动学计算运动学计算 1 1确定计算确定计算N-E方程所需的所有运动量，包括每个杆件的方程所需的所有运动量，包括每个杆件的 （）由杆）由杆1 1 杆杆n：2.将上述运动量代入将上述运动量代入N-E方程，确定关节力（矩）。计算顺方程，确定关节力（矩）。计算顺 序与运动量计算相反，由序与运动量计算相反，由杆杆n 杆杆1：56 前前述述递递推推运运动动方方程程的的明明显显缺缺点点是是所所有有惯惯性性矩矩阵阵和和物物理理几几何何参参数数（如如 ）等等，都都是是以以基基础础坐坐系系为为参参照照的的，因因此此，当当机机器器人人运运动动时时，它它们们也也随随着着变变化化。Luh等等人人改改进

40、进了了上上述述N-E方方程程，将将所所有有杆杆件件的的速速度度、加加速速度度、惯惯性性矩矩阵阵、质质心心位位置置、力力和和力力矩矩等等，都都表表示示在在各各杆杆的的自自身身坐坐标标系系中中，从从而而使使计计算算更更加简单。加简单。这这种种改改进进的的最最重重要要的的成成果果是是，计计算算关关节节驱驱动动力力矩矩的的时时间间不不仅仅与与机机器器人人关关节节数数成成线线性性比比例例，而而且且与与机机器器人人构构型型无无关关。这这就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。6.5.6 在杆件自身坐标系中的递推方程在杆件自身坐标系中的递推方程 设设

41、是是3 33 3旋旋转转矩矩阵阵，它它把把矢矢量量由由坐坐标标系系 变变换换到坐标系到坐标系 中。中。57 这样，可不计算相对基础坐标系的这样，可不计算相对基础坐标系的 和和 等，而是直接计算在杆件自身坐标系中的等，而是直接计算在杆件自身坐标系中的和和 等。等。于是有关运动量的递推公式变为：于是有关运动量的递推公式变为：若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移58关节间约束力公式变为：关节间约束力公式变为：因此，概括地说，高效的牛顿一欧拉运动方程是一组正向和因此，概括地说，高效的

42、牛顿一欧拉运动方程是一组正向和反向的递推方程，每一杆件的动力学和运动学参数都是以其自反向的递推方程，每一杆件的动力学和运动学参数都是以其自身坐标系为参照的。身坐标系为参照的。596.6 机器人的机器人的凯恩方程法简介凯恩方程法简介 凯恩凯恩(Kane)方法是用来建立机器人机构动力学模型的一种普方法是用来建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量，它用达朗倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程。凯立变量，它用达朗倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程。凯恩方法既适合于完整系统，也适合于非完整系统。恩方

43、法既适合于完整系统，也适合于非完整系统。6.6.1 广义速率和偏速度及偏角速度广义速率和偏速度及偏角速度一、广义速率一、广义速率 一个具有一个具有n 个自由度的完整系统，相对于惯性坐标系个自由度的完整系统，相对于惯性坐标系 的运动一般通过的运动一般通过 n 个独立的广义坐标个独立的广义坐标 来描述来描述。n 个广义速度个广义速度 也是独立的，故可用也是独立的，故可用n 个广义速度的线性组合，即个广义速度的线性组合，即n 个广义速率个广义速率(或称准速度或称准速度)来描述系统的运动，即来描述系统的运动，即60式中：式中：为为 及及 t 的函数；而由的函数；而由 组成的系数矩阵应为非组成的系数矩阵

44、应为非奇异阵。则有奇异阵。则有二、偏速度二、偏速度 系统中任意质点系统中任意质点 p 的径矢为的径矢为 为广义坐标为广义坐标 及及t 的函数，的函数，则该点的速度为则该点的速度为（27)（28)61令令其中其中 称广义速率称广义速率 前的系数矢量前的系数矢量 为为 p点相对于惯性坐标系点相对于惯性坐标系的第的第 r 偏速度。一般说来它是广义坐标偏速度。一般说来它是广义坐标 和时间和时间t 的函数。对的函数。对于定常系统于定常系统 ，偏速度只是广义坐标的矢量函数。偏速度只是广义坐标的矢量函数。（29)（31)（30)三、偏角速度三、偏角速度62 从式从式(30)可见，广义速率的取法不同，系统内同

45、一质点及可见，广义速率的取法不同，系统内同一质点及同一刚体的偏速度也可不同。故可通过一定的技巧来选取广同一刚体的偏速度也可不同。故可通过一定的技巧来选取广义速率，使得到的偏速度和偏角速度具有最简单的形式。最义速率，使得到的偏速度和偏角速度具有最简单的形式。最理想的是使较多的偏速度和偏角速度等于零，这样有利于简理想的是使较多的偏速度和偏角速度等于零，这样有利于简化动力学方程。化动力学方程。一般选择与系统的运动密切相关的量，如选取系统中刚体一般选择与系统的运动密切相关的量，如选取系统中刚体的角速度分量或质点的速度分量为广义速率，以使刚体的角的角速度分量或质点的速度分量为广义速率，以使刚体的角速度和

46、质点的速度具有最简单的表达形式。作为特例，如果速度和质点的速度具有最简单的表达形式。作为特例，如果取广义速度为广义速率，即取广义速度为广义速率，即可见对于广义速度可见对于广义速度 的偏速度为的偏速度为 。636.6.2 凯恩动力学方程凯恩动力学方程四、刚体各点偏速度四、刚体各点偏速度由达朗倍尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程：由达朗倍尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程：系统中系统中 p 点的速度，对于具有点的速度，对于具有n 个自由度的系统，可写成个自由度的系统，可写成广义速率的线性组合，广义速率的线性组合，即即（32)（33)64式中式中 。如果如果 可积分，则可积分，则

47、 为另一种定义为另一种定义的广义坐标。的广义坐标。（34)从式从式(34)可得到可得到 的变分的变分 ，即，即将上式代入式将上式代入式(33)得得65改变求和的形式得改变求和的形式得（34)令令称为系统对应于称为系统对应于 的广义主动力的广义主动力称为系统对应于称为系统对应于 的广义惯性力的广义惯性力66这样，式（这样，式（34）成为：）成为：由于由于 为独立的变分，所以有为独立的变分，所以有（35)上式称为凯恩动力学方程，意为广义上动力与广义惯性上式称为凯恩动力学方程，意为广义上动力与广义惯性力之相等于零。力之相等于零。凯恩方程法凯恩方程法可以得到封闭形式的动力学方程。可以得到封闭形式的动力

48、学方程。676.7 弹性机器人弹性机器人动力学简介动力学简介6.7.1 机器人系统的弹性问题机器人系统的弹性问题 通常，机器人机构的手臀、驱动、传动元件被假设为刚性通常，机器人机构的手臀、驱动、传动元件被假设为刚性的，故系统的建模及控制方案设计都是以这样一个刚性假设的，故系统的建模及控制方案设计都是以这样一个刚性假设为前提的。结构刚性越好越不易振动，机器人精度越高，经为前提的。结构刚性越好越不易振动，机器人精度越高，经过近似处理的控制方法也越精确、可行。过近似处理的控制方法也越精确、可行。随着工业的发展，对机器人性能要求越来越高。如：要求随着工业的发展，对机器人性能要求越来越高。如：要求机器人

49、重量轻以降低能耗；运行速度快，以提高劳动生产率；机器人重量轻以降低能耗；运行速度快，以提高劳动生产率；定位精度高，以适应更多的精密作业要求。另外，对于如太定位精度高，以适应更多的精密作业要求。另外，对于如太空机器人所处的特殊环境要求具有超长手臂的机器人，其结空机器人所处的特殊环境要求具有超长手臂的机器人，其结构已不再是刚性结构，而必须计入曾被忽略的系统弹性或非构已不再是刚性结构，而必须计入曾被忽略的系统弹性或非线性因素，这便使系统设计、建模及控制变得更为复杂。线性因素，这便使系统设计、建模及控制变得更为复杂。68 关于具有弹性的机器入系统的建模与控制问题的研究历史关于具有弹性的机器入系统的建模

50、与控制问题的研究历史不长，始于不长，始于70年代初，年代初，研究具有弹性附件的飞机动力学模研究具有弹性附件的飞机动力学模型的动力学分析问题，计入分布质量和柔性效应的机器人机型的动力学分析问题，计入分布质量和柔性效应的机器人机构在低速运动下的动力学，对具有分布质量和弹性影响的二构在低速运动下的动力学，对具有分布质量和弹性影响的二连杆机械手提出反馈控制方法。近年来，关于这方面的研究连杆机械手提出反馈控制方法。近年来，关于这方面的研究发展很快，大多以研究单弹性臂机器人的建模与控制入手。发展很快，大多以研究单弹性臂机器人的建模与控制入手。本节将以单弹性臂机器人机构为例，介绍弹性手臂机器人本节将以单弹性