必修5-第一章-正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题.pdf

《必修5-第一章-正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修5-第一章-正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题.pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理要点梳理要点梳理1 1正弦定理正弦定理其中其中 R R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)a(1)ab bc csin Asin Asin Bsin Bsin Csin C；(2)a(2)a2Rsin A2Rsin A，b b2Rsin B2Rsin B，c c2Rsin C2Rsin C；(3)sin A(3)sin Aa ab bc c，sin Bsin B，sin Csin C等形式，以解决不同的三角形问题等形式，以解决不同的三角形问题2R2R2R2R2R2R2 2三角形面积公式三角形面积公式1

2、11 11 1abcabc1 1S S ABCABC absin Cabsin C bcsin Abcsin A acsin Bacsin B(a(ab bc)c)r(rr(r 是三角形内切圆的半径是三角形内切圆的半径)，并可由此计算，并可由此计算 R,R,2 22 22 24R4R2 2r.r.3 3余弦定理：余弦定理：余弦定理可以变形为：余弦定理可以变形为：a b ca2 c2 b2b2 c2a2cos Acos A，cos Bcos B，cos Ccos C.2ab2ac2bc4 4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)(1)已知两角及任一边，

3、求其它边或角；已知两角及任一边，求其它边或角；(2)(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角已知两边及一边的对角，求其它边或角状况状况(2)(2)中结果可能有一解中结果可能有一解,二解二解,无解，应留意区分无解，应留意区分余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：(1)(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)(2)已知三边问题已知三边问题基础自测基础自测221 1在在 ABCABC 中，若中，若 b b1 1，c c 3 3，C C，则，则 a a1.1.3 32 2已知已知 ABCABC 的内角的内角 A A，B B，C C 的对边分别为

4、的对边分别为 a a，b b，c c，若，若 c c 2 2，b b 6 6，B B120120，则，则 a a_._.2222中，若中，若 ABAB 5 5，ACAC5 5，且，且 cos Ccos C3 3在在 ABCABC9 9，则，则 BCBC4 4 或或 5.5.10104 4已知圆的半径为已知圆的半径为 4 4，a,a,b,b,c c 为该圆的内接三角形的三边，若为该圆的内接三角形的三边，若 abcabc1616 2 2，则三角形的面积为，则三角形的面积为(C C)A A2 2 2 2 B B8 8 2C.2C.2 2 D.D.2 22 2题型分类题型分类深度剖析深度剖析题型一题型

5、一利用正弦定理求解三角形利用正弦定理求解三角形例例 1 1在在ABCABC中，中，a a 3 3，b b 2 2，B B45.求角45.求角A A,C C和边和边c c.思维启迪思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要留意解的推断已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要留意解的推断a ab b3 32 2解解:由正弦定理得由正弦定理得，sinsin A Asinsin B Bsinsin A Asin 45sin 45sinsin A A3 3.a a b b，A A6060或或 A A120120.2 26 6 2 2bsin

6、Cbsin C；sin Bsin B2 2当当 A A6060时，时，C C180180454560607575，c c6 6 2 2bsin Cbsin C当当 A A120120时，时，C C18018045451201201515，c c.sin Bsin B2 2探究提高探究提高(1)(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)(2)已知两边和一边对角，已知两边和一边对角，解三角形时，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要留意探讨该角，利用正弦定理求另一边的对角时要留意探讨该角，

7、这是解题的难点，这是解题的难点，应引起留意应引起留意变式训练变式训练 1 1 已知已知 a a，b b，c c 分别是分别是ABCABC 的三个内角的三个内角 A A，B B，C C 所对的边，若所对的边，若 a a1 1，b b 3 3，A AC C2 2B B，则，则A A6a asinsin B B1 1 解析解析A AC C2 2B B，B B.由正弦定理知由正弦定理知 sinsin A Ab b.3 32 2题型二题型二利用余弦定理求解三角形利用余弦定理求解三角形coscos B B例例 2 2在在ABCABC 中，中，a a,b b,c c 分别是角分别是角 A A,B B,C C

8、 的对边，且的对边，且coscos C C（1 1）求角）求角 B B 的大小；的大小；(2)(2)若若 b b 1313，a ac c4 4，求，求ABCABC 的面积的面积a a2 2c c2 2b b2 2解解(1)(1)由余弦定理知：由余弦定理知：coscos B B，2 2acaca a2 2b b2 2c c2 2coscos B Bb bcoscos C C.将上式代入将上式代入得：得：2 2ababcoscos C C2 2a ac ca a2 2c c2 2b b2 22 2ababb b 2 2，2 2acaca ab b2 2c c2 22 2a ac ca a2 2c

9、c2 2b b2 2acac1 1整理得：整理得：a a2 2c c2 2b b2 2acac.coscos B B.2 2acac2 2acac2 22 2B B 为三角形的内角，为三角形的内角，B B.3 32 22 22 22 22 22 2(2)(2)将将b b 1313，a ac c4 4，B B 代入代入b ba ac c2 2acaccoscosB B，得，得b b(a ac c)2 2acac2 2acaccoscosB B，131316163 31 13 3 3 3 1 1 2 2acac 1 1，acac3.3.S SABCABCacacsinsinB B.2 24 4 2

10、 2 探究提高探究提高(1)(1)依据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的关键依据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的关键(2)(2)娴熟运用余弦定理及其推论，同时还要留意整体思想娴熟运用余弦定理及其推论，同时还要留意整体思想,方程思想在解题过程中的运用方程思想在解题过程中的运用.22cos变式训练变式训练2 2已知已知A A,B B,C C为为ABCABC的三个内角，的三个内角，其所对的边分别为其所对的边分别为a a,b b,c c，且且b.2a cA+cos A=0.2(1)(1)求角求角 A A 的值；的值；(2)(2)若若 a a2

11、2 3 3，b bc c4 4，求，求ABCABC 的面积的面积解解(1)(1)由由2cos2A1 1+cos A=0，得，得 1 1coscos A Acoscos A A0 0，即，即 coscos A A2 2.22 2 00A A ，A A.3 3(2)(2)由余弦定理得，由余弦定理得，a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A A，A A2 2，则，则 a a2 2(b bc c)2 2bcbc，又，又 a a2 2 3 3，b bc c4 4，3 31 1有有 12124242bcbc，则，则 bcbc4 4，故，故 S SABCABCbcsin Abcsi

12、n A 3.3.2 2题型三题型三正正,余弦定理的综合应用余弦定理的综合应用22例例 3 3.在在ABCABC 中，中，a,a,b,b,c c 分别是角分别是角 A,A,B,B,C C 的对边的对边已知 2 2(sinAsin C)(a b)sin B,ABCABC 外接圆半径为外接圆半径为2.（1 1）求角）求角 C C 的大小；的大小；（2 2）求）求ABCABC 面积的最大值面积的最大值.且 2 2(sin2Asin2C)(a b)sin B,解解:（1 1）ABCABC 外接圆半径为外接圆半径为2，即(2 2sin A)2(2 2sinC)2(a b)2 2sin B,由由 正正 弦弦

13、 定定 理理 得得：a2c2(a b)b,即即a2b2c2ab1a b c ab,由余弦定理得：由余弦定理得：cosC，C(0,)，C.2ab2ab23222（2 2）Smax332探究提高探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正合正,余弦定理即可求角余弦定理即可求角变式训练变式训练 3 3 在在ABCABC 中，内角中，内角 A A，B B，C C 所对的边长分别是所对的边长分别是 a a，b b，c c.(1)(1)若若 c c2 2，C C，且，且ABCAB

14、C 的面积为的面积为 3 3，求，求 a a，b b 的值；的值；3 3(2)(2)若若 sinsin C Csin(sin(B BA A)sin 2sin 2A A，试推断，试推断ABCABC 的形态的形态 解解(1)(1)c c2 2，C C，3 3由余弦定理由余弦定理 c c2 2a a2 2b b2 22 2ababcoscos C C 得得 a a2 2b b2 2abab4.4.又又ABCABC 的面积为的面积为 3 3，2 22 2 a ab b abab4 4，1 1 ababsinsin C C 3 3，abab4.4.联立方程组联立方程组 解得解得 a a2 2，b b2.

15、2.2 2abab4 4，(2)(2)由由 sinsin C Csin(sin(B BA A)sin 2sin 2A A，得，得 sin(sin(A AB B)sin(sin(B BA A)2sin2sin A Acoscos A A，即即 2sin2sin B Bcoscos A A2sin2sin A Acoscos A A，coscos A A(sin(sin A Asinsin B B)0 0，coscos A A0 0 或或 sinsin A Asinsin B B0 0，当当 coscos A A0 0 时，时，00A A ，A A，ABCABC 为直角三角形；为直角三角形；2 2

16、当当 sinsin A Asinsin B B0 0 时，得时，得 sinsin B Bsinsin A A，由正弦定理得，由正弦定理得 a ab b，即，即ABCABC 为等腰三角形为等腰三角形ABCABC 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形思想方法感悟提高思想方法感悟提高方法与技巧方法与技巧1 1正正,余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和,边边,角之间的关系，三角函数角之间的关系，三角函数的变形公式去推断三角形的形态，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题的变形公式去推断三角形的形态，求解三角形，以

17、及利用它们解决一些实际问题A AB BC C 2 2应娴熟驾驭和运用内角和定理：应娴熟驾驭和运用内角和定理：A AB BC C，中互补和互余的状况，结合诱导公式可以削中互补和互余的状况，结合诱导公式可以削2 22 22 22 2减角的种数减角的种数3 3正正,余弦定理的公式应留意敏捷运用，余弦定理的公式应留意敏捷运用，如由正如由正,余弦定理结合得余弦定理结合得 sinsin2 2A Asinsin2 2B Bsinsin2 2C C2sin2sin B B sinsin C C coscosA A，可以进行化简或证明，可以进行化简或证明4 4依据所给条件确定三角形的形态，主要有两种途径：依据所

18、给条件确定三角形的形态，主要有两种途径：(1)(1)化边为角；化边为角；(2)(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理定理实施边实施边,角转换角转换失误与防范失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解可能出现一解,两解或无解，所以要进行分类探讨两解或无解，所以要进行分类探讨过关精练过关精练一一,选择题选择题1 1在在ABCABC 中，中，A A6060，a a4 4 3 3，b b4 4 2 2，则，则 B B

19、 等于等于()A A4545或或 135135B B135135C C4545 D D以上答案都不对以上答案都不对2 2ABCABC 中，若中，若 a a4 4b b4 4c c4 42 2c c2 2(a a2 2b b2 2)，则角，则角 C C 的度数是的度数是()()A A6060B B4545或或 135135C C120120D D30303 3在在ABC中，中，bc 20,SABC 5 3,ABC的外接圆半径为的外接圆半径为3，则，则a（）A A1 1B B2 2C C3 3D D324 4在在ABC中，已知中，已知b 2,c 1,B 45,则则a等于（等于（）A A6 26 2

20、B BC C2 2 1 1D D3 2225 5在在ABC中中ABAB 2,2,ACAC 3,3,BABA ACAC 3,3,则则 A等于（等于（）A A120120B B6060C C3030D D1501506 6在在ABC中，中，a:b:c 3:5:7，则这个三角形的最大角为（则这个三角形的最大角为（）A A30B B90C C120D D607 7在在ABCABC 中中,已知三边之比已知三边之比a:b:c 2:3:4，则，则sin A 2sin B（）sin2CA A1 1B B2 2C C2D D123 3b b，coscosB B（）2 28 8ABC中，边中，边a,b,c的对角分

21、别为的对角分别为 A,A,B,B,C C，且，且 A=2BA=2B，a a A A1B B1C C2D D32334二二,填空题填空题9 9在在ABCABC 中中,已知已知 2sinAcosB=sinC,2sinAcosB=sinC,那么那么ABCABC 的形态是三角形的形态是三角形1010在锐角在锐角ABCABC 中，中，a a，b b，c c 分别为角分别为角 A A，B B，C C 所对的边，且所对的边，且 3 3a a2 2c csinsin A A，则角，则角 C C_._.1111在在ABCABC 中，边中，边 a a，b b，c c 的对角分别为的对角分别为 A,B,CA,B,C

22、，且，且sin Asin C sin AsinC sin B。则角。则角B=B=。三三,解答题解答题1212(12(12 分分)已知已知ABCABC 的三个内角的三个内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，A A 是锐角，且是锐角，且 3 3b b2 2a a sinsin B B.(1)(1)求求 A;(2)A;(2)若若a a7 7，ABCABC的面积为的面积为 1010 3 3，求，求b bc c的值的值13.13.（1212 分分）在在ABCABC 中中，角角 A A，B B，C C 的的对对边边为为a,b,c，向向量量m (2cos2 22 2222C,sin(A B)，2n (cosC,2sin(A B)，mn求角求角 C C2