南大复变函数与积分变换课件(PPT版)6.1 共形映射的概念.ppt

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1、1第六章 共形映射 第六章第六章 共形映射共形映射6.2 共形映射的基本问题共形映射的基本问题6.1 共形映射的概念共形映射的概念6.3 分式线性分式线性映射映射6.4 几个初等函数构成的几个初等函数构成的共形映射共形映射2第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 本章将从几何的角度来研究复变函数，特别是要弄清楚本章将从几何的角度来研究复变函数，特别是要弄清楚 解析函数的几何映射特征。解析函数的几何映射特征。具体地说，具体地说，平面上的曲线或者区域经映射平面上的曲线或者区域经映射 后，后，在在 平面上的象到底发生了什么变化？平面上的象到底发生了什么变化？3

2、第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 二、二、导数的几何意义导数的几何意义 三三、共形映射共形映射 4第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 (平均伸缩率平均伸缩率)一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 1.伸缩率伸缩率 映射后，映射后，可以看出，曲线被伸缩和旋转。可以看出，曲线被伸缩和旋转。如图，过如图，过 点的曲线点的曲线 经经 定义定义 称称 为曲线为曲线 经经 映射后映射后 在在 点的点的伸缩率伸缩率。变成了过变成了过 点的曲线点的曲线 5第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 切线切线 定义定义 称称

3、 为曲线为曲线 经经 映射后映射后 在在 点的点的旋转角旋转角。2.旋转角旋转角 一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 如图，过如图，过 点的曲线点的曲线 经经 映射后，变成了过映射后，变成了过 点的曲线点的曲线 可以看出，曲线被伸缩和旋转。可以看出，曲线被伸缩和旋转。切线切线 这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化局部变化特征。特征。6第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 二、二、导数的几何意义导数的几何意义 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，且且 分析分析 由由有有 切线切线 切线切线 7第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念

4、二、二、导数的几何意义导数的几何意义 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，且且 分析分析 1.导数的导数的几何意义几何意义 为曲线为曲线 在在 点的点的伸缩率伸缩率。为曲线为曲线 在在 点的点的旋转角旋转角。切线切线 切线切线 8第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 切线切线 切线切线 二、二、导数的几何意义导数的几何意义 2.伸缩率不变性伸缩率不变性 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 3.旋转角不变性旋转角不变性 伸缩率均为伸缩率均为 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 旋转角均为旋转角均为 即即 9第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 二、二、

5、导数的几何意义导数的几何意义 切线切线 切线切线 2.伸缩率不变性伸缩率不变性 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 3.旋转角不变性旋转角不变性 伸缩率均为伸缩率均为 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 旋转角均为旋转角均为 4.保角性保角性 由由 即即 保持了两条曲线的交角的保持了两条曲线的交角的大小大小与与方向方向不变。不变。即即 10第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三三、共形映射共形映射 1.第一类第一类保角映射保角映射 定义定义 若函数若函数 在区域在区域 D 内满足：内满足：(2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)保角性保角性,(保保大小大小,保保方

6、向方向)；则称函数则称函数 为区域为区域 D 内的内的 第一类保角映射第一类保角映射。且且 若函数若函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，结论结论 则函数则函数 为为 区域区域 D 内的内的第一类保角映射第一类保角映射。P138定义定义 6.1 P138定理定理 6.1 11第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三三、共形映射共形映射 1.第一类第一类保角映射保角映射 2.第二类第二类保角映射保角映射 定义定义 若函数若函数 在区域在区域 D 内满足：内满足：则称函数则称函数 为区域为区域 D 内的内的 第二类保角映射第二类保角映射。(2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)能保持两条曲线

7、的交角的能保持两条曲线的交角的大小大小 不变，但不变，但方向方向相反；相反；P138定义定义 6.1 12第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三三、共形映射共形映射 1.第一类第一类保角映射保角映射 2.第二类第二类保角映射保角映射 3.共形映射共形映射 若函数若函数 为区域为区域 D 内的第一类保角映射，内的第一类保角映射，定义定义 则称则称 为区域为区域 D 内内 时，时，的的共形映射共形映射。关键关键 要求函数还必须是要求函数还必须是一一一映射一映射(即即双方单值双方单值)。且当且当 P138定义定义 6.2 (保角映射的来历保角映射的来历?)?)13第六章 共形映射 6.1 共形

8、映射的概念 (1)在在 点，点，因此，函数因此，函数 在在 处处 其伸缩率为其伸缩率为 2，旋转角为，旋转角为 (2)在在 点，点，因此，函数的保角性不成立。因此，函数的保角性不成立。的伸缩率不变，且具有保角性，的伸缩率不变，且具有保角性，解解 函数函数 在复平面上处处解析，且在复平面上处处解析，且 P137 例例6.1 14第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 解解 (1)由于由于 因此，它具有因此，它具有伸缩率不变性伸缩率不变性；(2)显然，该函数能保持两条曲线的显然，该函数能保持两条曲线的 的交角的的交角的大小不变大小不变,但但方向相反方向相反，因此，它是第二类保角映射。因此，它是第

9、二类保角映射。P138 例例6.2 15第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 因此，它在整个复平面上因此，它在整个复平面上是第一类共形映射是第一类共形映射。可见，它可见，它不是双方单值的不是双方单值的，(2)令令 解解 (1)由于由于 在复平面上处处解析，且在复平面上处处解析，且 则则 则则 (3)如果设区域如果设区域 是双方单值的是双方单值的，则它在区域则它在区域 D 内内 因此，它不是共形映射。因此，它不是共形映射。因此，它是区域因此，它是区域 D 内共形映射。内共形映射。令令 P139 例例6.3 16第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 休息一下17第六章 共形映射 6.1 共

10、形映射的概念 附：附：保角映射的来历保角映射的来历 1777年年 欧拉欧拉(Euler)就曾遇到过所谓的保角映射，他把就曾遇到过所谓的保角映射，他把 这种映射称为这种映射称为“小范围里的相似映射小范围里的相似映射”。保角映射这一术语最早出现在俄罗斯科学院院士保角映射这一术语最早出现在俄罗斯科学院院士 舒别尔特舒别尔特()的制图学著作中。的制图学著作中。1788年年 1779年年 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)创建了从旋转曲面到平面上创建了从旋转曲面到平面上 的保角映射理论。的保角映射理论。1822年年 高斯高斯(Gauss)创建了由复变函数出发的一般的保创建了由复变函数出发的一般的保 角映射理论。角映射理论。18第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 附：附：保角映射的来历保角映射的来历 1851年年 黎曼黎曼(Riemann)首次首次发表了关于任意的单连域都发表了关于任意的单连域都 可以映射到可以映射到(单位单位)圆域的定理。圆域的定理。此后，许瓦兹此后，许瓦兹(Schwarz)、哈纳克哈纳克(Harnack)以及庞加莱以及庞加莱(Poincare)等人曾多次试图给出等人曾多次试图给出 黎曼定理的严格证明黎曼定理的严格证明。1900年年 才由奥斯古德才由奥斯古德(Osgood)获得成功，给出黎曼定理获得成功，给出黎曼定理 的严格证明。的严格证明。(返回返回)