《数学实验与Matlab》课件.ppt

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1、数学实验与数学实验与Matlabhttp:/ 晓晓 阳阳华中科技大学数学系 实实 验验 一一 矩阵运算与矩阵运算与Matlab命令命令 日常矩阵及其运算日常矩阵及其运算矩阵应用实例矩阵应用实例:榄球防护用品的生产管理榄球防护用品的生产管理 应用问题应用问题 一个工厂生产三种橄榄球用品一个工厂生产三种橄榄球用品：防护防护帽、帽、垫肩、臀垫。垫肩、臀垫。需要不同数量的：硬塑料需要不同数量的：硬塑料、泡沫塑料泡沫塑料 尼龙线尼龙线、劳动力。劳动力。为监控生产，管理者对它们之间的关系为监控生产，管理者对它们之间的关系十分关心。十分关心。为把握这些量的关系，他列出下面的表为把握这些量的关系，他列出下面的

2、表 原料产品关系表原料产品关系表 订单订单管理者接到四份订单如上表所示。管理者接到四份订单如上表所示。问应该如何计算每份订单所需的原材料，问应该如何计算每份订单所需的原材料，以便组织生产？以便组织生产？将将表表格格写写成成矩矩阵阵形形式式计计 算算输入下面输入下面Matlab指令指令A=4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2,B=35 20 60 45;10 15 50 40;20 12 45 20C=A*B请自行计算观看结果请自行计算观看结果Matlab基本指令基本指令向量的创建和运算向量的创建和运算1.直接输入向量直接输入向量x1=1 2 4,x2=1,2,1,x3=x1运行结果运

3、行结果 x1=1 2 4 x2=1 2 1 x3=1 2 4 2.冒号创建向量冒号创建向量 x1=3.4:6.7,x2=3.4:2:6.7 x3=2.6:-0.8:0运算结果运算结果x1=3.4000 4.4000 5.4000 6.4000 x2=3.4000 5.4000 x3=2.6000 1.8000 1.0000 0.2000 3.生成线性等分向量生成线性等分向量指令指令x=linspace(a,b,n)在在a,b区间产区间产生生 n 个等分点个等分点(包括端点包括端点)x=linspace(0,1,5)结果结果x=0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000工作空间工

4、作空间在在Matlab窗口创建向量后并运行后，向窗口创建向量后并运行后，向量就存在于工作空间，可以被调用。量就存在于工作空间，可以被调用。向量的运算向量的运算设设x=x1 x2 x3;y=y1 y2 y3;为为两两个个三三维向量，维向量，a,b为标量。为标量。向量的数乘：向量的数乘：a*x=a*x1 a*x2 a*x3向量的平移：向量的平移：x+b=x1+b x2+b x3+b向量和：向量和：x+y=x1+y1 x2+y2 x3+y3向量差：向量差：x-y=x1-y1 x2-y2 x3-y3 数的乘幂：数的乘幂：如如 a2元素群运算元素群运算(四则运算）四则运算）x.*y=x1*y1 x2*y

5、2 x3*y3 (元元素素群群乘乘积积)x./y=x1/y1 x2/y2 x3/y3 (元元素素群群右右除除，右边的右边的y做分母做分母)x.y=y1/x1 y2/x2 y3/x3 (元元素素群群左左除除，左边的左边的x做分母做分母)x.5=x15 x25 x35 (元素群乘幂元素群乘幂)2.x=2x1 2x2 2x3 (元元素素群群乘乘幂幂)x.y=x1y1 x2y2 x3y3 (元元素素群群乘乘幂幂)元素群运算（函数计算）元素群运算（函数计算）Matlab有有许许多多内内部部函函数数，可可直直接接作作用用于于向量产生一个同维的函数向量。向量产生一个同维的函数向量。x=linspace(0,

6、4*pi,100);（产产生生100维向量维向量x）y=sin(x);(y也自动为也自动为100维向量维向量)y1=sin(x).2;y2=exp(-x).*sin(x);观察结果观察结果创建矩阵（数值矩阵的创建）创建矩阵（数值矩阵的创建）直接输入法创建简单矩阵。直接输入法创建简单矩阵。A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12B=-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6 观察运行结果观察运行结果创建矩阵（符号矩阵的创建）创建矩阵（符号矩阵的创建）用指令用指令“syms”说明符号变量。说明符号变量。syms a11 a12 a13 a14 a2

7、1 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34A1=a11 a12 a13 a14;a21 a22 a23 a24;a31 a32 a33 a34,B1=b11 b12 b13 b14;b21 b22 b23 b24;b31 b32 b33 b34 运行运行矩阵的运算矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积矩阵的加减、数乘、乘积)C=A1+B1D=A1-B1syms c,cA=c*A1A2=A1(:,1:3),B1G=A2*B1 矩阵的运算矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积矩阵的加减、数乘、乘

8、积)A,A_trans=AH=1 2 3;2 1 0;1 2 3,K=1 2 3;2 1 0;2 3 1h_det=det(H),k_det=det(K),H_inv=inv(H),K_inv=K-1矩阵的运算矩阵的运算(左除和右除左除和右除)左除左除“”：求矩阵方程求矩阵方程AX=B的解；（的解；（A、B的行要保持一致）的行要保持一致）解为解为 X=AB；当当A为方阵且可逆时有为方阵且可逆时有X=AB=inv(A)*B；右除右除“/”：求矩阵方程求矩阵方程XA=B的解的解 （A、B的列要保持一致）的列要保持一致）解为解为 X=B/A，当当A为方阵且可逆时有为方阵且可逆时有X=B/A=B*in

9、v(A)矩阵的运算矩阵的运算(左除和右除左除和右除)求矩阵方程：求矩阵方程：设设A、B满足关系式：满足关系式：AB2B+A,求求B。其中其中A=3 0 1;1 1 0;0 1 4。解：有解：有(A-2I)BA程序程序：A=3 0 1;1 1 0;0 1 4;B=inv(A-2*eye(3)*A,B=(A-2*eye(3)A观察结果：观察结果：分块矩阵分块矩阵（矩阵的标识矩阵的标识）1.矩阵元素的标识矩阵元素的标识：A(i,j)表示矩阵表示矩阵A 的第的第 i 行行 j 列的元素；列的元素；2.向量标识方式向量标识方式 A(vr,vc)：vr=i1,i2,ik、vc=j1,j2,ju分分别别是是

10、含含有矩阵有矩阵A的行号和列号的单调向量。的行号和列号的单调向量。A(vr,vc)是是取取出出矩矩阵阵A的的第第i1,i2,ik行行与与j1,j2,ju列交叉处的元素所构成新矩阵。列交叉处的元素所构成新矩阵。分块矩阵分块矩阵（矩阵的标识矩阵的标识）取取出出A的的1、3行行和和1、3列列的的交交叉叉处处元元素素构成新矩阵构成新矩阵A1程序程序nA=1 0 1 1 2;0 1-1 2 3;n 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1,n vr=1,3;vc=1,3;nA1=A(vr,vc)观察结果观察结果分块矩阵分块矩阵（矩阵的标识矩阵的标识）将将A分分为为四四块块，并并把把它它们们赋赋值值到到矩矩

11、阵阵B中中，观察运行后的结果。观察运行后的结果。程序程序nA11=A(1:2,1:2),A12=A(1:2,3:5),nA21=A(3:4,1:2),A22=A(3:4,3:5)nB=A11 A12;A21 A22结果结果分块矩阵分块矩阵（矩阵的修改和提取）（矩阵的修改和提取）修改矩阵修改矩阵A，将它的第将它的第1行变为行变为0。程序：程序：nA=1 0 1 1 2;0 1-1 2 3;n 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1n A(1,:)=0 0 0 0 0;A删除上面矩阵删除上面矩阵A的第的第1、3行。行。程序：程序：n A(1,3,:)=结果结果生成特殊矩阵生成特殊矩阵 全全1阵阵

12、n ones(n),ones(m,n),ones(size(A)全零阵：全零阵：n zeros(n)，zeros(m,n),zeros(size(A)n常常用于对某个矩阵或向量赋常常用于对某个矩阵或向量赋0初值初值单位阵：单位阵：neye(n)，eye(m,n)随机阵：随机阵：nrand(m,n)，rand(n)=rand(n,n)用用于于随随机机模模拟，常和拟，常和rand(seed,k)配合使用配合使用。生成特殊矩阵生成特殊矩阵将将rand指令运行多次，观察结果。指令运行多次，观察结果。程序：程序：n y1=rand(1,5),y2=rand(1,5),nrand(seed,3),x1=r

13、and(1,5),n rand(seed,3),x2=rand(1,5)结果结果常用矩阵函数常用矩阵函数det(A)：方阵的行列式；方阵的行列式；rank(A)：矩阵的秩；矩阵的秩；eig(A)：方阵的特征值和特征向量；方阵的特征值和特征向量；trace(A)：矩阵的迹；矩阵的迹；rref(A)：初等变换阶梯化矩阵初等变换阶梯化矩阵Asvd(A)：矩阵奇异值分解。矩阵奇异值分解。cond(A)：矩阵的条件数；矩阵的条件数；数据的简单分析数据的简单分析1.当当数数据据为为行行向向量量或或列列向向量量时时，函函数数对对整个向量进行计算整个向量进行计算.2.当当数数据据为为矩矩阵阵时时，命命令令对对

14、列列进进行行计计算算，即即把把每每一一列列数数据据当当成成同同一一变变量量的的不不同同观观察值。察值。max(求求最最大大)、min(求求最最小小)、mean(求求平平均均 值值)、sum(求求 和和)、std(求求 标标 准准 差差)、cumsum(求求累累积积和和)、median(求求中中值值)、diff(差差分分)、sort(升升序序排排列列)、sortrows(行升序排列行升序排列)等等等等。数据的简单分析数据的简单分析观观察察：生生成成一一个个36的的随随机机数数矩矩阵阵，并并将将其其各各列列排排序序、求求各各列列的的最最大大值值与与各各列列元素之和。元素之和。程序程序nrand(s

15、eed,1);A=rand(3,6),nAsort=sort(A),Amax=max(A),Asum=sum(A)结果结果实验二实验二函数可视化与函数可视化与Matlab作图作图函数的可视化函数的可视化n f(x),g(x)是周期函数吗？观察它们的图象。是周期函数吗？观察它们的图象。n 程序程序clf,x=linspace(0,8*pi,100);F=inline(sin(x+cos(x+sin(x);y1=sin(x+cos(x+sin(x);y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x);plot(x,y1,k:,x,y2,k-)legend(sin(x+cos(x+sin(x),

16、0.2x+sin(x+cos(x+sin(x),2)n令令绘制平面曲线绘制平面曲线(plot指令指令)plot(x,y)：n以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标绘制二维图形为纵坐标绘制二维图形nx,y是同维数的向量；是同维数的向量；plot(y)：n相当于相当于x=1,2,length(y)时情形。时情形。绘制平面曲线绘制平面曲线（绘制多个图形（绘制多个图形)1.plot(x,y1;y2;),n x是是横横坐坐标标向向量量，y1;y2;是是由由若若干干函函数数的纵坐标拼成的矩阵的纵坐标拼成的矩阵2.plot(x,y1),hold on,plot(x,y2),hold off3.plot(x,y

17、1,x,y2,)4.plotyyn两个坐标系，用于绘制不同尺度的函数。两个坐标系，用于绘制不同尺度的函数。绘制平面曲线绘制平面曲线（线型、点形和颜色的控制）（线型、点形和颜色的控制）（线型、点形和颜色的控制）（线型、点形和颜色的控制）plot(x,y,颜色线型点形颜色线型点形)plot(x,y,颜颜色色线线型型点点形形,x,y,颜色线型点形颜色线型点形,)句句柄柄图图形形和和set命命令令改改变变属属性性值值，可可套套用：用：nh=plot(x,y),n set(h,属属性性,属属性性值值,属属性性,属属性性值值,)n也也可可用用plot(x,y,属属性性,属属性性值值)设设置置图图形对象的属

18、性。形对象的属性。绘制平面曲线绘制平面曲线（属性变量和属性值）（属性变量和属性值）（属性变量和属性值）（属性变量和属性值）n线宽：线宽：LineWidthn点的大小：点的大小：MarkerSizen线型：线型：LineStylen颜色：颜色：color绘制平面曲线绘制平面曲线（例）（例）（例）（例）观察：观察：n改变绘图的线型和颜色。改变绘图的线型和颜色。n用用grid on 指指令令为为图图形形窗窗口口加加上上 网网格格线线，并并改改变变网网格格的的线线型和字体的大小型和字体的大小。程序程序nh=plot(0:0.1:2*pi,sin(0:0.1:2*pi);n set(h,LineWidt

19、h,5,color,red);grid onn set(gca,GridLineStyle,-,fontsize,16)观察结果观察结果绘制平面曲线绘制平面曲线（坐标轴的控制）（坐标轴的控制）（坐标轴的控制）（坐标轴的控制）axis指令指令 axis(xmin xmax ymin ymax)：设定二维图形的设定二维图形的x和和y坐标的范围；坐标的范围；axis(xmin xmax ymin ymax zmin ymax)：设定三维图形的坐标范围设定三维图形的坐标范围；其其中中xminxxmax，yminyymax，zminzzmax。绘制平面曲线绘制平面曲线（gcagca属性控制）属性控制）属

20、性控制）属性控制）改变当前轴对象句柄改变当前轴对象句柄gca属性属性用用set(gca,属性属性,属性值属性值,)可改变字体可改变字体大小、坐标刻度等轴对象的内容。例如：大小、坐标刻度等轴对象的内容。例如：set(gca,ytick,-1-0.5 0 0.5 1)n将将 y 坐标按向量坐标按向量-1-0.5 0 0.5 1将刻度分成将刻度分成4格；格；set(gca,yticklabel,a|b|c|d|e)n改变改变y坐标刻度的说明。坐标刻度的说明。绘制平面曲线绘制平面曲线（gcagca属性控制属性控制属性控制属性控制,例）例）例）例）设置设置y坐标的刻度并加以说明，并改变字体的坐标的刻度并

21、加以说明，并改变字体的大小。大小。程序程序 plot(0:0.1:2*pi,sin(0:0.1:2*pi),k.-,);grid on,axis(0 6.3-1.1 1.1)，set(gca,ytick,-1-0.5 0 0.5 1),set(gca,yticklabel,a|b|c|d|e),set(gca,fontsize,20)get(gca)运行结果运行结果绘制平面曲线绘制平面曲线（文字标注）（文字标注）（文字标注）（文字标注）title(图形标题图形标题)；xlabel（x轴轴名名称称）；ylabel（y轴轴名名称称）；）；zlabel（z轴名称轴名称）；）；text(说明文字说明文

22、字)：创建说明文字；：创建说明文字；gtext（说说明明文文字字）：用用鼠鼠标标在在特特定定位位置置输输入入文文字。字。文字标注常用符号：文字标注常用符号：pi（）；）；alpha（）；）；beta（）；）；leftarrow （左箭头）左箭头）rightarrow （右箭头）；右箭头）；bullet（点号）点号）绘制平面曲线绘制平面曲线（程序讲解，（程序讲解，（程序讲解，（程序讲解，exp2_1.mexp2_1.m）clf,t=0:0.1:3*pi;alpha=0:0.1:3*pi;plot(t,sin(t),r-);hold on;plot(alpha,3*exp(-0.5*alpha),

23、k:);set(gca,fontsize,15,fontname,times New Roman),xlabel(itt(deg);ylabel(itmagnitude);title(itsine wave and itAe-alphaittwave);绘制平面曲线绘制平面曲线（程序讲解，（程序讲解，（程序讲解，（程序讲解，exp2_1.mexp2_1.m）text(6,sin(6),fontsize15The Value itsin(t)at itt=6rightarrowbullet,HorizontalAlignment,right),text(2,3*exp(-0.5*2),fonts

24、ize15bulletleftarrow The Value of it3e-0.5 itt=,num2str(3*exp(-0.5*2),at itt=2);legend(itsin(t),itAe-alphat)注注1：num2str：string1,num2str,string2，用方括号用方括号注注2：legend 请结合图形观察此命令的使用请结合图形观察此命令的使用 图形窗口的创建和分割图形窗口的创建和分割 subplot(m,n,k)命令。命令。在图形区域中显示多个图形窗口。在图形区域中显示多个图形窗口。m为上下分割数，为上下分割数，n为左右分割数，为左右分割数，k为第为第k子图编

25、号。子图编号。例例：将将一一个个图图形形分分为为9个个子子图图，在在第第k个个子子图图画画sin(kx)的图象的图象.程序：程序：clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50);for k=1:9 y=sin(k*x);subplot(3,3,k),plot(x,y),axis(0,2*pi,-1,1)end若干有用的指令若干有用的指令clf：清除图形窗口已有的内容清除图形窗口已有的内容.shg：显示图形窗口。显示图形窗口。clear、clear x：清清除除工工作作空空间间的的已已有变量。有变量。figure(n):打开第打开第n个图形窗口个图形窗口 help:续行号续行号绘制二

26、元函数绘制二元函数基本步骤：基本步骤：1.生成二维网格点生成二维网格点2.计算函数在网格点上的值计算函数在网格点上的值3.绘制函数图形绘制函数图形三维绘图三维绘图（meshgridmeshgrid指令：指令：指令：指令：生生生生成网格点成网格点成网格点成网格点）观察观察meshgrid指令的效果。指令的效果。程序：程序：a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;x=linspace(a,b,n);y=linspace(c,d,n);X,Y=meshgrid(x,y);plot(X,Y,+)观察结果观察结果三维绘图三维绘图（计算函数值，定义域裁减（计算函数值，定义域裁减（计算函数

27、值，定义域裁减（计算函数值，定义域裁减）程序：程序：for i=1:n for j=1:n if(1-X(i,j)eps1|X(i,j)-Y(i,j)0 算算法法收收敛敛；=0达达到到最最大大步步骤骤而而停停止止；1%如有两个输出量（如有两个输出量（目标函数，梯度目标函数，梯度）。）。n g=%计算计算g为函数为函数x点的解析梯度（可省点的解析梯度（可省）。）。nif nargout 2%如有三个输出量（如有三个输出量（目标函数，梯度，海森阵目标函数，梯度，海森阵）。）。n H=%H为函数在为函数在x点的海森阵，（可省点的海森阵，（可省）。）。nendMatlab优化工具箱简介（zxy6_4

28、讲解运行）bandemo.m的简化和剖析的简化和剖析程序程序zxy6_4.m是对是对bandemo.m的简化的简化基本结构为：基本结构为：（1）绘绘制制香香蕉蕉函函数数的的等等值值线线图图，并并将将Start Point和和Solution标在图形上。标在图形上。（2）用用Switch语语句句结结构构，允允许许程程序序选选用用BFGS、DFP、最最速速下下降降法法和和单单纯纯形形法法等等四种优化方法。四种优化方法。Matlab优化工具箱简介多变量约束优化指令多变量约束优化指令fminconx,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(fu

29、n,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,)上面的命令等价于上面的命令等价于Matlab优化工具箱简介线性规划线性规划linprog指令指令x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)算法选择算法选择：noptions=optimset(largescale,off)，单纯形方法；单纯形方法；noptions=optimset(largescale,on)，内点法内点法(默认默认)。Matlab优化工具箱简介一元函数寻优一元函数寻优fminbnd指令指令

30、x,fval,exitflag,output =fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)此时此时 x,x1,x2 是标量，是标量，f(x)为标量函数。为标量函数。Matlab优化工具箱简介Quadprog：解二次规划解二次规划lsqnonlin：解非线性最小二乘解非线性最小二乘lsqcurvefit：非线性数据拟合非线性数据拟合lsqnonneg：非负系数的最小二乘法。非负系数的最小二乘法。lsqlin：约束最小二乘约束最小二乘应用思考与练习（计算最佳水槽断面面积）试推导对称试推导对称2n+1边形面积的一般公式边形面积的一般公式选择一系列的选择一系列的 n 值，仿照

31、值，仿照zxy6_6.m计算计算它们的最大断面面积，观察计算结果的它们的最大断面面积，观察计算结果的规律性。规律性。在工程实践中并不能保证每一次计算都在工程实践中并不能保证每一次计算都能够成功，但是本问题即使不成功，你能够成功，但是本问题即使不成功，你是否也能洞察结果？是否也能洞察结果？对对盲盲人人下下山山问问题题，引引入入一一个个有有界界约约束束区区域域，试试用图形表现函数在区域边界上的图象。用图形表现函数在区域边界上的图象。可可以以用用等等值值线线或或用用曲曲顶顶柱柱体体曲曲面面显显示示函函数数在在区区域变化的情况。域变化的情况。不不过过建建议议单单独独用用二二维维绘绘图图指指令令plot

32、画画出出它它们们的的曲线图，观察函数在边界的极值情况。曲线图，观察函数在边界的极值情况。应用思考与练习（盲人约束下山）应用思考与练习（盲人约束下山）结合高等数学知识，结合高等数学知识，如果可能，用如果可能，用Matlab符号演算指令求出函数在不同约符号演算指令求出函数在不同约束下的极值点和最值点（例如可用束下的极值点和最值点（例如可用Lagrange函数方法解决这些问题）。函数方法解决这些问题）。你也可以在盲人下山模拟中对有约束的你也可以在盲人下山模拟中对有约束的情况进行讨论，这时盲人应该如何前进情况进行讨论，这时盲人应该如何前进呢？呢？应用思考与练习（啤酒配方问题）某啤酒厂希望用原料掺水的办

33、法生产一某啤酒厂希望用原料掺水的办法生产一种复合标准的低成本啤酒。其标准要求种复合标准的低成本啤酒。其标准要求为：酒精含量为为：酒精含量为3.1；发酵前平均比重；发酵前平均比重在在1.0341.040之间；颜色在之间；颜色在810EBC单位之间；每升混合物中，蛇麻子脂的单位之间；每升混合物中，蛇麻子脂的含量在含量在2025mg之间。之间。请根据相关数据算出最优配方。请根据相关数据算出最优配方。应用思考与练习（储能飞轮的设计）下面的表达式用于设计储能用的飞轮。下面的表达式用于设计储能用的飞轮。准则是储藏的能量最大。准则是储藏的能量最大。用约束条件限定了重量、直径、转速和厚度，用约束条件限定了重量

34、、直径、转速和厚度，试计算最优解。你能确定算出的解是最优的吗？试计算最优解。你能确定算出的解是最优的吗？应用思考与练习（齿轮减速器设计）抽去各变量的物理意义，齿轮减速器最抽去各变量的物理意义，齿轮减速器最优设计模型如下：优设计模型如下：这是一个具有这是一个具有7个变量、个变量、23个约束的优化个约束的优化问题。试对其进行计算。问题。试对其进行计算。你可能会遇到很大的困难，你能想办法解你可能会遇到很大的困难，你能想办法解决这些困难吗？决这些困难吗？应用思考与练习（齿轮减速器设计）方程求根、不动点和迭代实验七隐函数的存在定理的可视化隐函数的存在定理的可视化选择特殊的例子选择特殊的例子运行运行zxy

35、7_1.m，画出曲面画出曲面z=F(x,y)、x-y平面的图像和它们的交线。平面的图像和它们的交线。画出曲线画出曲线z=F(x0,y)；（；（备注）备注）隐函数的存在定理的可视化隐函数的存在定理的可视化确定隐函数，方程求根确定隐函数，方程求根x,fval,exitflag,output=fzero(fun,x0,options)zxy7-2.m蛛网图与不动点迭代 称满足方程称满足方程 f(x)=x的点的点x为函数为函数f的不动的不动点点求函数求函数f的不动点。可以从一个初始点的不动点。可以从一个初始点x0出发，以格式出发，以格式 xn+1=f(xn)进行迭代；进行迭代；得到得到x0,x1,x2

36、,xn,.如果该数列是收敛的，则如果该数列是收敛的，则蛛网图与不动点迭代蛛网图与不动点迭代运行观察程序运行观察程序zxy7_3，理解蛛网图的原理理解蛛网图的原理简单和复杂：二次函数迭代和混沌观观察察 对对二二次次函函数数 f(x)=rx(1-x)进进行行的的迭迭代代，其中其中0 r 1是一个可变参数。是一个可变参数。1）固固定定若若干干个个不不同同的的的的值值，观观察察迭迭代代序序列列的的的极限；的极限；n迭迭代代N次次，略略去去前前n个个迭迭代代值值，并并将将后后N n个个迭迭代代值画在值画在r-x坐标系中（坐标系中（zxy7_4)2）用蛛网图观察三种不同类型的迭代。）用蛛网图观察三种不同类

37、型的迭代。(zxy7_5)3）加加密密r的的取取值值，得得到到加加密密Feigenbaum图图。（zxy7_4改变参数改变参数)线性代数实验线性代数实验实验八实验八向量组的线性关系向量组的线性关系（产生相关向量，运行zxy8_1）产生向量：产生产生向量：产生m个个n维向量，且各向量维向量，且各向量的分量均在的分量均在a,b之间。之间。clear n=3;m=2;a=-10;b=10;rand(seed,32),A=unifrnd(a,b,n,m)组合向量组合向量：产生：产生 m=2个组合系数个组合系数,将组合得到的新向量并入矩阵将组合得到的新向量并入矩阵 A中：中：x=unifrnd(-1,1

38、,1,m),A(:,3)=x(1)*A(:,1)+x(2)*A(:,2)向量组的线性关系（产生相关向量，运行zxy8_1)运行运行zxy8_1A=-1.7383 -9.1707 0.0256 8.7064 6.6219 -9.0842 4.7096 7.5495 -0.0246 -8.9245 -3.5331 8.3272 -5.7470 3.9105 -0.0038 -0.2352 -6.6197 2.1934向量组的线性关系（产生相关性的判别）Gauss消元法（运行rref(A),rrefmovie(A)）rrefrref(A)(A)将矩阵将矩阵A A做行初等变换阶梯化。做行初等变换阶梯化

39、。B=B=rrefrref(A)(A)nB=B=n 1.0000 0 -0.0011 -0.5360 0.5851 0.2590 1.0000 0 -0.0011 -0.5360 0.5851 0.2590n 0 1.0000 -0.0026 -0.8478 -0.8330 0.9415 0 1.0000 -0.0026 -0.8478 -0.8330 0.9415n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0rrefmovierrefmovie(A)(A)：观察到行初等变换的过程：观察到行初等变换的过程 Gauss消元法(同解方程）Rref(A)Gauss消元法(解）向量形式向量形式Ga

40、uss消元法(基础解系）Ax=0 的基础解系可由下式计算的基础解系可由下式计算：X=-B(1:r,r+1:m+s);eye(l)其其中中r=rank(A)，l=m+s-r为为基基础础解解系系的的个数。个数。r=2;m=2;s=4;B=-B(1:2,r+1:m+s);eye(m+s-r)问问题题：如如何何用用Matlab解解一一般般的的非非线线性性齐齐次方程组，如次方程组，如A(:,1:4)X=A(:,7)？应用练习与思考(平面四杆机构设计)应用练习与思考(平面四杆机构设计)某操纵装置采用四杆铰链机构。已知两某操纵装置采用四杆铰链机构。已知两连架杆（连架杆（L1,L3）输入角和输出角满足下输入角

41、和输出角满足下表数据所示的对应关系表数据所示的对应关系，机架长度，机架长度L4=50mm，试确定其余三杆的长度。试确定其余三杆的长度。应用练习与思考(平面四杆机构设计)应用练习与思考(平面四杆机构设计)确确定定四四杆杆的的长长度度，并并用用Matlab绘绘图图指指令令用用图图形形表表示示你你的的设设计计结结果果。你你需需要要设设计计一一种种表表现现方方案案，使人可以很明白的看出你的设计结果是对的。使人可以很明白的看出你的设计结果是对的。如如果果只只利利用用表表前前两两组组对对应应角角度度的的值值，设设计计方方案案还还是是唯唯一一的的吗吗？计计算算一一下下结结果果。同同样样给给出出直直观观表示。

42、体会到自由变量含义？表示。体会到自由变量含义？如如果果表表中中值值为为4组组对对应应角角度度的的值值，你你就就遇遇到到超超定定方方程程了了。它它没没有有精精确确解解，只只有有近近似似解解。你你愿愿意用意用Matlab去解它吗？试一试。去解它吗？试一试。应用练习与思考(用Matlab做线性代数题)应用练习与思考(用Matlab做线性代数题)syms a wa1=1;4;0;2;a2=2;7;1;3;a3=0;1;-1;1;a4=3;10;a;4;wA=a1,a2,a3,a4wfor i=2:4%行初等变换行初等变换w A(i,:)=A(i,:)-A(1,:)*A(i,1);wendw A(2,:

43、)=A(2,:)/A(2,2);wfor i=3:4w A(i,:)=A(i,:)-A(2,:)*A(i,2);wend矩阵的相似化简矩阵的相似化简矩阵的相似化简选择方阵选择方阵A，如如 二阶方阵二阶方阵 A=1/5,99/100;1,0;选选择择一一个个初初始始点点(二二维维列列向向量量)，按按下下面面的公式进行迭代的公式进行迭代:xk+1=Axk观察这些迭代点位置和趋向观察这些迭代点位置和趋向矩阵的相似化简(程序zxy8_2.m迭代部分)Clear,clf,n=40;a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;A=1/5,99/100;1,0;axis(a b c d),gr

44、id,hold onbutton=1while button=1xi,yi,button=ginput(1);plot(xi,yi,ko),hold on,X0=xi;yi;X=X0;for i=1:nX=A*X,X0;h=plot(X(1,1),X(2,1),k.,X(1,1:2),X(2,1:2),k:);set(h,MarkerSize,6),grid,hold onquiver(X(1,2),1,X(2,2),1,X(1,1)-X(1,2),0,X(2,1)-X(2,2),0,p)endend矩阵的相似化简(程序zxy8_2.m画直线)p=60;x=linspace(a,b,30);p

45、c,lamda=eig(A),pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;plot(x,z1,linewidth,2),h=quiver(500,501,-1000,-1001,pc(1,1),0,pc(2,1),0,p)set(h,linewidth,2,color,red),矩阵的相似化简(高维线性离散动力系统)动力系统理论的基本目的是了解迭代过程的最动力系统理论的基本目的是了解迭代过程的最终或渐进性态，终或渐进性态，如果迭代过程是一时间为自变量的微分方程，如果迭代过程是一时间为自变量的微分方程，则该理论试图预言微分方程的解在遥远的将来

46、则该理论试图预言微分方程的解在遥远的将来或遥远的过去的最终性态。或遥远的过去的最终性态。如果过程是像函数迭代的离散过程，则这种理如果过程是像函数迭代的离散过程，则这种理论希望了解随着论希望了解随着n n变大，迭代点的最终性态。变大，迭代点的最终性态。就是说，动力系统提出了一个听起来非数学的就是说，动力系统提出了一个听起来非数学的问题：这些点跑到哪里去？当它们到达那里又问题：这些点跑到哪里去？当它们到达那里又在干些什么？在干些什么？矩阵的相似化简(高维线性离散动力系统)记线性动力系统记线性动力系统L(x)L(x)，它是它是 L(x)=Lx L(x)=Lx其中其中 L L 是适当维数的方阵，是适当

47、维数的方阵，我们只考虑我们只考虑2 23 3维的情形。维的情形。矩阵的相似化简(高维线性离散动力系统)矩阵的相似化简(高维线性离散动力系统)考察前面在考察前面在2 维情况的例子中的标准形维情况的例子中的标准形A=2,0;0,1/2它具有混合特征值它具有混合特征值运行运行zxy8_3.m 进行观察迭代情形。进行观察迭代情形。观察观察BPAP-1迭代的情况，比较异同。迭代的情况，比较异同。主成分分析和线性变换气象分析预报中需要分析很多变量指标。气象分析预报中需要分析很多变量指标。何抓住主要特点，用较少的指标代替原何抓住主要特点，用较少的指标代替原来较多的指标，又能综合反映原来较多来较多的指标，又能

48、综合反映原来较多的指标信息，就是实际工作者所关心的的指标信息，就是实际工作者所关心的问题。（降维）问题。（降维）主成分分析方法为此提供了一种有效的主成分分析方法为此提供了一种有效的手段。手段。主成分分析和线性变换设有两个变量指标：设有两个变量指标：X1：代表某地代表某地10月副高强度指数；月副高强度指数；X2：代表该地代表该地10月的副高面积指数。月的副高面积指数。主成分分析和线性变换运行运行zxy8_4.m画出散点图。画出散点图。如何找到适当的坐标轴，使信息损失尽如何找到适当的坐标轴，使信息损失尽可能小？可能小？主成分分析和线性变换主成分分析和线性变换求协方差矩阵求正交矩阵P，满足运行观察主

49、成分分析和线性变换(运行zxy8_4)线性变换运行zxy8_5数学实验与数学实验与Matlabhttp:/ 晓晓 阳阳华中科技大学数学系 Galton钉板和二项分布钉板和二项分布 分布列的意义分布列的意义Galton钉板模拟o英国生物统计英国生物统计学家学家Galton设设计了计了Galton板板o右边是一个右边是一个5 5层层GaltonGalton钉钉板板Galton钉板模拟(原理)o o在一板上钉有在一板上钉有在一板上钉有在一板上钉有n n排钉子排钉子排钉子排钉子o o自顶端扔进一小球任其自自顶端扔进一小球任其自自顶端扔进一小球任其自自顶端扔进一小球任其自由下落由下落由下落由下落o o在

50、下落过程中小球碰到钉在下落过程中小球碰到钉在下落过程中小球碰到钉在下落过程中小球碰到钉子，左右落下的机会相等子，左右落下的机会相等子，左右落下的机会相等子，左右落下的机会相等o o最后小球落入底板中的某最后小球落入底板中的某最后小球落入底板中的某最后小球落入底板中的某一个格子一个格子一个格子一个格子o o图中用图中用图中用图中用0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5表示表示表示表示这这这这6 6个格子个格子个格子个格子Galton钉板模拟(博彩问题)在每一格子中放上适当价在每一格子中放上适当价值的奖品值的奖品如依次为如依次为 10 1 0.2 0.2 1 8 (元）元）扔一次小球你要付扔