高中数学函数的单调性、最值和极值.pdf

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1、函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最极值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最极值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点.在高考试题中，函数的单调性、极最值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在 0.30.6 之间.考试要求：了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；了解函数单调性与导数的关系；能求函数的最大小值；掌握用导数研究函数的单调性.题型一题型一函数的单调性、最极值，求参变量的值函数的单调性、最极值，求参变量的值.例例 1 1设函数f(x)6x 3(a 2)x

2、2ax.1假设f(x)的两个极值点为x1,x2且x1x21，求实数a的值；2是否存在实数a，使得f(x)是(,)上的单调函数？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.点拨点拨因为是三次函数，所以只要利用“极值点 f(x)0的根，转化为一元二次方程根的问题；利用f(x)在(,)上单调 f(x)00，转化为判断一元二次函数图像能否在x轴上方的问题.2解解f(x)18x 6(a2)x2a321由有f(x1)f(x2)0，从而x1x222a1821,所以a 9；2由 36(a2)4182a 36(a 4)0，得f(x)0总有两个不等的实根，f(x)不恒大于零，所以不存在实数a，使得f(x)是R上的

3、单调函数.易错点易错点三次函数的极值点x1,x2与原函数f(x)的导数关系不清；含参变量a的问题是逆向思维，学生易出现错误；学生不会将f(x)在(,)上是单调函数的问题转化为f(x)0(0)恒成立问题.变式与引申变式与引申 1 1：(2021(2021 年高考江西卷理年高考江西卷理)设f(x)x x ax1假设f(x)在(,）上存在单调递增区间，求a的取值范围；2当 a 时，f(x)在,上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值题型二：最极值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围题型二：最极值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围.例例 2 2 函数f(x)x(1a)x a(a 2)xb(

4、a，bR R)1假设函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；322假设函数f(x)在区间1，1上至少有一个极值点，求a的取值范围点拔：点拔：第1问利用条件可得f00,f(0)=0，求出a，b的值.第2问利用“极值点 f(x)0的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析：1由函数f(x)的图像过原点，得b 0，2又f(x)3x 2(1a)xa(a 2)，f(x)在原点处的切线斜率是3，那么a(a2)3，所以a 3，或a 12法一：由f(x)0，得x1 a，x2 a2又f(x)在(1,1)上至少有一个极值点，3a21 a 1，1 1，1 a 1，5 a 1，3即解得1或1

5、a2或a2a ，a a ，a 2233所以a的取值范围是5，21 11，22法二：法二：f(x)3x 2(1a)xa(a 2),由题意f(x)0必有一根在(-1,1)上,故f(-1)f(1)0,即(54aa)(1a)0,解得5 a 1；或f(-1)=0，那么a 1，当a 1,f(1)0舍去，当a 1时，经检验符合题意；同理f(1)=0，那么a 1或5，经检验，均不符合题意，舍去.f(x)0有两个不同的根在(-1,1)上22 f(-1)011故f(1)0解得：1 a 或 a 122 0所以，所以，a的取值范围5，1 11.，22易错点：易错点：解不等式f(x)0出错；第2问的解法一，不易分析.；

6、第2问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.变式与引申变式与引申 2 2：将2中改为“f(x)在区间1，1上有两个极值点，或改为“f(x)存在极值点，但在区间1，1上没有极值点，如何求a的取值范围？题型三题型三 函数的单调性、最极值与不等式结合的问题函数的单调性、最极值与不等式结合的问题例例 3 3设函数f(x)x e1求a和b的值；2讨论f(x)的单调性；3设g(x)x3 x2，试比拟f(x)与g(x)的大小322x1ax3bx2，x 2和x 1为f(x)的极值点点拔点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第1问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第3问中比拟两个函数f(x)

7、与g(x)的大小，可构造新函数F(x)f(x)g(x)，再通过分析函数F(x)的单调性来讨论F(x)与 0 的大小关系.解解1因为f(x)ex1(2x x2)3ax22bx xex1(x2)x(3ax2b)，又x 2和x 1为f(x)的极值点，所以f(2)f(1)0，因此6a2b 0，1解方程组得a ，b 1333a2b 0，13x12因为a ，b 1，所以f(x)x(x2)(e令f(x)0，解得x1 2，x2 0，x311)，因为当x(，2)(01)，时，f(x)0；当x(2，0)(1，)时，f(x)0所以f(x)在(2，0)和(1，)上是单调递增的；在(，2)和(0，1)上是单调递减的3由

8、1可知1f(x)x2ex1x3 x23，故F(x)f(x)g(x)x2ex1 x3 x2(ex1 x)，令h(x)ex1 x，那么h(x)ex11令h(x)0，得x 1，因为x，1时，h(x)0，所以h(x)在x，1上单调递减故x，1时，h(x)h(1)0；因为x1，时，h(x)0，所以h(x)在x1，上单调递增故x1，时，h(x)h(1)0所以对任意x(，)，恒有h(x)0，又x故对任意x(，)，恒有f(x)g(x)易错点易错点求导数时，(x e2x120，因此F(x)f(x)g(x)0，)易出错；比拟两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调

9、性来分析.变式与引申变式与引申 3 3：将第3问改为：设g(x)232x x，试证f(x)g(x)恒成立3本节主要考查：本节主要考查：1用导数研究函数单调性,极值；2利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题；3方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用；4数形结合思想.点评：点评：1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；3利用求导的方法研究函数的单调性、最极值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最

10、极值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.习题习题 1 13 31.：函数f(x)log3x(0 x 9)x 11(x 9)，假设a，b，c均不相等，且f(a)f(b)f(c)，那么abc的取值范围是A.(0,9)B.(2,9)C.(9,11)D.(2,11)2.函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意的x 0，规定f(x)g(x)min f(x),g(x),若f(x)3 x,g(x)2x 5,是f(x)g(x)的最大值为 .3.函数f(x)x 3ax 3x1.1设a 2，求f(x)的单调区间；2设f(x)在区间(2,3)上不单调，求a的取值范围.4.函数f(x)32x，g(x)aln x,aR.I假设曲线y f(x)与曲线y g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；II设函数h(x)f(x)g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；III对2中的(a)，证明：当a(0,)时，(a)1.5.设函数f(x)(x 1)bln x，其中b为常数1当b 21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；22b 0时，求f(x)的极值点；3求证对任意不小于3 的正整数n，不等式ln(n 1)lnn 1都成立2n