高数第一章单元自测题答案.pdf

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1、第一章单元自测题答案第一章单元自测题答案一、填空题1x；21；3e；4623；5；6,.32二、选择题1A；2A；3C；4B；5C；6C.三、计算以下各题exxx1解 由y x可得y(e 1)ee 1即e(1 y)y于是有x lnxy1 y改变变量的记号，即得所求反函数为y ln2解limx，定义域D 0,1.1 xnnn 1n 1 limn2 n limn1n1n2111 1nn11 2 n12n1 2 n，n2 nn21n2 2n2 nn21n(1n)11 2 n112n2lim又lim=，=lim222nnn2n nn n2n 11根据夹逼定理得，原式=23解 因为3x2 x 2(x 1

2、)(x 2)13 lim lim14解lim3x1x 1x1x1(x 1)(x2 x 1)x 1x 12ax)e2a x 2a x5解 因为lim lima e3a 8，xxaexa(1)xx于是有3a ln83ln2，即得a ln2x(16 6解lim13tan xx021x2limeln13tan xlime21x2ln 13tan2xx2,x0 x0因为当x 0时，ln(13tan x)3tan x 3x，于是有1ln(13tan2x)3x22x2 limelim13tan xlimlim3，从而x0 x0 x0 x0 x2x2ln 13tan2xx2222e37 7解：函数在x 0,x

3、 1,x 1处没有定义，因此x 0,x 1,x 1是间断点，xx11 lim，因为lim22=lim22x0 xx1x0 xx 1x0 xx 1xx1所以x 0为第二类间断点；因为limxx1x1x2x21=limxx2x 1x1=1，所以x 1为第一类间断点；2因为limxx 12x1xx 12，所以x 1为第二类间断点.四、证明题证明 令Fx fx x，由于fx在a,b上连续，根据连续函数的四那么运算性质可知，F(x)在a,b上连续.且由于a fx b可知，Fa fx a 0，Fb fbb 0，从而根据零点定理，至少存在一点a,b，使得F 0,即f.第二章单元自测题答案第二章单元自测题答案

4、一、判断题1；2；3.；4.；5；6二、选择题1 C；2 A；3 B；4 D 三、计算题1解 当x 0时，f(x)(exsin x)exsin xexcos x ex(sin xcos x)，同理，当x 0时，f(x)2x1。当x 0时，x2 x0 lim x11，f(x)limx0 x0 xexsin x0sin xx lim e lim1，f(x)limx0 x0 x0 xx从而f(0)1即ex(sin xcosx),x 0f(x)2x1,x 02解 利用连锁规那么xy (xarcsintan3(2x1)2x(xarcsin)(tan3(2x1)2x arcsin x21x1()221x1

5、()2213tan2(2x1)(tan(2x1)2 arcsinx x213tan2(2x1)sec2(2x1)22 arcsinxx6tan2(2x1)sec2(2x1)24 x23解 利用连锁规那么y 2 f(x2)(f(x2)2 f(x2)f(x2)2x 4xf(x2)f(x2)4解 取对数ln y xln(1 x2)再对方程两端关于 x 求导，11y ln(1 x2)x(2x)y1 x22x22x2y (1 x)ln(1 x)21 x5 解 取对数11ln y ln(x5)ln(x22)26再对方程两端关于 x 求导，111y(2x)y2(x5)6(x22)x51xy 2322(x5)

6、3(x 2)x 26 解 先求一阶导数y 2xln x x2sin 2xcos2x2 2xln x x2sin 4x，再求二阶导数y 2ln x212cos 4x4 2ln x38cos4 x7 解 方程两端同时对x求导，得eyy y1从而y 再求导，得d2yeyyey y ydx2(e 1)2(e 1)3dy1y，dxe 18 解 先求微分，得dy (ettet)dtdx (2t 2)dt从而有dy(ettet)dtettetetdx(2t 2)dt2t 22再求出二阶导数dy)d y1et1etdx2dxdxdt2 2t 24(t 1)dt19 解y ln 1 x2ln(1 x2)，212

7、xxy，2 1 x21 x2x所以dy ydx dx21 x四、应用题2d(1 解曲线y f(x)过(1,0)点，即有f(1)0，f(1 2x)f 1(2x)f(1)lim(2)2 f(1)1，x0 x0 x 2x11所以f(1)，即所求切线斜率为k=，从而切线方程为2211y x222 解 圆的面积因为limS R2，dS 2RdR取R010，R 0.4，那么S dS 2R0dR 2R0R 23.14100.4 25.12cm2五、证明 首先求出一阶导数和二阶导数y f(ex)exy f(ex)ex f(ex)e2x从而y y f(ex)ex f(ex)e2x f(ex)ex f(ex)e2x