高级人工智能逻辑、推理与知识课件.ppt

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1、高级人工智能逻辑、推理与知识2023/1/301/1132023/1/302/117命题逻辑命题逻辑一阶逻辑一阶逻辑(一阶谓词演算）一阶谓词演算）其他逻辑系统其他逻辑系统约束推理约束推理定性推理定性推理基于范例的推理基于范例的推理知识及其表示知识及其表示命题逻辑 什么是什么是逻辑逻辑？简单简单地地说说，逻辑逻辑就是人就是人们们用以用以处处理理问题问题而抽象的一种思而抽象的一种思维规则维规则或或计计算算方法。方法。命题逻辑的关系表达直观、生动而简洁，命题逻辑的关系表达直观、生动而简洁，它是一阶逻辑发展的前导和基础。把命题逻它是一阶逻辑发展的前导和基础。把命题逻辑加以简单的形式化，就能扩展应用于一

2、阶辑加以简单的形式化，就能扩展应用于一阶逻辑推理中。逻辑推理中。2023/1/303/117命题逻辑1.1.1.1.命题和个体命题和个体命题和个体命题和个体 设有如下符号命名的语句：设有如下符号命名的语句：X X X X：爱因斯坦是一位伟人。爱因斯坦是一位伟人。Y Y Y Y：海水是甜的。海水是甜的。WWWW：3+4=93+4=9 上述上述X X、Y Y、Z Z都是陈述性语句，分别具有肯定都是陈述性语句，分别具有肯定(True)(True)或否定或否定(False)(False)意义的真值，我们把它们都称之为意义的真值，我们把它们都称之为命题命题命题命题。其中，诸如。其中，诸如“爱因斯坦爱因斯

3、坦”，“海水海水”，数字，数字“3 3”、“4 4”等，它们是命题中的行为中心对象，又等，它们是命题中的行为中心对象，又称为称为个体个体个体个体。2023/1/304/117命题逻辑 定定定定义义义义3.13.13.13.1 命命命命题题题题(Proposition)(Proposition)(Proposition)(Proposition)，即即即即具具具具有有有有真真真真(T)(T)(T)(T)假假假假(F)(F)(F)(F)意意意意义义义义的的的的陈述性语句。陈述性语句。陈述性语句。陈述性语句。2023/1/305/117注意：注意：注意：注意：命题一定是陈述性语句命题一定是陈述性语句

4、；如上述如上述X X、Y Y、WW等。等。例如，下面句子是陈述性语句吗？例如，下面句子是陈述性语句吗？请勿吸烟。请勿吸烟。昨晚你看足球联赛了吗？昨晚你看足球联赛了吗？西湖好美呵！西湖好美呵！命命题题既既可可用用自自然然语语言言(包包括括中中、外外文文)形形式式表表示示，也也可可用用大大写写的的英英文文字字符符或或字字符串来命名符串来命名。命题反映了人脑进行思维的一种判断，可见命题表达自身就含有智能特性。命题反映了人脑进行思维的一种判断，可见命题表达自身就含有智能特性。命题逻辑2023/1/306/117 （1 1）个个体体是是命命题题中中的的中中心心对对象象，通通常常由由名名词词构构成成。个个

5、体体可可以以是是具具体体的的人人物物、物物体、一组数字、地名等，也可以是某个抽象的概念。体、一组数字、地名等，也可以是某个抽象的概念。例如，机器人、海棠花、理想、快乐、智能等均可作为个体。例如，机器人、海棠花、理想、快乐、智能等均可作为个体。（2 2）个体的取值范围称为个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的。）个体的取值范围称为个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的。定义定义定义定义3.23.23.23.2 所谓个体，是指可以独立存在的某个事物。所谓个体，是指可以独立存在的某个事物。所谓个体，是指可以独立存在的某个事物。所谓个体，是指可以独立存在的某个事物。命题逻辑2.2.谓词及变元谓

6、词及变元2023/1/307/117 为为了了对对许许多多具具有有进进步步影影响响人人物物都都使使用用形形同同X X命命题题方方式式赞赞扬扬之之，可可使使用用一一种种类类同同数数学函数的形式语言学函数的形式语言用含有变量字符或字符串的谓词来定义：用含有变量字符或字符串的谓词来定义：表达为英文字符串形式：表达为英文字符串形式：GIANT(x)GIANT(x)GIANT(x)GIANT(x).其被赋予的汉语解释是：其被赋予的汉语解释是：x x是一位伟人。把把 GIANT(x)GIANT(x)GIANT(x)GIANT(x)称称为为谓谓词词（PredicatePredicate），其其中中GIANT

7、 GIANT GIANT GIANT()是是谓谓词词名名；括括号号中中的的参参量量x x叫叫做谓词的做谓词的变元变元，又称之为项，又称之为项(item)(item)。GIANT()谓词名谓词名谓词名谓词名谓词变元谓词变元谓词变元谓词变元 命题逻辑2023/1/308/117 这这种种由由定定义义的的谓谓词词名名、变变元元，共共同同构构成成了了具具有有陈陈述述性性表表达达的的形形式式化化语语句句，称称为为谓谓词词。一一个个谓谓词词可可以以有有n n（其其中中n=0,1,2,n=0,1,2,）个变元，并称之为）个变元，并称之为n n元谓词。元谓词。在谓词中，谓词名表达了语句中除主语个体之外的其余在

8、谓词中，谓词名表达了语句中除主语个体之外的其余部分，常采用自然语言的部分，常采用自然语言的谓语动作谓语动作词根词根词根词根来表达；谓词的变来表达；谓词的变元可在相应个体域集合中取值任意一个元素。元可在相应个体域集合中取值任意一个元素。命题逻辑2023/1/309/117例例3.13.1 假如定义英文字符串假如定义英文字符串“OCITY(x)OCITY(x)OCITY(x)OCITY(x)”设其含意为：设其含意为：x x x x是一座历史名城是一座历史名城。解解解解：这这里里x x可可以以取取值值“西西安安”真真值值为为T T；x x取取值值“深深圳圳”真真值值为为F F。若若取取值值“北京北京

9、”则为则为T T、“华盛顿华盛顿”T T、“野玫瑰野玫瑰”F F、“机器人机器人”为为F F等。等。由上例可见，当使用特定的个体常量取代了谓词中的变元，该谓词就转换成为一由上例可见，当使用特定的个体常量取代了谓词中的变元，该谓词就转换成为一个命题；反之，如果把命题中有独立结构的个体常量替换成变元参量，则又可把命个命题；反之，如果把命题中有独立结构的个体常量替换成变元参量，则又可把命题转换成为一个具有谓词结构的表达式了。题转换成为一个具有谓词结构的表达式了。命题逻辑3.3.谓词的元和谓词的阶谓词的元和谓词的阶 2023/1/3010/117定义定义3.33.3 谓词中包含个体或变元的数目，称为谓

10、词的元或谓词的目。谓词中包含个体或变元的数目，称为谓词的元或谓词的目。例例3.23.2 比较下列谓词或谓词形式的命题：比较下列谓词或谓词形式的命题：LIKE(johnLIKE(john，mary)mary)；ROBOT(john)ROBOT(john)；ROBOT(mary)ROBOT(mary)；ADDQ(xADDQ(x，y y，z)z)。试解释具体含义，并指出它们各是几元谓词。试解释具体含义，并指出它们各是几元谓词。解解解解：上上述述谓谓词词意意即即“机机器器人人约约翰翰喜喜欢欢玛玛丽丽”；和和都都只只有有一一个个个个体体，称称为为一一元元谓谓词词；相相应应则则称称为为二二元元谓谓词词；表

11、表示示为为表表达达式式“x+y=zx+y=z”，其其中中包包含含有有3 3个个变变元，故称为三元谓词。依此类推，可推出关于元，故称为三元谓词。依此类推，可推出关于n n元谓词的概念。元谓词的概念。顺便指出：顺便指出：在多元谓词中，变元的排序很重要，一旦确定，就不可随意交换。在多元谓词中，变元的排序很重要，一旦确定，就不可随意交换。命题逻辑2023/1/3011/117定义定义3.43.4 谓词表达形式中所包容相叠加的含义层次数数目，称为谓词的阶。谓词表达形式中所包容相叠加的含义层次数数目，称为谓词的阶。例例2-32-3 为了说明谓词的阶，我们来比较下列谓词形式的命题：为了说明谓词的阶，我们来比

12、较下列谓词形式的命题：LIFELESS(outer-stars)LIFELESS(outer-stars)；外星球没有智能生命。；外星球没有智能生命。INCORRECT(lifeless(outer-stars)INCORRECT(lifeless(outer-stars)；说；说“外星球没有智能生命外星球没有智能生命”是不确切的。是不确切的。解解：在在上上述述谓谓词词形形式式的的命命题题中中，谓谓词词只只有有一一层层含含义义，称称为为一一阶阶谓谓词词；谓谓词词在在前前一一层层含含义义基基础础上上，又又增增加加了了一一层层新新意意，共共有有二二层层含含义义。故故把把谓谓词词称称为为二二阶阶谓谓

13、词词。依此类推，可推出关于依此类推，可推出关于n n阶谓词的概念。阶谓词的概念。注意：注意：注意：注意：在谓词逻辑演算中，在谓词逻辑演算中，最重要的有三大类：最重要的有三大类：即：即：命题逻辑演算命题逻辑演算、一阶谓词逻辑演算一阶谓词逻辑演算和和二阶谓词演算二阶谓词演算。命题逻辑4.4.命题与谓词逻辑的关系命题与谓词逻辑的关系 2023/1/3012/117命命题题逻逻辑辑表表示示比比较较简简单单，只只能能表表达达具体固定的情况，具体固定的情况，命命命命题题题题是是谓谓词词逻逻辑辑特特殊殊事事例例的的生生动动描描述，述，谓谓词词逻逻辑辑可可以以灵灵活活表表现现多多种种或或变变化化的的情况；情况

14、；谓词谓词谓词谓词表达是命题逻辑的抽象与推广表达是命题逻辑的抽象与推广。总总的的看看来来，命命题题和和谓谓词词的的知知识识表表示示形形式式可可以以相相互互转转换换，而而谓谓词词比比命命题题有有更更强强的的表表达达能力。能力。显显而而易易见见，谓谓词词是是一一种种描描述述个个体体群群之之间间的的相相互互关关系系、性性质质及及其其逻逻辑辑结构的数学表示。人们把采用这种表示的运算，又称为谓词逻辑。结构的数学表示。人们把采用这种表示的运算，又称为谓词逻辑。比比较较起起来来：命命题题逻逻辑辑演演算算太太简简单单，只只能能解解决决具具体体容容易易的的问问题题；二二阶阶谓谓词词演演算算又又太太复复杂杂，以至

15、迄今为止，尚未找到最根本有效的算法。以至迄今为止，尚未找到最根本有效的算法。因此，在人工智能中，目前使用最多的还是一阶谓词逻辑演算。因此，在人工智能中，目前使用最多的还是一阶谓词逻辑演算。一阶逻辑 命题或谓词逻辑推理演算，主要可利用连接词和量命题或谓词逻辑推理演算，主要可利用连接词和量词，把单个的谓词组合成为谓词公式来完成。词，把单个的谓词组合成为谓词公式来完成。基于命题和谓词逻辑可相互转换的特性，这里约定：基于命题和谓词逻辑可相互转换的特性，这里约定：对命题和谓词逻辑的相关公式表达、相关定理、定对命题和谓词逻辑的相关公式表达、相关定理、定律的论证和推导等，不再加以严格区别。律的论证和推导等，

16、不再加以严格区别。2023/1/3013/117一阶逻辑1.1.连接词连接词连接词连接词 (Connectives)(Connectives)连接词共有五个：连接词共有五个：符符号号“”称称为为“否否定定”(Negation)或或补补，表表示示“非非”的的连连接接关关系系。即即当当命命题题P为为真真时时，则则P 为为假假；反之，当命题反之，当命题P为假，则为假，则P 为真。为真。符符号号“”“”称称为为“合合取取”(Conjunction)，表表示示“与与”(AND)或或“同同时时”的的关关系系。例例如如，P Q，读读作作“P与与Q”。符符号号“”“”称称为为“析析取取”(Disjunctio

17、n)，它它表表示示“或或”(OR)的连接关系。例如，的连接关系。例如，P Q，读作，读作“P或或Q”。2023/1/3014/117一阶逻辑 符号符号“”称为称为“条件条件”(Conditional)(Conditional)或或者者“蕴涵蕴涵”(Implication)(Implication)，它表示，它表示“如果如果，则则”的定义关系。例如，在的定义关系。例如，在PQPQ的表达式的表达式中，表示了中，表示了“如果如果P P，则，则Q Q”的条件推导关系。的条件推导关系。这里，又称这里，又称P P为前件，表示条件的前提，称为前件，表示条件的前提，称Q Q为为后件，表示逻辑结论。后件，表示逻

18、辑结论。条件表达式有一个重要特性：条件表达式有一个重要特性：当当前前件件P=FP=F时时，无无论论后后件件Q Q为为何何值值(T(T或或者者F)F)，条件式条件式PQPQ真值总是为真值总是为T T；当当前前件件P=TP=T时时，条条件件式式PQPQ的的真真值值总总是是与与后后件件Q Q真值相同。真值相同。符符号号“”称称为为“双双条条件件”(Biconditional)(Biconditional)或或者者等等价价(Equivalence)(Equivalence)连连接接关关系系。例例如如，表表达达式式P PQ Q，读读作作“P P当当且且仅仅当当Q Q”。或或者者说说它它表表示示的的含义为

19、：含义为：P P为真，当且仅当为真，当且仅当Q Q为真。为真。2023/1/3015/117一阶逻辑2023/1/3016/117 P QP Q P P PQPQ PQPQ PQPQ P PQ Q F F T F F F T T T F TF T T T T F F T T F F T FT F F T F F F F T T F F T T T T表表3.1 3.1 连接词定义真值表连接词定义真值表 一阶逻辑 2.量词量词 (Quantifiers)量词，表示了个体与个体域之间的包含关系。量词，表示了个体与个体域之间的包含关系。全全全全称称称称量量量量词词词词(Universal(Unive

20、rsal Quantifier)Quantifier)：用用字字符符“x”表表达达，表表示示了了该该量量词词作作用用的的辖辖域域为为个个体体域域中中“所所有有的的个体个体x”或或“每一个体每一个体x都都”要遵从所约定的谓词关系。要遵从所约定的谓词关系。例例3.4 (x)(现现代代理理工工科科大大学学生生(x)学学习习计计算算机机应应用用基础基础(x)；解解：该该谓谓词词逻逻辑辑表表达达的的含含义义是是：“所所有有现现代代理理工工科科的的大学生大学生x，都必须学习计算机应用基础课程，都必须学习计算机应用基础课程”。2023/1/3017/117一阶逻辑 2.量词量词 (Quantifiers)存

21、存存存在在在在量量量量词词词词(Existential(Existential Quantifier)Quantifier)：用用字字符符“彐彐x”表表达达，表表示示了了该该量量词词要要求求“存存在在于于个个体体域域中中的的某某些些个个体体x”或或“某个个体某个个体x”，要服从所约定的谓词关系。，要服从所约定的谓词关系。例例3.5 (x)(彐彐y)(CLASSMATE(x,y)COLLEGE OF COMPUTER(x)；解解解解：该该谓谓词词逻逻辑辑表表达达的的意意思思是是：在在所所有有的的计计算算机机学学院院学学生生中中，相相对对于于每每一一位位同同学学x，必必然然存存在在一一个个个个体体

22、y，y同学与同学与x满足同班同学的关系。满足同班同学的关系。2023/1/3018/117一阶逻辑 3.3.命题公式及其描述举例：命题公式及其描述举例：小小张张既既聪聪明明，又又勤勤奋奋，所所以以他他的的学学习习成成绩一直很好。绩一直很好。P P：小张聪明：小张聪明Q Q：小张勤奋：小张勤奋R R：小张学习成绩一直很好小张学习成绩一直很好 小小王王总总是是在在图图书书馆馆看看书书，除除非非他他病病了了或或图书馆不开门。图书馆不开门。P P：小王病了：小王病了Q Q：图书馆开门：图书馆开门R R：小王在图书馆看书小王在图书馆看书2023/1/3019/117得到：得到：得到：得到：（P P P

23、P Q Q）R R R R得到：得到：得到：得到：（P P P P Q Q）R R R R一阶逻辑 若张先生是小张的父亲，则小张是王太太的儿子。若张先生是小张的父亲，则小张是王太太的儿子。解解解解：先先设设定定谓谓词词，再再设设定定变变变变元元元元，并并并并将将将将变变变变元元元元代代代代之之之之以以以以常常常常量量量量，用用用用连连接接词词运运算算符符连连接接并加以描述：并加以描述：设定谓词：设定谓词：FATHER FATHER(x,y)(x,y)：x x是是y y的父亲的父亲 SON SON(y,w)(y,w)：y y是是w w的儿子的儿子 常量：常量：常量：常量：z z 表示表示张先生；

24、张先生；mz mz 表示表示小张；小张；wttwtt王太太王太太 则可描述为：则可描述为：FATHER FATHER(z,mz)(z,mz)SON SON(mz,wtt)(mz,wtt)（2 2）若）若x x是小张的父亲，且是小张的父亲，且y y是小张的兄弟，则是小张的兄弟，则x x也是也是y y的父亲。的父亲。解解解解：设定谓词：设定谓词：FATHER FATHER(x,y)(x,y)：x x是是y y的父亲的父亲 BROTHER BROTHER(y,w)(y,w)：y y是是w w的兄弟的兄弟 常量：常量：常量：常量：mz mz 表示表示小张小张则可描述为：则可描述为：FATHER FAT

25、HER(x,mz)(x,mz)BROTHER BROTHER(y,mz)(y,mz)FATHER FATHER(x,y)(x,y)2023/1/3020/1174.4.谓词公式及其描述举例：谓词公式及其描述举例：一阶逻辑（3 3 3 3）*在在那那遥遥远远的的地地方方，有有位位好好姑姑娘娘，人人们们走走过过她她的的身身旁，都要回头留恋地张望。旁，都要回头留恋地张望。解解解解：(彐彐彐彐x)x)x)x)好姑娘好姑娘好姑娘好姑娘(x)(x)(x)(x)居住的地方居住的地方居住的地方居住的地方(z(z(z(z，x)x)x)x)遥遥遥遥远远远远的的的的(z)(z)(z)(z)(y)y)y)y)人人人人

26、(y)(y)(y)(y)行行行行走走走走经经经经过过过过(y,(y,(y,(y,z)z)z)z)回回回回头头头头留留留留恋恋恋恋地张望地张望地张望地张望(y)(y)(y)(y)2023/1/3021/117一阶逻辑5.5.5.5.谓词公式概念谓词公式概念谓词公式概念谓词公式概念 使使用用连连接接词词和和量量词词，把把若若干干谓谓词词连连接接组组合合在在一一起起，就就得得到到了了谓谓词词逻逻辑辑公公式式(PLF(PLF：Predicate Predicate Logic Formula)Logic Formula)的表达。的表达。定定义义3.53.5 仅仅能能表表达达单单一一意意义义且且不不可可

27、再再细细划划分分的的简简单命题称为单命题称为原子命题原子命题。例例如如，一一阶阶零零元元(目目)命命题题、一一阶阶一一元元命命题题、一一阶阶二元命题等都是原子命题。二元命题等都是原子命题。定定义义3.63.6 用用连连接接词词或或者者量量词词把把若若干干原原子子命命题题联联结结组组 合合 在在 一一 起起，就就 得得 到到 了了 命命 题题 公公 式式(PF(PF：Proposition Formula)Proposition Formula)，又称之为命题，又称之为命题合式公式合式公式。定义定义3.73.7 采用参量变元来替代命题合式公式中的采用参量变元来替代命题合式公式中的常量，就得到了常

28、量，就得到了原子谓词公式原子谓词公式，又称之为，又称之为谓词谓词合式公式合式公式（PWFFPWFF：Predicate Well-Formed Predicate Well-Formed FormulaFormula），简称），简称合式公式合式公式或或WFFWFF。2023/1/3022/117一阶逻辑谓词合式公式及其生成规则的定理。谓词合式公式及其生成规则的定理。定定 理理 3.13.1 谓谓 词词 合合 式式 公公 式式 可可 依依 照照 下下 述述 递递 归归(Recursion)(Recursion)过程得到：过程得到：原子公式是谓词合式公式；原子公式是谓词合式公式；若若A A是是谓谓

29、词词合合式式公公式式，x x是是A A中中的的任任一一个个变变元元，则，则 A,(A,(x)Ax)A和和(彐彐x)Ax)A也都是合式公式；也都是合式公式；若若A A、B B都都是是谓谓词词合合式式公公式式，则则 A,A,B,B,AB,AB,AB,AAB,AB,AB,AB B也都是合式公式；也都是合式公式；若若有有限限次次使使用用上上述述各各步步生生成成的的公公式式，仍仍是是合式公式。合式公式。2023/1/3023/117一阶逻辑 注注意意：为为了了使使合合式式公公式式WFFWFF在在连连接接和和运运算算中中表表达简洁一致，对达简洁一致，对WFFWFF还有如下规定：还有如下规定：WFFWFF最

30、外层括号可以省略；最外层括号可以省略；括括号号内内连连接接符符运运算算优优先先，连连接接符符运运算算优优先先次序为次序为 ；同级连接符的运算按照排列顺序进行。同级连接符的运算按照排列顺序进行。2023/1/3024/117一阶逻辑 6.6.谓词公式的解释谓词公式的解释 首首首首先先先先以以以以个个个个体体体体域域域域中中中中任任任任意意意意常常常常量量量量来来来来替替替替换换换换谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式中中中中的的的的变变变变元元元元，使使使使谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式转转转转换换换换为为为为一一一一组组组组确确确确定定定定的的的的命命命命题题题题公公公公式式式式；随随随随后后后

31、后赋赋赋赋予予予予各各各各命命命命题题题题逻逻逻逻辑辑辑辑以以以以真真真真值值值值，就就就就得得得得到到到到了了了了对对对对应应应应于于于于该该该该谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式的的的的某某某某个个个个含含含含义义义义的解释。的解释。的解释。的解释。由由由由于于于于存存存存在在在在多多多多种种种种组组组组合合合合情情情情况况况况，则则则则一一一一个个个个谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式可可可可有有有有许许许许多多多多个解释。个解释。个解释。个解释。2023/1/3025/117一阶逻辑 下面是关于谓词公式解释的定义。下面是关于谓词公式解释的定义。定定义义3.83.8 设设D D为为谓谓词词合

32、合式式公公式式PWFFPWFF的的个个体体域域，按照如下规定对按照如下规定对PWFFPWFF中的各参量赋值：中的各参量赋值：为每个个体常量指派为每个个体常量指派D D中的一个元素；中的一个元素；为为每每个个n n元元函函数数指指派派一一个个从从D D n n到到D D的的映映像像，其中其中 D D n n=(x=(x1 1,x,x2 2,x,xn n)/x)/x1 1,x,xn nDD 为为每每个个n n元元谓谓词词指指派派一一个个从从D D n n到到真真值值F,TF,T的映像。的映像。则则称称这这些些指指派派为为公公式式P P在在D D上上的的一一个个解解释释。若若某某个个解解释释I I使

33、使PWFFPWFF为为真真(T)(T)，则则称称I I是是该该公公式式的的一一个个正正模模型型，简简称称模模型型；反反之之，若若某某个个解解释释I I，使使PWFFPWFF为假为假(F)(F)，则称则称I I是该公式的一个是该公式的一个反模型反模型。2023/1/3026/117一阶逻辑7.7.谓词公式的永真性判定谓词公式的永真性判定 人人们们若若把把想想要要完完成成的的智智能能任任务务表表示示为为一一个个谓谓词词公公式式，从从而而把把把把问问问问题题题题的的的的求求求求解解解解转转转转化化化化为为为为求求求求解解解解该该该该公公公公式式式式的的的的真真真真值值值值问问问问题：题：题：题：如如

34、如如果果果果某某某某公公公公式式式式的的的的真真真真值值值值总总总总为为为为T T T T，则则则则称称称称它它它它是是是是永永永永真真真真的的的的；否则，就称其为非永真或为假。否则，就称其为非永真或为假。否则，就称其为非永真或为假。否则，就称其为非永真或为假。2023/1/3027/117一阶逻辑例例3.6：（1）若）若 OCITY(x)OCITY(x)表示其含意为：表示其含意为：x x是一座历史名城是一座历史名城。其中，其中，其中，其中，x x 西安，洛阳，深圳，刘平，雪花，华盛顿，墨水，开封，西安，洛阳，深圳，刘平，雪花，华盛顿，墨水，开封，西安，洛阳，深圳，刘平，雪花，华盛顿，墨水，开

35、封，西安，洛阳，深圳，刘平，雪花，华盛顿，墨水，开封，那那那那么么么么，x x 的的的的哪哪哪哪些些些些取取取取值值值值的的的的真真真真值值值值为为为为T T？哪哪哪哪些些些些取取取取值值值值的的的的真真真真值值值值又又又又为为为为F F？它它它它的的的的哪哪哪哪些些些些解解解解释释释释是一个正模型？而哪些解释又是反模型？是一个正模型？而哪些解释又是反模型？是一个正模型？而哪些解释又是反模型？是一个正模型？而哪些解释又是反模型？（2）若）若 WHITE(w)WHITE(w)表示其含意为：表示其含意为：ww是白的。是白的。其中，其中，其中，其中，ww 煤球，雪花，大海，刘平，面粉，墨水，玫瑰花，

36、煤球，雪花，大海，刘平，面粉，墨水，玫瑰花，煤球，雪花，大海，刘平，面粉，墨水，玫瑰花，煤球，雪花，大海，刘平，面粉，墨水，玫瑰花，那那那那么么么么，w w 的的的的哪哪哪哪些些些些取取取取值值值值其其其其真真真真值值值值为为为为T T？哪哪哪哪些些些些取取取取值值值值的的的的真真真真值值值值又又又又为为为为F F？它它它它的的的的哪哪哪哪些些些些解解解解释释释释为正模型？而哪些解释又属于反模型？为正模型？而哪些解释又属于反模型？为正模型？而哪些解释又属于反模型？为正模型？而哪些解释又属于反模型？（3 3）若有公式）若有公式）若有公式）若有公式 OCITY(x)OCITY(x)WHITE(w)

37、WHITE(w)，其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？（4）若有公式若有公式若有公式若有公式 OCITY(x)OCITY(x)WHITE(w)WHITE(w)，其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？其取值和解释又如何呢？2023/1/3028/117一阶逻辑谓词公式是否为谓词公式是否为谓词公式是否为谓词公式是否为永真的永真的永真的永真的定义：定义：定义：定义：定定定定义义义义3.93.93.93.9 如如如如果果果果谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式P P P P对对对对个个个个体体体体域域域域D DD D上上上上的

38、的的的任任任任何何何何一一一一个个个个解解解解释释释释都都都都取取取取得得得得真真真真值值值值T T T T，则则则则称称称称P P P P在在在在D DD D上上上上是是是是永永永永真真真真的的的的；如如如如果果果果P P P P在在在在每每每每个个个个非空个体域上都是永真的，则称非空个体域上都是永真的，则称非空个体域上都是永真的，则称非空个体域上都是永真的，则称P P P P永真。永真。永真。永真。定定定定义义义义3.103.103.103.10 对对对对于于于于谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式P P P P，若若若若至至至至少少少少存存存存在在在在一一一一个个个个解解解解释释释释，使使使

39、使得得得得谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式P P P P在在在在此此此此解解解解释释释释下下下下的的的的真真真真值值值值为为为为T T T T，则则则则称称称称公公公公式式式式P P P P是是是是兼兼兼兼容容容容的的的的或或或或可可可可满满满满足足足足的的的的；反反反反之之之之，如如如如果果果果存存存存在在在在一一一一个个个个解解解解释释释释集集集集(Set)(Set)(Set)(Set)，使使使使得得得得谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式P P P P在在在在其其其其中中中中的的的的任任任任何何何何解解解解释释释释下下下下的的的的真真真真值值值值都都都都为为为为F F F F，则则则则称称称

40、称公公公公式式式式P P P P对该解释集是对该解释集是对该解释集是对该解释集是不兼容的不兼容的不兼容的不兼容的或或或或不可满足的不可满足的不可满足的不可满足的。2023/1/3029/117一阶逻辑判断谓词公式是否为判断谓词公式是否为永真的永真的定理：定理：定定定定理理理理3.23.23.23.2 如如果果谓谓词词合合式式公公式式WFFWFF对对于于个个体体域域中中的的任何一个解释任何一个解释I I都有都有 (I)WFFI)WFF（I I）=T=T成立，则该公式成立，则该公式WFFWFF是一个是一个永真公式永真公式。类类同同上上述述，可可否否引引入入关关于于“永永假假的的”、“非非永永真真的

41、的”、“非非永永假假的的”概概念念与与定定义义，并并得得出出关关于谓词公式永真性问题的若干定理呢？于谓词公式永真性问题的若干定理呢？永永永永假假假假公公公公式式式式定定定定理理理理3.33.33.33.3 如如果果谓谓词词合合式式公公式式WFFWFF对对于个体域中的任何一个解释于个体域中的任何一个解释I I都有都有 (I)WFFI)WFF（I I）=F=F成立，则该公式成立，则该公式WFFWFF是一个是一个永假公式永假公式。2023/1/3030/117一阶逻辑 非永真公式非永真公式非永真公式非永真公式定理定理定理定理3.43.43.43.4 如果谓词合式公式如果谓词合式公式如果谓词合式公式如

42、果谓词合式公式WFFWFFWFFWFF在个体域中存在解释在个体域中存在解释在个体域中存在解释在个体域中存在解释I I I I，使得，使得，使得，使得 (彐彐彐彐I)WFFI)WFFI)WFFI)WFF（I I I I）=F=F=F=F 成成成成立立立立，则则则则该该该该公公公公式式式式WFFWFFWFFWFF是是是是一一一一个个个个非非非非永永永永真真真真公公公公式式式式；并并并并且且且且该该该该解解解解释释释释I I I I是是是是此此此此公式的一个公式的一个公式的一个公式的一个反模型反模型反模型反模型。非永假公式非永假公式非永假公式非永假公式定理定理定理定理3.53.53.53.5 如果谓

43、词合式公式如果谓词合式公式如果谓词合式公式如果谓词合式公式WFFWFFWFFWFF在个体域中存在解释在个体域中存在解释在个体域中存在解释在个体域中存在解释I I I I，使得，使得，使得，使得 (彐彐彐彐I)WFFI)WFFI)WFFI)WFF（I I I I）=T=T=T=T成成成成立立立立，则则则则该该该该公公公公式式式式WFFWFFWFFWFF是是是是一一一一个个个个非非非非永永永永假假假假公公公公式式式式；并并并并且且且且该该该该解解解解释释释释I I I I是是是是此此此此公式的一个公式的一个公式的一个公式的一个模型模型模型模型。由由由由定定定定义义义义3.103.103.103.1

44、0可可可可知知知知，非非非非永永永永假假假假公公公公式式式式可可可可叫叫叫叫做做做做是是是是兼兼兼兼容容容容的的的的或或或或可可可可满满满满足足足足的的的的，而而而而永假公式又称为不可满足的或不兼容的永假公式又称为不可满足的或不兼容的永假公式又称为不可满足的或不兼容的永假公式又称为不可满足的或不兼容的。2023/1/3031/117一阶逻辑 常常用用的的谓谓词词逻逻辑辑演演算算律律主主要要有有两两大大类类：一一类类是是逻逻辑辑等等价价律律，另另一一类类是是逻逻辑辑蕴蕴涵涵律律。下下面面分分别别加以介绍。加以介绍。8.8.谓词逻辑等价律谓词逻辑等价律谓词逻辑等价律谓词逻辑等价律 定定义义3.11

45、 设设P与与Q是是两两个个谓谓词词公公式式，D是是它它们们共共同同的的个个体体域域，若若P与与Q对对于于D上上的的任任何何一一个个解解释释都都有有相相同同的的真真值值，则则称称公公式式P和和Q在在D上上是是逻逻辑辑等等价价的，记为的，记为 P Q；如如果果D是是任任意意个个体体域域，则则称称公公式式P和和Q是是逻逻辑辑等等价价的，记作的，记作 PQ。2023/1/3032/117D谓词逻辑等价律(一)E1 E1 P P P P 双重否定律双重否定律E E2 2 P PP P P P 吸吸收收律律（又又称等幂律）称等幂律）E E3 3 P PP P P P E E4 4 P PQ QQ QP P

46、 交换律交换律 E E5 5 P PQ QQ QP PE E6 6 (P(PQ)Q)R PR P(Q(QR)R)结合律结合律 E E7 7 (P(PQ)Q)R PR P(Q(QR)R)E E8 8 P P(Q(QR)(PR)(PQ)Q)(P(PR)R)分配律分配律 E E9 9 P P(Q(QR)(PR)(PQ)Q)(P(PR)R)2023/1/3033/117一阶逻辑一阶逻辑谓词逻辑等价律(二)E E10 10 P(PQ)P P(PQ)P 吸收律吸收律E E11 11 P(PQ)P P(PQ)PE E12 12 (PQ)(PQ)PP Q Q 德德摩摩根根定定律律E E13 13 (PQ)(P

47、Q)P P Q QE E14 14 PQ PQ PQPQ 蕴蕴涵涵化化归律归律E E15 15 P PQ (PQ)(QP)Q (PQ)(QP)等价律等价律 E E16 16 PT PT P P 谓谓词词与与真真值演算律值演算律E E17 17 PF F PF FE E18 18 PT T PT TE E19 19 PF P PF P 2023/1/3034/117一阶逻辑一阶逻辑谓词逻辑等价律(三)E E20 20 P P P F P F 补余律补余律E E21 21 P P P TP TE E22 22 P(QR)PQR P(QR)PQR 输出律输出律E E23 23 (PQ)(P (PQ)

48、(P Q)Q)P P 归谬律归谬律E E24 24 PQ PQ QQ P P 逆反律逆反律E E25 25 (x)A A x)A A （A A中不含中不含x x）E E26 26 (x)A Ax)A AE E27 27 (x)(P(x)Q(x)x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)x)P(x)(x)Q(x)量词分配律量词分配律E E28 28 (x)(P(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)P(x)(x)Q(x)x)Q(x)E E29 29 (x)P(x)x)P(x)(x)x)P(x)P(x)量量词词转转换换律律E E30 30 (x)P(x)(x)P(x)(x

49、)x)P(x)P(x)2023/1/3035/117一阶逻辑一阶逻辑谓词逻辑等价律(四)E E31 31(x)P(x)A x)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)量词辖域扩张、收缩律量词辖域扩张、收缩律E E32 32 (x)P(x)Ax)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)（A A中不含中不含x x）E E33 33 (x)P(x)A x)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)（A A中不含中不含x x）E E3434 (x)P(x)A x)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)（A A中不含中不含x x）E E3535 (x)(x)(y)

50、P(x,y)y)P(x,y)(y)(y)(x)P(x,y)x)P(x,y)量词交换律量词交换律E E3636 (x)(x)(y)P(x,y)y)P(x,y)(y)(y)(x)P(x,y)x)P(x,y)E E3737 (x)P(x)Ax)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)量词转换及扩张、收缩律量词转换及扩张、收缩律E E3838 (x)P(x)A x)P(x)A (x)(P(x)A)x)(P(x)A)（A A中不含中不含x x）E E39 39 A(A(x)P(x)x)P(x)(x)(AP(x)x)(AP(x)E E40 40 A(A(x)P(x)x)P(x)(x)(AP(x)