第四章随机变量及其分布课件.ppt

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1、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内容。这是因为对于一个随机试验,我们关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量。也可以说随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,如数学分析中的常量与变量的区分那样,变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样,概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念就是随机变量。第四章第四章 随机变量及其分布随机变量及其分布2023/2/21皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统

2、统统计计计计一、一、随机变量的概念随机变量的概念 1、含义:用来表示随机现象结果的变量。样本点本身是用数量表示的；样本点本身不是用数量表示的。总之,不管随机试验的结果是否具有数量的性质,都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系,使之与数值发生联系,即用随机变量的取值来表示事件。2、定义:定义在样本空间上的实值函数XX()称为随机变量(random variable,简记r.v.)H HT T第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数2023/2/22皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 常用大写英文字母或小写希腊字母来表示,相应地

3、,用小写英文字母表示其取值。随机变量的特点:（1）其全部可能取值是互斥且完备的。（2）其部分可能取值描述随机事件。2023/2/23皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计注:随机变量是样本点的函数,其函数值是实数,但自变量(样本点)不一定是实数。与微积分中的变量不同,随机变量还存在取值的概率问题(分布)。随机变量的实例解:样本空间如下所示2023/2/24皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计共有10个的样本点,记X表示“空格个数”,则有2023/2/25皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论

4、论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/2/26皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计关于随机变量的补充说明（1）引入随机变量之后,可以更方便地表示事件；（2）随机变量的确定不仅与样本空间有关,也与试验的研究目的有关；（3）随机变量满足函数的单值对应关系；（4）随机变量不仅有取值的不同,取到这些值的概率也不同。问例1中的三个事件的概率怎样计算,分别是多少？考虑与这些随机变量取值所对应的样本点。2023/2/27皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计记X表示“空格个数”,则有2023/2/

5、28皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例2从一批总量为N,次品率为p的产品中,不放回地抽取n(nNp)个,观察抽取产品中的次品数,并引入适当的随机变量来表示。分析:记X为抽取的产品中的次品数,则X是一个随机变量,其可能取值为0,1,2,n,并且X的每一取值范围都与某一具体事件相对应。例如：例如：2023/2/29皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计随机变量的分类：其他（混合型）连续型随机变量离散型随机变量随机变量2023/2/210皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数

6、理理理理统统统统计计计计二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 为了方便地表示随机事件的概率及其运算为了方便地表示随机事件的概率及其运算,我们我们引入了分布函数的概念。引入了分布函数的概念。注注:(1)分布函数表示的是随机事件的概率；分布函数表示的是随机事件的概率；(2)分布函数与微积分中的函数没有区别；分布函数与微积分中的函数没有区别；2023/2/211皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计分布函数的性质分布函数的性质 注注:以上三条是分布函数的基本性质以上三条是分布函数的基本性质,也是分布也是分布函数的充要条件。函数的充要条件。202

7、3/2/212皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计用分布函数表示事件的概率用分布函数表示事件的概率2023/2/213皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例3 一袋中装有依次标着数字一袋中装有依次标着数字-1,2,2,2,3,3的的6个个球球,从袋中随机取出一个球从袋中随机取出一个球,记记X为取出的球上的为取出的球上的数字数字,求求X的分布函数并作图。的分布函数并作图。解解:X的所有可能取值为的所有可能取值为-1,2,3,且有且有2023/2/214皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论

8、论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计该分布函数的图形如下该分布函数的图形如下:注注:分布函数是概率的累加。分布函数是概率的累加。2023/2/215皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 一、离散型随机变量的概率分布列一、离散型随机变量的概率分布列 也可以用表格的形式表示为 X XP1、定义:设X为离散型随机变量,若X的所有可能第二节离散型随机变量第二节离散型随机变量2023/2/216皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例1 掷两颗骰子,观察其点数,记X为点数之和,Y为6点的个数,Z为最大

9、点数,求X、Y、Z的分布列。分析:样本空间？随机变量的取值范围？2023/2/217皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计X XP PY YP PZ ZP P2023/2/218皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计求分布列的一般步骤求分布列的一般步骤(1)确定样本空间；(2)确定随机变量的所有可能取值(完备的)；(3)确定随机变量的每个取值所对应的事件；(4)求出每个事件的概率；(5)列出表格或写出一般的概率表达式。求分布列中的概率时求分布列中的概率时,关键在于必须把随机变关键在于必须把随机变量的

10、取值对应到样本空间中的具体事件。量的取值对应到样本空间中的具体事件。2023/2/219皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计分布列的基本性质分布列的基本性质 非负性：正则性：这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。(由概率的公理化定义和随机变量的完备性容二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数由分布列可以写出其分布函数 易证明)2023/2/220皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计其图形是有限(或无穷)级数的阶梯函数(右连续)1 1 1 10 0 0 0在r.v.的取值点xk处

11、有跳跃,跃度为概率pk.2023/2/221皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例2 一个袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X表示取出球的最小号码,求X的分布列与分布函数。解:X的所有可能取值为1,2,3,且注注:计算概率时计算概率时,必须明确相应的具体事件是什必须明确相应的具体事件是什么。么。2023/2/222皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计X的分布列为的分布列为 X 1 2 3 P0.6 0.3 0.1X的分布函数为的分布函数为思考:如何由分布函数求分布列？202

12、3/2/223皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计解解:跳跃点就是随机变量的取值点跳跃点就是随机变量的取值点,在跳跃点的在跳跃点的跃度就是此时对应的概率跃度就是此时对应的概率,故故X的所有可能取值的所有可能取值有有:,:,且且2023/2/224皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计思考思考:X还能取到其他数值吗？还能取到其他数值吗？2023/2/225皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 例例4 一汽车沿一街道行驶一汽车沿一街道行驶,需要经过三个

13、设有红需要经过三个设有红绿信号灯的路口绿信号灯的路口,且信号灯的工作相互独立且信号灯的工作相互独立,以以X表示汽车首次遇到红灯已通过的路口数表示汽车首次遇到红灯已通过的路口数,求求X的分的分布列。布列。解解:记记Ai汽车在第汽车在第i个路口遇到红灯个路口遇到红灯,i1,2,3,1,2,3,2023/2/226皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/2/227皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计三、常用离散分布三、常用离散分布1、两点两点分布分布 随机变量只有两个可能取值的分布称为两点分布。

14、特别地,若其取值为0和1,称之为01分布。X 0 1 P 1-p p 2023/2/228皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2、二项分布二项分布 定义:在n重Bernoulli试验中,P(A)=p,若以X记事件A发生的次数,则X为一随机变量,其所有可能取值为X=0,1,2,n,其对应的概率 2023/2/229皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/2/2皖西学院 应用数学学院30解:记X抽取的5件中的次品数,则X服从参数为5和0.2的二项分布，例5 从次品率p=0.2的一批产品中,有放

15、回地抽取5次,每次取1件。分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率。2023/2/230皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计3、泊松分布、泊松分布2023/2/231皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充说明补充说明 （3）单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的电磁波的冲击次数;一平方米内玻璃上的气泡数;一铸件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。（1）二项分布和泊松分布都是非常重要的常用离散分布。（2）在n重的贝努利试验中,某个事件在n次 试验中发生的次数服从的是二项分布,其特点

16、是 只知次数,不知位置。2023/2/232皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二项概率与泊松分布的关系泊松定理泊松定理 二项概率可以用泊松分布的概率来近似,n越大,近似程度越高,该定理解决了二项概率的近似计算问题。在在n重贝努利试验中重贝努利试验中,事件事件A在每次试验中出现在每次试验中出现2023/2/233皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例6 工厂为保证设备正常工作,需要配备一些维修工,如果每台设备发生故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01,试在以下情况下,求设备发生故

17、障而不能及时修理的概率。1名维修工负责20台设备；3名维修工负责90台设备；10名维修工负责500台设备。说明:设备发生故障而不能及时修理,即是指同时发生故障的设备台数多于维修工人数。2023/2/234皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计解:设X1、X2、X3分别表示20、90、500台设备中发生故障的台数,每台设备发生故障的概率都是0.01,则协协作作提提高高效效率率2023/2/235皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计4、几何分布、几何分布 定义:在Bernoulli试验中,记p为事件A

18、在一次试验中出现的概率,X为首次出现A时独立重复的试验次数,则X的所有可能取值为1,2,称X的分布为几何分布,记为XGe(p),其分布列为特殊性质特殊性质无记忆性无记忆性2023/2/236皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 引例 新生婴儿的体重X是一个随机变量,假如记录很多个(如一万)新生婴儿的体重,可以把各种体重的频率直方图画出来.体重体重频率频率每个小矩形面积=？所有矩形总面积=？当组距 0时,频率 折线 光滑曲线第三节连续型随机变量第三节连续型随机变量2023/2/237皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理

19、理理理统统统统计计计计(2)纵坐标(小矩形的高)表示频率/小区间长度；(3)每个小矩形的面积表示频率；(4)所有小矩形的面积之和等于1；问曲线所围成的曲边梯形和矩形的关系是怎样的？曲线函数的自变量和因变量表示什么？（随机变量的取值,单位长度上的平均频率)当分割无限细的时候,可以用频率代替概率,从而引入了密度函数的概念。说明:(1)横坐标表示体重；2023/2/238皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计定义:设X是随机变量,F(x)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数p(x),使得对任意的xR,则称X为连续型随机变量,称p(x)为X的概率密度函

20、数或密度函数,简称密函数。记作注:分布函数表示在 x 处的累积概率,把其导数称为概率密度是非常合理的。一、概率密度函数及其性质一、概率密度函数及其性质2023/2/239皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计概率密度的性质：概率密度的性质：非负性：正则性：概率密度在概率计算中的应用：注:(2)式中的区间可以是开(闭或半开)）（2023/2/240皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计关于连续型随机变量的分布函数的补充说明：2023/2/241皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数

21、数数理理理理统统统统计计计计密度函数与分布函数的关系：1 1 1 1 由分布函数求密度函数比较简单,下面考虑如何由密度函数来求分布函数。2023/2/242皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计求:(1)c的值；(2)P(-1X1)；(3)X的分布函数.解:(1)利用正则性例1 设随机变量X的密函数2023/2/243皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计注意随机变量的可能取值,不能机械地套公式,简单地在积分上、下限上取.2023/2/244皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数

22、数数理理理理统统统统计计计计分布分布(随机变量随机变量)的类型及其性质的类型及其性质:2023/2/245皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、常用连续型分布二、常用连续型分布1 1、均匀分布、均匀分布2023/2/246皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计均匀分布的密度函数和分布函数的图形：均匀分布的密度函数和分布函数的图形：ab1ab均匀分布的概率计算：均匀分布的概率计算：2023/2/247皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例2 设设

23、X服从服从(0,10)上的均匀分布上的均匀分布,现对现对X进行进行4次次独立观察独立观察,求至少求至少3 3次观测值大于次观测值大于5 5的概率。的概率。分析分析:除了除了X之外之外,本题还有一个随机变量本题还有一个随机变量观测观测值大于值大于5的次数的次数,记为记为Y,二项分布，二项分布，2023/2/248皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2 2、指数分布、指数分布密度函数的图形为：密度函数的图形为：其分布函数为：其分布函数为：注:指数分布具有无记忆性.2023/2/249皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理

24、理理统统统统计计计计例3 设打一次电话所需要的时间(单位:分钟)服从参数为0.2的指数分布.如果刚好有人在你前面走进电话亭,并立即开始打电话,求你将等待:(1)超过5分钟的概率;(2)5分钟至10分钟的概率。2023/2/250皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计3 3、正态分布、正态分布密度函数图形如下密度函数关于x=对称分布函数为：2023/2/251皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计标准正态分布标准正态分布其密度函数为：分布函数图形为：0.512023/2/252皖西学院 应用数学学院概

25、概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例如人的身高、零件长度，考试成绩这种分布的特点为“中间大，两头小”.许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般可以认为服从正态分布.2023/2/253皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计正态分布概率的计算：正态分布概率的计算：2023/2/254皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/2/255皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计正态分布的标准化正态分布的标准化 问题:对于非

26、标准的正态分布,如何通过查表求相关概率？通过等价事件转化为服从标准正态分布的随机变量。2023/2/256皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/2/257皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例6某地区抽样调查显示考生的外语成绩X,且96分以上的考生占总人数的2.3,求考生成绩在60分至84分之间的概率。2023/2/258皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 课后作业：课后作业：P46P4648 48 6,7,9,12,19,24 6,7,9,12,19,24 2023/2/259皖西学院 应用数学学院