第一章概率论复习与补充课件.ppt

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1、教材 应用数理统计基础（第三版）庄楚强 何春雄 编著 华南理工大学出版社参考书 数理统计学教程 陈希孺 倪国熙 编著 中国科学技术大学出版社 主讲人：张作泉 教授 博导 （北京交通大学理学院）2/2/20231本课程ABC2/2/20232国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.-S.拉普拉斯著 1812年版2.统计学数学方法统计学数学方法H.克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论

2、的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士2/2/20233概率概率(或然率或几率或然率或几率)随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C.惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题，解决了解决了“合理合理分配赌注问题分配赌注问题”(即得分问题即

3、得分问题).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.2/2/20234发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据

4、，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策策和行动提供依据和建议的策和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率2/2/20235但是当时的统计,只是对有关事实的简单记录和整理,从历史的典籍中人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载,说明人们很早就开始了统计的工作.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展,才真正诞生了数

5、理统计学这门学科.而没有在一定理论的指导下,作出超越这些数据范围之外的推断.数理统计的特点是应用面广,分支多.社会的发展正在不断地向数理统计提出新的问题.数理统计不同于一般的资料统计,它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.2/2/20236 它们都以随机它们都以随机现象的统计规律为研究对象现象的统计规律为研究对象.数理统计与概率论是两个有密切联系的学科数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,但在研究问题的方法上有很大区别：但在研究问题的方法上有很大区别：概率论概率论 已知随机变量服从某分布已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、寻求分布的性质、数字特征、及其应用数字特征

6、、及其应用;数理统计数理统计 通过对实验数据的统计分析通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分寻找所服从的分布和数字特征布和数字特征,从而推断整体的规律性从而推断整体的规律性.数理统计的核心问题数理统计的核心问题由样本推断总体由样本推断总体 2/2/20237本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中.例如例如 1.气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2.产品的抽样验收，新研

7、制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；2/2/202386.探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7.研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4.电子系统的设计电子系统的设计,火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计;3.寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5.处理通信问题处理通信问题,需要研究需要研究信息论信息论；2/2/202

8、39水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8.生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问题要用到多变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程9.许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.2/2/202310第一章第一章 概率论复习与补充概率论复习与补充 概率空间概率空间随机变量及其分

9、布随机变量及其分布随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布随机变量的数字特征随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理特征函数特征函数2/2/2023111.1 概率空间概率空间一、样本空间与事件域一、样本空间与事件域基本事件基本事件 ：设设 是一个随机试验是一个随机试验 的每一个不能再分或无需再分的可的每一个不能再分或无需再分的可能结果能结果样本空间样本空间 ：全体基本事件所组成的集合全体基本事件所组成的集合E2/2/202312定义定义1：设设 是样本空间，是样本空间，是由是由 的一些子集为的一些子集为元素所组成的集合，如果满足下列条件元素所组成的集合，如果满足下列

10、条件(1)(2)(3)则称则称 为事件域，为事件域，中的元素称为事件，中的元素称为事件，称为称为必然事件必然事件WWW2/2/202313二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质定义定义2：设设 是随机试验的基本空间，是随机试验的基本空间，为随机事件，为随机事件，为定义在事件域为定义在事件域 上的实函数，若上的实函数，若满足满足（1）有界有界性：性：（2）正则性或规范性正则性或规范性：（3）可列可加性可列可加性：对可列多个事件对可列多个事件 ,如如果果 ，则，则有有则称函数则称函数 为事件为事件 的概率的概率。2/2/20231401概率空间：概率空间：概率的性质：概率的性质：有限可加性有限可

11、加性2/2/202315加法公式的推广2/2/202316三、条件概率与事件的独立性三、条件概率与事件的独立性1.条件概率条件概率定义定义3：设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且则则称为在事件称为在事件A已发生的条件下事件已发生的条件下事件B发生的条发生的条件概率，简称为件概率，简称为B在在A之下的之下的条件概率条件概率。2/2/202317三个重要的公式三个重要的公式两个事件的乘法公式两个事件的乘法公式（一）（一）乘法公式乘法公式多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式则有则有2/2/202318（二）（二）全概率公式全概率公式设随机事件设随机事件满足：满足：2/2

12、/202319（三）（三）Bayes公式公式设随机事件设随机事件满足则则返回主目录2/2/2023202.事件的独立性事件的独立性1.两事件独立的定义两事件独立的定义设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果 则称则称 A 与与 B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件返回主目录2/2/2023212.n2.n个事件的相互独立性个事件的相互独立性返回主目录2/2/202322独立随机事件的性质：独立随机事件的性质：2/2/2023232/2/2023241.2 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布一、一维随机变量的分布一、一维随机变量的分布定义定义1 1：设设 是一个概率空

13、间，而是一个概率空间，而 是定义在基本空间是定义在基本空间 上的单值实函数，若对上的单值实函数，若对任一实数任一实数 ,基本事件基本事件 的集合的集合 都是一随机事件都是一随机事件,即即 ，则称，则称 为一个随机变量。为一个随机变量。2/2/2023251.分布函数及其性质：分布函数及其性质：定义定义2：设设 是一个随机变量，是一个随机变量，是任意实数，是任意实数，称为称为 的的分布函数分布函数返回主目录函数函数 分分 布布 函函 数数 的的 性性 质质1.是一个不减的函数是一个不减的函数,2.2/2/2023263.这三条性质不但是分布函数的必要条件这三条性质不但是分布函数的必要条件,还可以

14、证明，还可以证明，它们一起构成函数它们一起构成函数 成为某一随机变量的分布函数成为某一随机变量的分布函数的充要条件的充要条件。2.离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多个个,则称该随机变量为离散型随机变量则称该随机变量为离散型随机变量,它的概率分布它的概率分布规律通常用分布列表示规律通常用分布列表示.设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 并且并且 2/2/202327分布列的性质为分布列的性质为:分布函数为分布函数为2/2/2023283.3.连续型随机变量的概念与

15、性质连续型随机变量的概念与性质如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数 ，存在，存在非负实函数非负实函数 ，使得对于任意，使得对于任意 实数实数 ，有有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称密度函数密度函数.连续型随机变量连续型随机变量 X X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定定义定义3:2/2/202329密度函数的性质密度函数的性质:2/2/2023304.4.一些常用的概率分布一些常用的概率分布离散型离散型2/2/2023312/2/202332连续型连续型:2/2/2023332/2/

16、202334二、多维随机变量及其分布二、多维随机变量及其分布1.n维随机变量及其分布维随机变量及其分布 设设 都是定义在同一概率空间都是定义在同一概率空间 上的上的n个随机变量个随机变量,把把 看成一个整体看成一个整体,称为一个称为一个n维随机变量维随机变量(随机向量随机向量),记为记为定义定义4:设设 是是n维随机变量维随机变量,是是任意任意n个实数个实数,则则n元函数元函数 称为称为 的的n维联合分布函数维联合分布函数.2/2/202335定义定义5:若若 的的n维联合分布函数可以表示为维联合分布函数可以表示为其中其中 是非负可积函数是非负可积函数,则称则称 为为n维连续型随机变量维连续型

17、随机变量,称为称为n维联合维联合概率密度函数概率密度函数.2.二维分布函数及其性质二维分布函数及其性质定义定义6:2/2/202336性质性质:单调性单调性：F(xF(x,y),y)是变量是变量x,yx,y的不减函数，即的不减函数，即 当当 x x1 1 x x2 2时，时，当当 y y1 1 y y2 2时，时，（1）（2）对于任意固定的对于任意固定的 Y Y,对于任意固定的对于任意固定的 X X,且且有界性：有界性：2/2/202337（3）右连续性：右连续性：对每个变量都是右连续的，即对每个变量都是右连续的，即（4）非负性：非负性：这四个条件一起构成二元函数这四个条件一起构成二元函数 为

18、二维随机变为二维随机变量的分布函数的充分必要条件。量的分布函数的充分必要条件。2/2/2023383.二维概率函数及其性质二维概率函数及其性质2/2/202339性质性质:定义定义7:对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数 如果存在非负实函数如果存在非负实函数 使得对于任使得对于任意的实数意的实数 有：有：则称则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，是连续型的二维随机变量，函数函数 称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的的概率密度，或称为概率密度，或称为 X 和和 Y 的联合概率密度。的联合概率密度。2/2/202340 40 设设 G 是平面上的一个区域，点是平面

19、上的一个区域，点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：返回主目录性质性质:2/2/2023414.边缘分布边缘分布若若 是二维随机变量是二维随机变量 的分布函数，的分布函数，分别称为分别称为 关于关于 的的边缘分布函数边缘分布函数。（1）离散型）离散型设设 为二维离散型随机变量，联合分布律为为二维离散型随机变量，联合分布律为则则2/2/202342分别称为二维离散型随机变量分别称为二维离散型随机变量 关于关于 的边的边缘分布律。缘分布律。（2）连续型）连续型设设 为二维连续型随机变量，联合密度函数为为二维连续型随机变量，联合密度函数为则则分别称为二维连续型随机变量分别称为二维连续型

20、随机变量 关于关于 的的边缘分布律。边缘分布律。注：联合分布唯一的确定边缘分布，但边缘分布一般注：联合分布唯一的确定边缘分布，但边缘分布一般 不能确定联合分布。不能确定联合分布。2/2/2023435.随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义8：设设 是二维随机变量，若对任意实数是二维随机变量，若对任意实数 有有则称随机变量则称随机变量 相互独立相互独立，简称，简称独立独立。若若 是二维离散型随机变量，则是二维离散型随机变量，则 相互独相互独立的充分必要条件为立的充分必要条件为若若 是二维连续型随机变量，则是二维连续型随机变量，则 相互独相互独立的充分必要条件为立的充分必要条件为2/2/202

21、344定义定义9：设设 是是n维随机变量，若对任意实数维随机变量，若对任意实数 有有则称随机变量则称随机变量 相互独立相互独立对于定义在同一概率空间上的随机变量序列对于定义在同一概率空间上的随机变量序列如果其中任何有限个随机变量都是独立的，则称如果其中任何有限个随机变量都是独立的，则称这个随机变量序列独立。这个随机变量序列独立。注：注：若若 独立，则其中任意独立，则其中任意m个随机变量个随机变量也独立。也独立。2/2/2023456.条件分布条件分布定义10：设设 是二维离散型随机变量，对固定是二维离散型随机变量，对固定 ，若，若 ，则称，则称 为在条件为在条件 下下 的条件分布律，称的条件分

22、布律，称为在条件为在条件 下下 的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为定义定义11：设设 是二维连续型随机变量，其联合概是二维连续型随机变量，其联合概 率密度率密度 ，且，且 则称则称为在条件为在条件 下下 的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为2/2/202346称称为在条件为在条件 下下 的条件密度函数。的条件密度函数。2/2/2023471.3 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、一维随机变量的函数及其分布一、一维随机变量的函数及其分布1.离散型离散型分布律为分布律为是离散型随机变量，其是离散型随机变量，其设设X()量，它的取值为量，它的取值为也是离散型随机变也是离散型随

23、机变，则，则的函数：的函数：是是YXgYXY=2/2/2023482/2/2023492.连续型连续型(1)则则 Y=g(X)是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为2/2/202350其中 h(y)是 g(x)的反函数，即 (2)若若 是分段严格单调、可导函数，即存在有是分段严格单调、可导函数，即存在有限个或可列个区间限个或可列个区间使得在使得在 上上 单调增或减，单调增或减，且将此且将此区间内函数区间内函数 的反函数记为的反函数记为相应相应其中其中2/2/202351二、二维随机变量的函数及其分布二、二维随机变量的函数及其分布1.离散型离散型2/2/2023522.连续型连续型2/2/202353四、随机变量函数的独立性四、随机变量函数的独立性定义定义1：则称这则称这k k个随机向量独立个随机向量独立。2/2/202354(2)(1)2/2/202355