2019高中数学 课时分层作业16 数学归纳法 新人教A版选修2-2.doc

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1、1课时分层作业课时分层作业( (十六十六) ) 数学归纳法数学归纳法(建议用时：40 分钟)基础达标练一、选择题1用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN N*)，第一步验证( )An1 Bn2Cn3 Dn4C C 由题知，n的最小值为 3，所以第一步验证n3 是否成立2设Sk，则Sk1为( )1 k11 k21 k31 2kASk BSk1 2k21 2k11 2k2CSk DSk1 2k11 2k21 2k21 2k1C C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，1 k11 k21 2k得Sk1.1 k21 k31 2k1 2k11 2k1由，得Sk1Sk1 2k11 2k11 k1

2、.1 2k11 2k1故Sk1Sk.1 2k11 2k13利用数学归纳法证明不等式 1 n(n2，nN N*)的过程中，由1 21 31 2n1nk变到nk1 时，左边增加了( ) 【导学号：31062168】A1 项 Bk项C2k1项 D2k项D D 当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1 时，最后一项为1 2k1，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加 1，故增加1 2k111 2k12k了 2k项4对于不等式n1(nN N)，某学生的证明过程如下：n2n(1)当n1 时，11，不等式成立1212(2)假设nk(kN N*)时，不等式成立，即2 的自然数n都成立B该命题对于

3、所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对B B 由nk时命题成立可以推出nk2 时命题也成立且n2，故对所有的正偶数都成立二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN N*)”时，第一步的验证为_解析 当n1 时，左右，不等式成立，nN N*，第一步的验证为n1 的情形答案 当n1 时，左边4，右边4，左右，不等式成立7用数学归纳法证明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)时，从nk到nk1 左边需要添加的因式是_. 【导学号：31062170】解析 当nk时，左端为：(11)(22)(kk)，当nk1 时，左端为：(11)(22)(kk)(k1k1)，由

4、k到k1 需添加的因式为：(2k2)答案 2k238数列an中，已知a12，an1(nN N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、an 3an1猜测得出an的表达式为_解析 a12，a2 ，a3，a4，猜测an.2 72 132 192 6n5答案 an2 6n5三、解答题9(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN N*)nn1 2(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN N*)解 (1)当n1 时，左边121，右边(1)01，1 11 2左边右边，等式成立假设nk(kN N*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k

5、1.kk1 2则当nk1 时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2kk1 2(1)k(k1)k1k 2(1)k.k1k11 2当nk1 时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN N*等式成立(2)n1 时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.当nk1 时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1 时，等式也成立由得，等式对任何nN N*都成立410已知f

6、n(x)满足f1(x)(x0)，fn1(x)f1(fn(x). x1x2(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想. 【导学号：31062171】解 (1)f2(x)f1f1(x)，f1x1f2 1xx12x2f3(x)f1f2(x)f2x1f2 2xx13x2猜想：fn(x)，(nN N*)x1nx2(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)(nN N*)x1nx2当n1 时，f1(x)，显然成立；x1x2假设当nk(kN N*)时，猜想成立，即fk(x)，x1kx2则当nk1 时，fk1f1fk(x)，x1kx21(x1kx2)2x1k

7、1x2即对nk1 时，猜想也成立；结合可知，猜想fn(x)对一切nN N*都成立x1nx2能力提升练1利用数学归纳法证明 1(nN N*，且n2)时，第二步由k1 n1 n11 n21 2n到k1 时不等式左端的变化是( )A增加了这一项1 2k1B增加了和两项1 2k11 2k2C增加了和两项，同时减少了 这一项1 2k11 2k21 kD以上都不对C C 不等式左端共有n1 项，且分母是首项为n，公差为 1，末项为 2n的等差数列，当nk时，左端为 ；当nk1 时，左端为1 k1 k11 k21 2k5，对比两式，可得结论1 k11 k21 k31 2k1 2k11 2k22某命题与自然数

8、有关，如果当nk(kN N*)时该命题成立，则可推得nk1 时该命题也成立，现已知当n5 时该命题不成立，则可推得( )【导学号：31062172】A当n6 时，该命题不成立B当n6 时，该命题成立C当n4 时，该命题不成立D当n4 时，该命题成立C C 若n4 时，该命题成立，由条件可推得n5 命题成立它的逆否命题为：若n5 不成立，则n4 时该命题也不成立3记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1 边形的内角和f(k1)f(k)_.解析 由凸k边形变为凸k1 边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).答案 4对任意nN N*,34n2a2n1都能被 14 整除，则最小的自然数a_.

9、 【导学号：31062173】解析 当n1 时，36a3能被 14 整除的数为a3 或 5；当a3 且n2 时，31035不能被 14 整除，故a5.答案 55是否存在a，b，c使等式2222对一切nN N*都成(1 n)(2 n)(3 n)(n n)an2bnc n立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论解 取n1,2,3 可得Error!，解得：a ，b ，c .1 31 21 6下面用数学归纳法证明2222.(1 n)(2 n)(3 n)(n n)2n23n1 6nn12n1 6n即证 1222n2n(n1)(2n1)，1 6n1 时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时等式成立，即 1222k2k(k1)(2k1)成立，1 6则当nk1 时，等式左边1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)1 62 k(k1)(2k1)6(k1)2 (k1)(2k27k6) (k1)(k2)(2k3)，当1 61 61 6nk1 时等式成立；6由数学归纳法，综合当nN N*等式成立，故存在 a ，b ，c 使已知等式成立131216