2019高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和学案 苏教版必修5.doc

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1、1等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明等比数列的前n项和1. 掌握等比数列前n项和的公式；能运用公式解决一些简单问题。2. 掌握等比数列前 n项和的推理证明。选择题填空题解答题对于q1 这一特殊情况，往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别注意. 注意掌握错位相减这种求和方法。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。难点：难点：等比数列的前n项和公式的推导。考点一：等比数列的前考点一：等比数列的前n n项和公式项和公式111(1)(1)11 (1)n nnaa qaqqSqqna q 【

2、核心突破核心突破】 1. 知三求二知三求二：由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知1, , ,nna q n a S中任意三个，便可建立方程组求出另外两个。2. 在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意讨论公比注意讨论公比q q是否为是否为 1 1。3. 当1q 时，若已知1a及q，则用公式1(1) 1nnaqSq较好；若已知na，则用公式1 1n naa qSq较好。4. 注意其推导方法错位相减法错位相减法若q1，则Snna1。若q1，Sna1a1qa1q2a1qn1，所以两边同乘以q，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn。 得（1q）Sna1a1qn，当q1 时，Snqqan

3、 1)1 (1，2Sn ) 1() 1(,11)1 (111qnaqqqaa qqann注意：注意：错位相减法，它特别适用于适用于求一个等差数列与一个等比数列各项对应的积组成的新数一个等差数列与一个等比数列各项对应的积组成的新数列列的前n项的和。考点二：等比数列的前考点二：等比数列的前n项和公式的一些性质项和公式的一些性质 （1）连续n项的和（如232,nnnnnSSSSS）仍组成等比数列。 （注意：这连续这连续n n项的和必须非零才能成立项的和必须非零才能成立）证明如下：设等比数列an的首项为a1，公比为q，当q1 时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，显然Sn，S2nSn，S3n

4、S2n成等比数列。当q1 时，Sn,1)1 (1 qqanS2n,1)1 (2 1 qqanS3n,1)1 (3 1 qqan则S2nSn qqqann1)(2 1,1)1 (1 qqqannS3nS2n qqqann1)(32 1,1)1 (2 1 qqqann（S2nSn）2,)1 ()1 (2222 1 qqqannSn（S3nS2n） qqan1)1 (1,1)1 (2 1 qqqann,)1 ()1 (2222 1 qqqannSn（S3nS2n）（S2nSn）2，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列。（2） na为比数列(0)n nSAqB AB（3）(m n mmnSSq S

5、q为公比）（4）若an共 2n（nN*）项，则 SSq。注意：注意：运用性质（1）可以快速地求某些和，但在运用此性质时，要注意的是232,nnnnnSSSSS成等比数列，而不是23,nnnSSS成等比数列。例题例题 1 1 （等比数列前（等比数列前n n项和公式的应用）项和公式的应用）3在等比数列an中：（1）已知a11.5，a796，求q和Sn；（2）已知q21，S5831，求a1和an；（3）已知a12，S326，求q和an。思路分析：思路分析：解决本题可由通项公式或前n项和公式列出基本量a1，q的方程或方程组，先求a1，q再求其他量。答案：答案：（1）a7a1q6，q617 aa5 .

6、1 96 26，q2。当q2 时，Sn21)21 (5 . 1 n 2332n1；当q2 时，Sn21)21 (1 5 . 1 n 21（1）n2n1。综上所述，当q2 时，Sn2332n1；当q2 时，Sn21（1）n2n1。（2）S5qqa 1)1 (5 1831，且q21，a12，ana1qn1（2）（21）n122n，a12，an22n。（3）由a12，S326，q1，S3qq 1)1 (23 26，qqqq 1)1)(1 (2 13，即q2q120，解得q4 或 3.当q4 时，ana1qn12（4）n1（1）n122n1。当q3 时，ana1qn123n1。综上所述，当q4 时，a

7、n（1）n122n1；当q3 时，an23n1。技巧点拨：技巧点拨：1. 在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，求解可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，再采取必要的数学处理方法. 2. 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1 或q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论。例题例题 2 2 （等比数列前（等比数列前n n项和性质的应用）项和性质的应用）各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，求S40。思路分析：思路分析：本题可用基本量法先求a1，

8、q再求S40，也可利用等比数列前n项和的性质4求解。答案：答案：法一 设an的首项为a1，公比为q，且由条件可知q1，则 701)1 (,101)1 (30 110 1qqaqqa由得q102 或q103（舍去） ，将其代入，得qa 1)21 (110.qa 112110 10。S40qa 11（1q40）10（124）150。法二 S10，S20S10，S30S20，S40S30仍成等比数列，又S1010，S3070，（S20S10）2S10（S30S20） ，（S2010）210（70S20） ，S2 2010S206000，S2030 或S2020。an各项均为正数，S2030，10,2

9、0,40，S4070 成等比数列，S407080，S40150。技巧点拨：技巧点拨：1. 本例中，两种解法相比较，法二的计算量较小，显示出利用等比数列前n项和性质的优越性。2. 等比数列an的前n项和为Sn，满足Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列（q1 且n为偶数时除外） ，这一性质可直接使用。【易错警示易错警示】应用等比数列求和公式时，忽略q1 的情况致错【例析例析】等比数列an的前n项的和与积分别为S和T，数列na1的前n项和为S，求证：T2（SS ）n。【错解错解】由题意可设数列an的首项为a1，公比为q，则数列na1的首项为11 a，公比为q1，所以Sqqan 1)1 (1，T

10、an 1q12（n1）an 1q2) 1( nn，S11 1 1)1 ( qqan ) 1(11 1qqaqnn ，5所以（SS ）n（a2 1qn1）nan 1q2) 1( nn2T2，即T2（SS ）n。【错因分析错因分析】由题设无法判断q与 1 的关系，以上证法，漏掉了公比q1 的情形，故导致错误。【防范措施防范措施】对于公比为q，首项为a1的等比数列，其前n项和Sn 1,11)1 (, 1,111qqqaa qqaqnann当q1 时，此类数列为常数列（各项均不为 0） ，其前n项和为na1，故解决此类问题时要细心，一般来说，只要题目中含有字母，就有可能要讨论，否则容易漏解。【正解正解】由题意可设数列an的首项为a1，公比为q，则数列na1是首项为11 a，公比为q1的等比数列. 当q1 时，Sna1，Tan 1，S1an，所以（SS ）nan2 1T2，所以T2（SS ）n；当q1 时，Sqqan 1)1 (1，Tan 1q12（n1）an 1q2) 1( nn，S11 1 1)1 ( qqan ) 1(11 1qqaqnn ，所以（SS ）n（a2 1qn1）nan 1q2) 1( nn2T2，即T2（SS ）n。综上可知T2（SS ）n技巧点拨：技巧点拨： 注意分类讨论思想在等比数列中的应用。注意分类讨论思想在等比数列中的应用。