2019高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、11.3.21.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用(重点)自 主 预 习探 新 知1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC .rn1r1nr n2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数

2、相等，即 C C ，C C，C C.0nn n1nn1nr nnrn(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半n1 2部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数 C取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 C与 C相等，且同时取得最大值3各二项式系数的和(1)C C C C 2n；0n1n2nn n(2)C C C C C C 2n1.0n2n4n1n3n5n基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( )(2)二项展开式的二项式系数和为 C C C .( )1n2nn n(3)二项

3、展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( )解析 (1) 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确(2) 二项展开式的二项式系数的和应为 C C C C 2n.0n1n2nn n(3) 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致答案 (1) (2) (3)2(12x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A1 B1C215 D3152B B 令x1 即得各项系数和，和为1.3在(ab)10二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )A第 8 项 B第 7 项C第 9 项 D第 10 项C C 由二项式展开

4、式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等4(1x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A1,4,6,4,1B1，4,6，4,1C(1)rC (r0,1,2,3)r4D(1)rC (r0,1,2,3,4)r4A A 杨辉三角第 4 行的数字即为二项式系数合 作 探 究攻 重 难“杨辉三角”的应用如图 131，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值图 131思路探究 由图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是2 21 2

5、2 3C ，第 17 项是 C，第 18 项是 C，第 19 项是 C.1 32 101 102 11解 S19(C C )(C C )(C C )(CC)2 21 22 31 32 41 42 101 10C(C C C C)(C C CC)(23410)C2 111 21 31 41 102 22 32 102 113 12220274.210 9 2规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：3跟踪训练1将全体正整数排成一个三角形数阵：12

6、34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第 3 个数为_前n1 行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第n2n6 2n2n 23 个数是全体正整数中第个，即为.(n2n 23)n2n6 2求展开式的系数和设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR R)(1)求a0a1a2a2 018的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 018|的值. 【导学号：95032086】思路探究 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解解 (1)令x1，得a0a1a2a2 01

7、8(1)2 0181.(2)令x1，得a0a1a2a2 017a2 01832 018.得2(a1a3a2 017)132 018，4a1a3a5a2 017.132 018 2(3)Tr1C(2x)r(1)rC (2x)r，r2 018r2 018a2k10(kN N*)，a2k0(kN N)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 017a201832 018.规律方法1解决二项式系数和问题思维流程2对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR R，m，nN N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对(axby)n(a，bR R，nN

8、 N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可3一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，f1f1 2偶数项系数之和为a1a3a5.f1f1 2跟踪训练2已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.解 (1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令x1 得(23)4a0a1a2a3a4，所以a0a1a2a3a41.(2)在(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1 得(23)4a0a1a2a3a4，令x1

9、 得(23)4a0a1a2a3a4.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)4(23)4(23)4625.5二项式系数性质的应用探究问题1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示 对称性，因为 C C，也可以从f(r)C 的图象中得到m nnmnr n2计算，并说明你得到的结论Ck n Ck1n提示 .Ck n Ck1nnk1 k当k1，说明二项式系数逐渐增大；n1 2Ck n Ck1n同理，当k时，二项式系数逐渐减小n1 23二项式系数何时取得最大值？提示 当n是

10、偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C，C相等，且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项. 【导学号：95032087】思路探究 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“” “”号解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2

11、n31(舍去)或 2n32，n5.(1)由于n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C (x)3(3x2)290x6，2 5T4C (x)2(3x2)3270x.3 5(2)展开式的通项公式为Tr1C 3rxr5假设Tr1项系数最大，6则有Error!Error!Error! r ，rN N，r4.7 29 2展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.4 5规律方法1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、

12、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得跟踪训练3(12x)n的展开式中第 6 项和第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解 T6C (2x)5，T7C (2x)6，5n6n依题意有 C 25C 26n8，5n6n(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C (2x)41 120x4.4 8设第r1 项系数最大，则有r0,1,2，8，r5 或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.当 堂 达 标固 双 基1已知(ab)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则n等于( )A11 B10C9 D8D D 第 5 项的二项式系数最大，

13、故展开式为 9 项，n8.2在(xy)n展开式中第 4 项与第 8 项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) 【导学号：95032088】A第 6 项 B第 5 项C第 5、6 项 D第 6、7 项7A A 因为 C C ，所以n10，系数最大的项即为二项式系数最大的项3n7n3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_5 (7ab)10的展开式中二项式系数的和为 CCC210，令(x3y)n中0 101 101010xy1，则由题设知，4n210，即 22n210，解得n5.4(2x1)6展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数和为_. 【导学号：95032089】1 64 在二项式中，令x1，得各项系数和为 1；各项的二项式系数之和为 2664.5已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，求a0a1a2a5的值解 (ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，k52 5解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.所以 a0a1a2a51.