线性代数 N维向量空间 第5节 标准正交基.ppt

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1、第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.54.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵 一一.Rn中向量的内积中向量的内积,长度和夹角长度和夹角 1.设 =(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,记为记为,即即 则称实数则称实数 aibi 为向量为向量 与与 的的内积内积 n n i i=1 =1 ,=aibi=T.n n i i=1 =1(inner/dot/scalar product).第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5

2、4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 2.内积的基本性质内积的基本性质(1)对称性对称性对称性对称性:,=,;(2)(2)线性性线性性线性性线性性:k k1 1 1 1+k k2 2 2 2,=k k1 1 1 1,+k k2 2 2 2,;(3)(3),0;0;且且且且 ,=0 =0 =0.0.(4)(4)(Cauchy-Schwartz Inequality)(Cauchy-Schwartz Inequality)|,|,.考察考察y=,x2+2,x+,.n n=(xai+bi)2 0 i i=1=1 =(2,)2 4,0 ,2 ,.第四章第四章第四章第四章 n

3、 n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 3.对于对于n维实向量维实向量,称称 ,为为 的的长度长度(length)模模(modulus),记为记为|,即即 4.长度的基本性质长度的基本性质(3)三角不等式三角不等式(Triangle Inequality):,|=ai2 n n i i=1 =1(1)正定性正定性:|0;且且|=0 =;(2)齐次性齐次性:|k|=|k|(k R);|+|+|.第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积

4、与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 5.长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量(unit vector).对于非零向量对于非零向量,|1 是一个单位向量是一个单位向量.单位化单位化/标准化标准化(normalize).6.设设,Rn,若若 0,0,则定义则定义,的的若若,=0,即即 =/2,则称则称 与与 正交正交(orthogonal).夹角夹角(the angle between and )为为 =arccos,|,0 第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵

5、例例1.设设,Rn,且且 与与 线性无关线性无关,求常数求常数k 使使 +k 与与 正交正交.|=|cos=,|=|,|=|=,|,.=第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 二二.正交向量组和正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 正交正交(mutually orthogonal)向量组向量组 标准标准正交正交(orthonormal)向量组向量组 正交基正交基(orthogonal basis)标准标准正交基正交基(orthonormal basis)1.概念概念 第

6、四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 命题命题2.3.设设 1,2,s是标准正交向量组是标准正交向量组,且且 =k1 1+k2 2+ks s,则则ki=,i,i=1,2,s.2.结论结论 定理定理2.9.1,2,s正交正交线性无关线性无关.命题命题2.4.设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1,2,s使得使得 1,2,t与与 1,2,t等价等价 (1 t s).第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间

7、维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 1=1,3.方法方法(GramGram-SchmidtSchmidt orthogonalisationorthogonalisation process)process)2=2 2,1 1,1 1,s=s s,1 1,1 1 s,s 1 s 1,s 1 s 1再将再将 1,2,s单位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.例例2 设设试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化.解解 取取故故即为所求即为所求.第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间

8、维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.5 4.5 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三.正交矩阵正交矩阵(orthogonal matrix)1.满足足QTQ=E(即即Q 1=QT)的的实方方阵Q称称 为为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理2.10.设设Q为为n阶阶实方阵实方阵,则下列条件等价则下列条件等价:推论推论.(1)Q为正交阵为正交阵|Q|=1,Q 1也是也是正交阵正交阵;(2)Q的的列向量组构成列向量组构成Rn的一组标准的一组标准 正交基正交基;(1)Q是是正交矩阵正交矩阵;(3)QT是是正交矩阵正交矩阵.(2)A,B为正交阵为正交阵 AB为正交阵为正交阵.例例4 设设e1,e2,en是标准正交组，是标准正交组，A为正交矩阵为正交矩阵.试证试证Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组也是一个标准正交组.证明证明 由于由于e1,e2,en是标准正交组，所以是标准正交组，所以故Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组.