倍角、半角、和差化积公式.pdf

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1、-倍角、半角、和差化积公式倍角、半角、和差化积公式一.教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二.教学目的1.了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进展简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2.掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进展求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。三.教学重点、难点重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进展求值、化简

2、、证明。难点：能够正确利用上述公式进展求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。四.知识分析一两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式推导方法 1：向量法把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点 Pl(，)，P2(，)，由于余弦函数是周期为 2的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。图 1设向量则。另一方面，由向量数量积的坐标表示，有于是，对于任意的，都有上述式子成立。推导方法 2：三角函数线法设、都是锐角，如图 2，角的终边与单位圆的交点为 Pl，POP1，则Po*。过点 P 作 MN*轴于 M，则 OM 即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角

3、函数线来表示OM。图 2过点 P 作 PAOP1于 A，过点A 作 AB*轴于 B，过P 作 PCAB 于 C，则OA 表示，AP 表示，并且PACP1O*，于是即要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进展研究了。2.两角和的余弦公式比较与，并且注意到与之间的联系：则由两角差的余弦公式得：即3.对公式的理解和记忆1上述公式中的都是任意角。2公式右端的两局部为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。3要注意和差角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。二两角和与差的正弦1.公式的导出即2.公式的理解.z.-1一样，对任意角均成立，是

4、恒等式。2和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特殊形式。如3明确公式的区别与联系：两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的 和或差，右边也为两项之和或差，而公式中，左边为角的和或差，右边则为两项之差或和，另外公式中右边两项均为角的异名函数之积，牢记公式，才能正确使用这些公式。3.函数的最值 a、b 为常数，为任意角将函数化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之和式，所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：也可如下化简：即注：此处内容与教材 P143 的例 4 是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。三两

5、角和与差的正切1.正切公式的推导过程当时，将公式的两边分别相除，有当 coscos0 时，将上式的分子分母分别除以coscos，得：由于，在中以代，可得2.公式的理解1公式成立的条件公式在，时成立，否则是不成立的。当 tan、tan或 tan()的值不存在时，不能使用公式，处理有关问题时，应改用诱导公式或其他方法来解。2公式的变形形式由得由得；。四倍角公式1.本节中公式的证明过程较为简单，只要将中的换作即可得到的形式，再结合平方关系可推得。2.二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形另外，。公式还可变形为升幂公式：，降幂公式：以上公式中除且外，其余公式中角为任意角。五半角的正弦、余弦和正切1.应用三

6、个半角公式时，要特别注意根号前的符号，选取依据是所在的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cos的符号，确定，、的符号。如为第二象限角，且，则为第一或第三象限角，可正可负，可正可负，为正。，2.公式，共有三个，即，显然公式由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于后两个公式关键是明确公式的推导，如下：，同理可推得，后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果。3.升幂公式：.z.-降幂公式，等同于倍角公式的升幂与降幂公式。升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点及构造特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时角增大。【典型例题】【

7、典型例题】例 1.，求的值。解析：解析：由又由得由余弦的和角公式，得点评：点评：角的*一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的符号。例 2.RtACB 中，两垂直边 ACb，BCa，斜边 ABc，周长为定值l，求斜边 c 的最小值。解析：解析：RtACB 中C90，ACb，BCa，ABc则 acsinA，bccosA即当时，斜边 c 最小，最小值为。点评：点评：1 应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式 三角形式，再求最值。2型如的函数均可化为为确定数值，或化为，再利用三角函数的值域可求最值。例 3.计算：1解析：解析：1解法

8、1：解法 2：2公式，可变形为点评：点评：1题1中的解法 1 是正用公式，从而将非特殊角 75的正切化为两特殊角 45与 30的正切，使问题得解；而题1中的解法 2 通过变换凑出两角和的正切公式形式，逆用公式使问题得到解决。题2是逆用公式求解的。2公式可正用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一定距离，可先变形、整理，再应用公式。3对于型如：或的式子，常常分子分母同时除以为或的形式，再化为或的形式，再用公式即可。例 4.设是方程的两实根。求之值。解析：解析：由题意知：点评：点评：1由 tan()如何求待求式的值是难点，而将待求式转化为的待求式是关键，如何转化呢.关键之关键是将

9、原待求式看成分母为1”的分式，而分母1”又可表示为2由，可求以下代数式的值：型如，可化为；型如，可化为；型如，可化为例 5.解答以下各题：1求的值；2，求的值；.z.-3求的值。解析：解析：1；2故3点评：点评：1对于第1题要注意将变换成，再配以系数2，即可适合二倍角的正弦公式的形式，利用二倍角的正弦公式求值；对于第2题首先利用同角三角函数的关系求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，再利用同角三角函数的根本关系式求出的值。对于第3题配上系数 2，即为二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。2二倍角公式可正用、逆用、变形用，牢记公式及其特点才能正确灵活地使用二倍角公式；3二倍角正弦公式连续使用

10、时要注意构造余弦的二倍角关系，类似地，可以证明恒等式：如求值 sin10sin50sin70，可以先化为 cos20cos40cos80再化为同学们可以试着求下面的式子的值：例 6.，求的值。解析解析 1 1：解析解析 2 2：平方得sin、cos可看成方程的两根，解方程，可得点评：点评：的一个三角函数值及所在象限，可求2 的正弦、余弦、正切，而此题三角函数式，可先求出的值，再用二倍角公式，但要判断出，另外此题解法较多，认真研究可以提高解题的灵活变形能力。例 7.的值。解析：解析：点评：点评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的，不一定是单角的形式，根号前面的符号，由所在象限来确定，如

11、果没有给出限定符号的条件，根号前应保存正负两个符号。例 8.的值。解析：解析：解法 1：利用比例性质：解法 2：又，解法 3：原式又，点评：点评：1给值求值问题一般有两个思路：一是先化简变形三角式，再代入求值法2，法 3；二是由变形，获得所求解的式子法1，相比而言法2 为通法，法1 技巧太高不易掌握，法 3 太麻烦，但它与题型由的值，求的值有异曲同工之妙。2法 2 中用到的化简技巧：，在化简三角函数式中含有时常用到。3法 1 中的公式在化简三角式中也经常使用。.z.-【模拟试题】1.以下四个命题中的假命题是A.存在这样的和的值使得B.不存在无穷多个和的值使得C.对于任意的和有D.不存在这样和的

12、值使得2.化简的结果是A.sin2*B.cos2*C.cos2*D.sin2*3.在ABC 中，假设，则ABC 一定为A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.化简的结果为A.1B.C.cosD.sincos5.假设A.B.C.D.6.的值为A.B.C.3D.7.当时，的值是A.1B.C.D.8.化简：A.B.C.D.9.：等于A.B.C.D.10.11.函数的最大值是_。12.，则 tan_。13.函数的最小正周期是_。14.求值：。15.在锐角ABC 中，1求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC；2化简：。16.函数。1求 f(*)的最小正周期；2假设的最大值、最小值。17.，求的值。18.求以下各式的值。1；2。，则等于_。.z.