南华大学硕研课程数值分析试题答案及评分标准.pdf

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1、南华大学南华大学 20212021 级硕士研究生课程考试试题答案级硕士研究生课程考试试题答案及评分标准及评分标准考试科目：数值分析所属学院考试时间考生姓名：考生学号任课教师考试成绩一(15 分)函数|f(x)|1且f(x)的离散值如下表：ixif(xi)003203145671034033348720360352274试用拉格朗日二次插值公式求f(0.3367)保存小数点后 6 位并估计截断误差。提示：拉格朗日 n 次插值公式：Ln(x)lk(x)yk，lk(x)k0nnx xjxk xjj0jkf(n1)()n误差公式：Rn(x)f(x)Ln(x)(x xj)(n1)!j0评分标准：列出计算

2、式评分标准：列出计算式 5 5 分，计算结果分，计算结果 5 5 分；误差估计分；误差估计 5 5 分；计算有误酎情扣分；计算有误酎情扣 1-21-2 分；分；用拉格朗日插值公式计算：f(0.3367)(0.33670.34)(0.33670.36)0.314567(0.320.34)(0.320.36)(0.33670.32)(0.33670.36)0.3334875 分(0.340.32)(0.340.36)(0.33670.32)(0.33670.34)0.352274(0.360.32)(0.360.34)(0.0033)(0.0233)(0.0167)(0.0233)0.314567

3、0.333487(0.02)(0.04)(0.02)(0.02)(0.0167)(0.0033)0.352274(0.04)(0.02)0.03023382080.3244078180.0242672751 0.330374364 0.33037410 分用牛顿插值公式计算：f(0.3367)P1(0.3367)y0y1 y00.3367 x0 x1 x0 0.3145670.3334870.3145670.33670.32 0.3303655 分0.340.321f(0.3367)P2(0.3367)P1(0.3367)y2 y1y1 y0 x xx x/x2 x00.3367 x00.33

4、67 x110210.939350.946 0.3303650.0167(0.0033)0.33037410 分0.04|f()|1|R2x|x x0 x x1x x2|0.01670.00330.0233 2.1021073!615 分二15 分求x在-1，1上次数不超过 3 的最正确一致逼近多项式。提示：第一类切比雪夫多项式T4(x)8x 8x 1。评分标准：给出关系式评分标准：给出关系式 5 5 分；移项代入比雪夫多项式分；移项代入比雪夫多项式 5 5 分；计算分；计算 5 5 分；计算有误酎情扣分；计算有误酎情扣1-21-2分分解：设最正确一致逼近多项式为P(x)，那么有x P(x)*

5、424110 分T，4142111P*(x)x4T4 x48x48x21 x215 分8884*三15 分实验数据如下：XiYi21919025323314903873344978求形如y ax bx c的经验公式，并估计均方误差。拟合公式提示：S(x)ajj(x)，k,jaj dk,k 0,1,n，i0j0nn22Sxi yii0kim12,xxx,(k,j 0,1,n)，d xfxx,k 0,1,nkjikijikiii0i0mm评分标准：给出法方程评分标准：给出法方程 5 5 分；求出系数分；求出系数 5 5 分；给出均方误差分；给出均方误差 5 5 分；计算有误酎情扣分；计算有误酎情扣

6、 1-21-2 分；分；192225令A 312238244T19253138441 19 32.31a 1，x b，Y 49.073.31c197.8T解Ax Y，A Ax A Y，2192331532772776993.6932K ATA 1923315327157，f ATY 1.0e+0050.09785 分532715750.00270.0497x K f 0.0193，a 0.0497,b 0.0193,c 0.68820.6882y 0.0497x2 0.0193x 0.68825 分d AU Y 0.0086,-0.0460,0.0801,-0.0636,0.0209,，s d

7、Td，s 0.11455 分dx四15 分用四点高斯-勒让德公式求定积分I 01 x21要求小数点后 4 位。提示：四点公式系数：xk 0.8611363,0.3399810,Ak 0.3478548,0.6521452评分标准：给出变换式评分标准：给出变换式 5 5 分；正确带入系数分；正确带入系数 5 5 分；正确计算分；正确计算 5 5 分；计算有误差酎情扣分；计算有误差酎情扣 1-21-2分；分；11baa bt1dx2dta 0,b 1令x t，得I 1t22t 55 分01 x22222用四点高斯-勒让德公式求得11I 0.8611363220.861136350.86113632

8、2(0.8611363)50.3478548 2110.3399810220.339981050.339981022(0.3399810)50.6521452211110.34785480.652145225 分7.46384.01935.79554.43560.13397950.24880060.34785480.1725462 0.22544730.652145220.3827800.34785480.39799360.652145220.1331519 0.25954962 0.39270152 0.785405 分精确值为4 0.7853981633974483142 x15 五15

9、分对方程2310 x2 9构造一种高斯-塞德尔迭代公式，21 5x38（1）说明其收敛的理由；（2）以x(0)000为初值，迭代到x(k1)x(k)T102。(提示：高斯-塞德尔迭代：Ax b，A DLU，B D LU,f D Lb,x(k1)Bx(k)f)11评分标准：给出变换后的对角占优式评分标准：给出变换后的对角占优式 5 5 分；判断收敛分；判断收敛 5 5 分；迭代计算分；迭代计算 5 5 分，每步分，每步 1 1 分；计分；计算有误酎情扣算有误酎情扣 1-21-2 分；分；2521814 52 3109r3 r2,r1 r2 1425,A 21852 310921 58142,b

10、5,23 1095,L 1D 41023,U 212,D=diag(diag(A),L=-tril(A,-1),U=-triu(A,1),B=inv(D-L)*U,f=inv(D-L)*b.00.40.2 1.600B (D L)1U 00.10.55,f (D L)1b 1.6505 分00.050.1251.0751=0，2=-0.1125+0.1654i,3=-0.1125-0.1654i，谱半径B 0.6512 1，所以迭代(0)x(k1)Bx(k)f收敛,5 分。取x0,0,0Tx(k1)Bx(k)f,(k=0,1,2,3,4,5)得下表kXk0(000)1(1.61.651.075

11、)2(0.72500.89371.0231)3(1.03790.99790.9918)4(1.00251.00471.0009)5(0.99790.99901.0001)6(1.00041.00000.9999)|Xk-Xk-1|2.53731.15770.33120.03720.00730.0026|Ax-b|213.03844.87471.56780.18770.02920.01230.00191.6531e-0047(1.000000282,1.000032093,.000009572)3.7424e-0044实际取 k=5 即可.5 分注精确解为x 111T六25 分对于初值问题y 8

12、3yy(1)21 x 2（1）证明用改良的欧拉格式梯形公式是绝对稳定的；（2）取步长h 0.2，用1的格式计算其数值解小数点后保存5 位。提示：梯形公式：yn1 ynhf(xn,yn)f(xn1,yn1)2评分标准：给出递推式评分标准：给出递推式 1010 分，判断绝对稳定性分，判断绝对稳定性 5 5 分；计算分；计算 1010 分，每步分，每步 2 2 分；计算有误差分；计算有误差酎情扣酎情扣 2-42-4 分；分；yn1 ynh83yn83yn1，解得yn113h/2yn8h10 分213h/213h/213h/2 r 1，故有n1 rnn，误差是缩小的，所以格式绝对13h/2对任意的h 0，稳定。5 分取h 0.2，那么，yn1716yn，由y0 y(0)2计算得：1313y1.2 y1 2.30769，2 分y1.4 y2 2.47337，2 分y1.6 y3 2.56258，2 分y1.8 y4 2.61062，2 分y2.0 y5 2.63649，2 分5