求曲线的方程学案.pdf

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1、求曲线的方程学-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN案第 14 课时求曲线的方程教学过程一、问题情境问题 1回忆建立椭圆、双曲线、抛物线方程的过程,求曲线的方程的一般步骤是什么二、学生活动通过师生的讨论,总结得到,求曲线方程的步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M的坐标;(2)写出适合条件 P的点 M的集合 P=M|P(M);(3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0;(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.三、数学运用【例 1】(教材第 63 页例

2、 1)长为 2a(a0)的线段 AB的两个端点 A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动,求线段 AB的中点 M的轨迹.1(见学生用书 P41)处理建议以问题“如何使用 AB=2a这一条件建立 x,y之间的等量关系”引导学生思考,再根据题目中的条件寻找点 M的轨迹方程或点 M的轨迹的特征.规范板书解法一由直角三角形的知识可知,OM=AB=a(O为互相垂直的两直线的垂足),因此由圆的定义可知,动点 M的轨迹为圆.(例 1)解法二分别以这两条互相垂直的直线为 x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系 xOy,设 M(x,y).因为 M为 AB的中点,所以 A(2x,0),B(0,2y).又因为 AB=2a

3、,所以(2x-0)2+(2y-0)2=4a2,化简得 x2+y2=a2.所以动点 M的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆.题后反思(1)本题求的是轨迹而不是轨迹方程,注意“轨迹”与“轨迹方程”的不同.(2)解法一,利用平面几何的知识,根据圆的定义得到 M的轨迹为圆;解法二,通过建立平面直角坐标系,求出轨迹方程,再根据方程确定轨迹.变式长为 3 的线段 AB的两个端点 A,B 分别在互相垂直的两条直线上滑动,M为线段 AB上一点,且 BM=2AM,求点 M的轨迹.2(变式)规范板书解分别以这两条互相垂直的直线为 x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系 xOy,设 M(x,y).因为 M为线段 AB

4、上一点,且 BM=2AM,所以A,B(0,3y).又因为 AB=3,所以+(3y-0)2=9,化简得+y2=1,所以动点 M的轨迹为椭圆.【例 2】(教材第 63 页例 2)求平面内到两个定点 A,B的距离之比等于 2的动点 M的轨迹方程.2(见学生用书 P42)处理建议建立直角坐标系的方法不唯一,让学生自己建立直角坐标系解题,再进行点评、修正、总结.(例 2)规范板书解以 A 为坐标原点,直线 AB为 x轴,以过点 A与直线 AB 垂直的直线为 y轴,建立平面直角坐标系 xOy.设 AB=2a,M(x,y),则 A(0,0),B(2a,0).因为 M满足=2,所以化简得 x2+y2-ax+a

5、2=0.所以动点 M的轨迹方程为 x2+y2-ax+a2=0.题后反思(1)此题要求点 M的轨迹方程,没有给出直角坐标系,因此首先必须建立直角坐标系,建立不同的直角坐标系,就会得到不同的方程.(2)此问题的结论,我们应该记住,平面内到两个定点的距离之比等于常数(不等于 1)的点的轨迹是圆.(3)按照上述求曲线方程的步骤来求轨迹(曲线)方程的方法,通常称为直译法,这是求轨迹方程最常用、最基本的方法,希望同学们熟练掌握.变式已知圆 M的方程为(x-4)2+y2=1,过圆外一点 P作圆 M的切线 PA.若PA=PO,求动点 P 的轨迹方程.规范板书解设 P(x,y).由题意可知,PM2-1=PA2=

6、2PO2,所以(x-4)2+y2-1=2(x2+y2),化简得 x2+y2+8x-15=0.所以动点 P 的轨迹方程为 x2+y2+8x-15=0.【例 3】过圆 O:x2+y2=4 上一动点 P,作 y轴的垂线 l,垂足为 Q.若点 M在直线 l 上,且=2,求动点 M的轨迹方程.3(见学生用书 P42)=2,3处理建议先设出两个动点一个主动点(在已知曲线上移动)、一个被动点(轨迹点)的坐标,再根据题目中的条件“=2”确定两个动点的横坐标之间的关系.规范板书解设 M(x,y),P(x0,y),则 Q(0,y).因为=2,所以(x-x0,0)=2(x0,0),所以 x0=x.又点在圆 O:x2

7、+y2=4上,所以+y2=4,化简得+=1,这就是所求动点 M的轨迹方程.题后反思本题设轨迹点 M的坐标为(x,y),接着用点 M的坐标表示出点 P的坐标,最后将点 P 的坐标代入圆 O的方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(或相关点法).可以看出代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式,用所求动点坐标表示相关动点的坐标,并代入相关动点所在曲线的方程,从而得到所求动点的轨迹方程.其步骤可以简称为“设”“求”“代”.变式已知 A为圆 C:x2+y2-6x+8y+24=0 上一动点,求线段 OA的中点 B的轨迹.规范板书解设 B(x,y),则 A(2x,2y).因为点 A为

8、圆 C:x2+y2-6x+8y+24=0上的动点,所以(2x)2+(2y)2-62x+82y+24=0,化简得 x2+y2-3x+4y+6=0.所以线段OA的中点 B的轨迹为圆.【例 4】已知点 A的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x2上运动,点 Q满足=2,经过点 Q与 x轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P满足=2,求点 P的轨迹方程.(例 4)规范板书解由题意设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2).由=2,得 x2-y0=2(y-x2),即 y0=3x2-2y.再设 B(x1,y1),由=2,即(x-x1,y0-y1)=2(1-x,1-y0),解得将式代入式,消去 y0

9、,得又点 B在抛物线 y=x2上,所以 y1=,4再将式代入 y1=,得 9x2-6y-2=(3x-2)2,化简得 2x-y-1=0.故所求点 P的轨迹方程为 y=2x-1.题后反思本题为了建立轨迹点(x,y)的横坐标 x与纵坐标 y之间的等量关系,引入了两个变量 x1,y1,最后消去 x1,y1得到轨迹方程,这种借助于其他变量来建立轨迹点(x,y)的横坐标 x与纵坐标 y之间的等量关系轨迹方程的方法叫做参数法.在 x,y之间的等量关系轨迹方程无法建立时,我们可以考虑使用这种方法.四、课堂练习1.到两坐标轴的距离之积等于 1的点的轨迹方程为 xy=1.提示直译法求解,注意用坐标表示距离时,不要

10、漏掉“绝对值”.2.圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 中长度为 8的动弦 AB的中点 M的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=9.提示定义法求解,由垂径定理可知 CM=3.3.已知 A(1,0),B(-1,0),若 kPAkPB=-1,则动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=1(y0).提示直译法求解,设 P(x,y),则=-1,化简得 x2+y2=1(x1).4.已知一条曲线在 x轴的上方,它上面的每一点到点 A(0,2)的距离减去它到 x轴的距离的差都是 2,求这条曲线的方程.解设 M(x,y)是曲线上任意一点(y0),作 MBx轴,垂足是 B.因为 MA-MB=2,所以由距离公式可知-y=2,化简得 x2=8y.因为曲线在 x 轴的上方,所以 y0.虽然原点 O的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程是x2=8y(x0).五、课堂小结本节课研究了轨迹方程的求法:(1)直译法;(2)几何法;(3)相关点法;(4)参数法.主要需要掌握前三种方法.5