高等数学教案第9章9.5隐函数的求导公式.pdf

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1、9.59.5隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形1.F(x,y)0隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1设函数设函数F(x,y)在点在点P(x0,y0)的某一邻域内具的某一邻域内具有连续的偏导数，有连续的偏导数，且且F(x0,y0)0，Fy(x0,y0)0，则方程则方程F(x,y)0在点在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数y f(x)，它满足条件，它满足条件y0 f(x0)，并有，并有dyF xdxFy例例验证方程x2 y21 0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单

2、值可导、且x 0时y 1的隐函y 1的隐函数y f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值.解解令F(x,y)x2 y21，则Fx 2x,Fy 2y,F(0,1)0,Fy(0,1)2 0,依定理知方程x2 y21 0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0时y 1的函数y f(x)函数的一阶和二阶导数为Fdyxdy x,0,ydxx0dxFyy x 2d yy xy dx2y2y2x y 1,3y1d2ydx2 1.x02.F(x,y,z)0隐函数存在定理隐函数存在定理2 2设函数设函数F(x,y,z)在点在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内的某一邻域内有连续的偏导数，

3、且有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)0，Fz(x0,y0,z0)0，则方程，则方程F(x,y,z)0在点在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连连 续续 且且 具具 有有 连连 续续 偏偏 导导 数数 的的 函函 数数z f(x,y)，它它 满满 足足 条条 件件z0 f(x0,y0)，并有，并有FzFz x，y.xFzyFz2z例例 2 2设x y z 4z 0，求2.x222解解令F(x,y,z)x2 y2 z24z,则Fx 2x,Fz 2z 4,Fzx x,xFz2 z(2 z)xzx(2 z)x22x2 z(2 z)x.(2 z

4、)2(2 z)2(2 z)3 zx22F(x,y,u,v)0二、方程组的情形二、方程组的情形G(x,y,u,v)0隐隐 函函 数数 存存 在在 定定 理理3 3设设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在在 点点P(x0,y0,u0,v0)的的 某某 一一 邻邻 域域 内内 有有 对对 各各 个个 量量 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数，且且2F(x0,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0，且偏导数所组成的函数行列，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式（或称雅可比(Jacobi)(Jacobi)式）式）F(F,G)uJ(u,v)GuFvGv在在 点点P(x0,y0,u

5、0,v0)不不 等等 于于 零零，则则 方方 程程 组组F(x,y,u,v)0、G(x,y,u,v)0在点在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数单值连续且具有连续偏导数的函数u u(x,y)，v v(x,y)，它们满，它们满足条件足条件u0u(x0,y0),v0 v(x0,y0)，并有，并有FxGxFvGvFvGvu1(F,G)FuxJ(x,v)Gu,Fv1(F,G)uGuxJ(u,x)Fyu1(F,G)GyyJ(y,v)Fuv1(F,G)GuyJ(u,y)FxGxFvGvFyGyFuGuFuGuFuGuFvGvF

6、vGvFvGv,.例例 设函数 xx(u v)yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又3(x,y)0(u,v)(1)证明方程组xx(u,v)（7）yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数 uu(x y)vv(x y)(2)求反函数 uu(x y)vv(x y)对 x y 的偏导数解解(1)将方程组改写成下面的形式F(x,y,u,v)xx(u,v)0G(x,y,u,v)yy(u,v)0(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)则按假设J 由隐函数存在定理 3 即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数 uu(x y)vv(x y)代入(7)即得xxu(x,y),v(x,y)yyu(x,y),v(x,y)将上述恒等式两边分别对 x 求偏导数得41xuxvu xv xyy0uvu xv x由于 J0 故可解得yyu1v1J uxJ vx同理 可得u1 xv1 xyJ vyJ u5