高中三角函数知识点复习总结.pdf

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1、第四章三角函数一、一、三角函数的基本概念1.1.角的概念的推广角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转)负角(顺转)零角(不转)(2)终边相同角:k 3600(k Z)(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角.2.2.角的度量角的度量(1)角度制与弧度制的概念(2)换算关系:180(3)弧长公式:l(弧度)1801弧度 ()571811r扇形面积公式:S lr r2223.3.任意角的三角函数任意角的三角函数sinyrcscryxrcossecrxyxtancotxyyP(x,y)rr x2y20ysin和csc全+00 x+cos和sectan和cot+x注:三角函数值的符号规律“一正全、二

2、正弦、三双切、四余弦”二、同角三角函数的关系式及诱导公式同角三角函数的关系式及诱导公式（一）（一）诱导公式诱导公式：2223232sin cos tan k 2(k Z)与的 三 角 函 数 关 系 是“立 变 平 不 变，符 号 看 象 限”。如：75cos,tan5;sin等。22（二）（二）同同角角三三角角函函数数的的基基本本关关系系式式：平方关系sin2cos21；1 tan2112 coscos21 tan2商式关系cossin cot倒数关系；tansincostancot1；sincsc1;cossec1。（三）（三）关于公式sin2cos21的深化1sinsincos如：如：2

3、；1sin sincos；1 sin sin2 cos21sin8 sin4cos4 sin4cos4；1sin8 sin4cos4注注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为090角的三角函数。2、主要用途：a)b)已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（要注意题设中角的范围，用三角函数的定义求解化简同角三角函数式；会更方便）；证明同角的三角恒等式。三、两角和与差的三角函数（一）两角和与差公式sin sincos cossincos coscossinsintantan tan1 tantan（二）倍角公式1、公式sin2 2sincoscos2=1 cos22sin2=1

4、cos22cos2 cos2sin2 2cos211 2sin2tan22tan1 tan2tan2sin1cos1cossinb2asinbcosa2b2sin()(cosa b2,sinaa b22)注：（1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：（1）求值“给角求值”“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式

5、转化或消除非特殊角“给值求值”“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解“给值求角”“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。“给式求值”“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形，注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论重视角的范围对三角函

6、数值的影响，对角的范围要讨论（2）化简化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号化简三种基本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。（3）证明化繁为简法左右归一法变更命题法条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的特点（2）函数名的特点（3）化切为弦是常用手段（4）升降幂公式的灵活应用四、三角函数的性质三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域值域奇偶性xR Ry

7、1,1奇函数在区间2kxR Ry1,1偶函数xk+xk(kZ Z)yR R奇函数(kZ Z)2yR R奇函数,2k+22，2上都是增函数单调性在区间2k+2k+周期对称轴对称中心在区间2k2k上都是增函数在区间2k，2k+上都是减函数在每一个开区间(k,k+)22内都是增函数在每一个开区间（k,k+）内都是减函数32上都是减函数T=2T=2T=无T=无x k2x kk,0 k,02 k,02 k,02五、已知三角函数值求角已知三角函数值求角1 1、反三角概念：、反三角概念：（1）若 sinx=a为“负锐角”。（2）若 cosx=a为钝角。（3）若 tanx=a a 1,x,则2 2x=arcs

8、ina，说明：a0，arcsina 为锐角;a=0,arcsina=0;a0，arccosa 为锐角;a=0,arccosa=900;a0，arctana 为锐角;a=0,arctana=0;a600,而 arctan(-3)=-arctan3.232而 sin(arcsin3)不存在。2 2、反三角关系：、反三角关系：(1)arcsin(-x)=-arcsinax;arctan(-x)=arctanx;arcos(-x)=-arccosx由此可知：y arcsin x,y arctan x是匠函数，而y arccosx非奇非偶。(2)arcsinx+arccosx=3 3、x20,2时求角时

9、求角x：x0,2sinx=a0 a 11 a 0a 1cosx aa 1x1 arcsinax2arcsinax1arcsinax2 2arcsinax1arccosa;x22arccosaa 0tan x aaR六、三角函数的最值（1）配方法求最值a 0 x1 arctanax2arctanax1arctanax2 2arctana主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数y sin2xsin x1的最值，可转化为求函数y t2t 1,t1,1上的最值问题。（2）（3）化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：asin xbcox 换元法求最值a2b2sin(x)利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。