二面角的平面角的求法.pdf

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1、二面角的平面角的求法：定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。如图，在二面角 a 的棱 a 上任取一点，在平面内过点作OA a，在平面内过点作BO a，则AOB为二面角 a 的平面角。垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。如图，已知二面角 l，过棱上一点作一平面，使l，OA,OB.OA,OB,l OA,l OBAOB为二面角l 的平面角。垂线法：该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。由一个半平面内异与棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二

2、面角的棱作垂线，垂足为，连结AO，则AOB为二面角的平面角。如图，已知二面角l，自平面内一点 A 作 AB于 B，由点 B 作 BO l于 O，连结 AO AO 为平面的斜线，BO 为 AO 在平面内的射影 AO l,AOB为二面角l-的平面角。射影法：cosS投影面S被投影面向量法：（1）AB,CD 分别是二面角l 的两个面内与棱 AC 垂直的异面直线，则二面角的大小为AB,CD=arccosABCD|AB|CD|.（2）平面与相交于直线l，平面的法向量为n n1 1，平面的法向量为n n2 2，n，则二面角l为或.设二面角大小为，则|cos|cos|n n1n n2|.|n n1|n n2

3、|利用二面角的两个面的法向量求解 法向量的夹角与二面角的大小相等或互补当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角当法向量n1与n2方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，1二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为()A150C60B45D1202.如图，四棱锥S ABCD的底面是边长为 1 的正方形，SD底面ABCD，SB 3，求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA

4、平面ABCD，APAB2，BC2 2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值5.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；6(12 分)在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABAC1，BAC90且异面直线A1B与B1C1所成的角等

5、于 60，设AA1a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小7.如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB2，AF2 2，2a，D是棱A1C1的中点2CFAF，ACCE，ME2FM，(1)求证：CM平面BDF；(2)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小；(3)求二面角ADFB的大小8.(2010湖北)如图所示，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算的值；(2)求二面角O AC B的平面角的余弦值9(14 分)已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)当的值为多少时，二面角B SC D的大小为 120.ABAQSAAB