长沙理工大学概率论试题7.pdf

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1、长沙理工大学模拟试卷第七套长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷姓名姓名:班级班级:学号学号:得分得分:一判断题一判断题（10 分，每题 2 分）1.在古典概型的随机试验中，P(A)0当且仅当A是不可能事件()2连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定()3若随机变量X与Y独立，且都服从p 0.1的(0，1)分布，则X Y()4设X为离散型随机变量,且存在正数k使得P(X k)0，则X的数学期望E(X)未必存在()5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少()二选择题二选择题（15 分，每题 3 分）1.设每次

2、试验成功的概率为p(0 p 1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1 r n)次成功的概率为.r1rnrrrnrCp(1 p)C p(1 p)n1n(a)；(b)；r1r1nr1rnrCp(1 p)p(1 p)n1(c)；(d).2.离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X xk).()P(xk1 X xk)；()F(xk1)F(xk1)；()P(xk1 X xk1)；()F(xk)F(xk1).3.设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y max(X,2003)的分布函数.()是连续函数；()恰好有一个间断点；()是阶梯函数；()至少有两个间断点.4.设随机变量(X,Y)的方差D(X)4

3、,D(Y)1,相关系数XY 0.6,则方差D(3X 2Y).()40；()34；()25.6；()17.625.设(X1,X2,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是.X 11n(Xi1)2 F(n,1)t(n)()2/n；()4i1；1n N(0,1)(Xi1)22(n)()2/n；()4i1.二二.填空题填空题（28 分，每题 4 分）1.一批电子元件共有 100 个,次品率为 0.05.连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为X 11X2.设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y 3e的概率密度函数为fY(y)3.设X为总体X N(

4、3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值,则P(1 X 5).4.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为1,y x,0 x 1;f(x,y)其 他0,f(y x)则条件密度函数为,当时,Y X25.设X t(m),则随机变量Y X服从的分布为 (需写出自由度)2X N(,)（单位：秒）6.设某种保险丝熔化时间，取n 16的样本，得2样本均值和方差分别为X 15,S 0.36，则的置信度为 95%的单侧置信区间上限为7.设X的分布律为X 1 2 322(1)2(1)P已知一个样本值(x1,x2,x3)(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为三三.计算题计算题（40 分，每题 8 分

5、）1.已知一批产品中 96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为,()的指数分布，试求Z 3X 2Y的密度函数fZ(z).3某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率.24.总体X N(,)，(X1,X2,Xn)为总体X的一个样本.求常数k,使kXi Xi1n为的无偏估计量.25（1

6、）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X N(,)（单位：kg）.已知8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值x 575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg？（5%）2N(,0.048).某日抽取（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布5 个样品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.2问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用10%作假设检验.四四.证明题证明题（7 分）设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p).试证明随机变量X Y与Z相互独立.2附表：标准正态分布数值表分布

7、数值表 t 分布数值表2(0.28)0.61030.05(4)9.488t0.025(15)2.1315(1.96)0.97520.95(4)0.711t0.05(15)1.7531(2.0)0.977220.05(5)11.071t0.025(16)2.1199(2.5)0.993820.95(5)1.145t0.05(16)1.7459长沙理工大学模拟试卷第七套长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷答案一.判断题（10 分，每题 2 分）是非非非是.二.选择题（15 分，每题 3 分）（）（）（）（）（）.三.填空题（28 分，每题 4 分）(y)1fyfln(y/3)y 0Y1.

8、1/22；2.0y 0；fy x)4.当0 x 1时1/(2x)x y xY X(0其他；5.F(1,m)6.上限为 15.263.7.5/6.四.计算题（40 分，每题 8 分）1.1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.P(A)P(B)P(A B)P(B)P(AB)0.960.98 0.040.05 0.9428，P(B A)P(B)P(A B)/P(A)0.9408/0.9428 0.998.exfx 0eyy 0X(x)fY(y)2.2.0其他0其他z 0时，FZ(z)0，从而fZ(z)0；z 0时，fZ(z)12fX(x)fY(z 3x)/2dx1z/3x(zx)

9、/220edx(ez/33 2ez/2)所以3(2 分)(4 分)(2 分)(1 分)(1 分)(2 分)(2 分)(ez/3ez/2),z 0fZ(z)3 2z 00,(ez/2ez/3),z 0fZ(z)23z 0(2 分)0,3.3.设Xi为第 i 周的销售量,i 1,2,52Xi P(1)(1 分)i1则一年的销售量为，E(Y)52,D(Y)52.(2 分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为Y Xi52 2Y 5218 18 2 P(50Y 70)P 15252525252(4 分)22n1n 12nkn122zn1令221n21E(X X)X k,1XD (X ii(n X1)|

10、)X XnnX XX N 0EkXi|X|E|XX0iX121iinne2n(|2X zX|z|edzdzi1E|)i1n0inn1n122nnnnz2n122in(2分13分)(2.50)(0.28)1 0.9938 0.61031 0.6041.(1 分)4.4.注意到k 2n(n1)（2分）5.5.(1)要检验的假设为H0:570,H1:570(1 分)U 检验用的统计量拒绝域为2X 0/n N(0,1)，.(2 分)，落在拒绝域内，U z(n1)z0.0251.96U0575.25708/10571569.29/10 0.65 10 2.06 1.96故拒绝原假设H0，即不能认为平均折

11、断力为570 kg.U0 0.2 10 0.632 1.96,落在拒绝域外，故接受原假设H0，即可以认为平均折断力为571 kg.(1 分)2222H:0.048,H:0.04801(2)要检验的假设为(1 分)2222H:0.79,H:0.79102检验用的统计量(Xi15iX)22(n1)，204222(n 1)0.05(4)9.488或拒绝域为2212(n1)0.95(4)0.7112(2 分)x 1.41x 1.4920 0.0362/0.0023 15.739 9.488,落在拒绝域内，2 0.0538/0.6241 0.086 0.711,落在拒绝域内，0故拒绝原假设H0，即认为该天的纤度的总体方差不正常.(1 分)五、证明题(7 分)由题设知X0 1X Y012PqpPq22pqp2P(X Y 0,Z 0)q3 P(X Y 0)P(Z 0)；P(X Y 0,Z 1)pq2 P(X Y 0)P(Z 1)；P(X Y 1,Z 0)2pq2 P(X Y 1)P(Z 0)；P(X Y 1,Z 1)2pq2 P(X Y 1)P(Z 1)；P(X Y 2,Z 0)pq2 P(X Y 2)P(Z 0)；P(X Y 2,Z 1)p3 P(X Y 2)P(Z 1).所以X Y与Z相互独立.5(2 分)(5 分)