关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用.pdf

《关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为 90，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在“变形 2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。【例 1】如图

2、，在等腰直角三角形ABC 中，ACB=Rt，AC=BC，AE CE 于点 E，BDCE 于点 D，AE=5cm，BD=2cm，则 DE 的长为多少？【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，ACECBD，于是 CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）【例 2】如图，在ABC 中，CA=CB，点 D 为 BC 中点，CEAD 于点 E，交 AB 于点F，连接 DF。求证：AD=CF+DF.【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。从要证明的结论来看，需要把 AD 这条线段“转化”到直线CF 上。如图，过点 B 作 BGCB，交 CF 的延长线于点 G。则易证ACD

3、CBG，于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD，BF=BF，DBF=GBF=45，故BDFBGF，于是FD=FG，所以 AD=CF+DF。关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。【例 3】如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B，C 向过 A 点的直线作垂线，垂足分别为E，F。（1）如图 1，过点 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=EB+CF；（2）如图 2，过点 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不

4、变，若BE=10，CF=3.求EF 的长。【提示】（1）图 1 是“一线三垂直”的基础模型，ABECAF；（2）图 2 是“一线三垂直”的变形4，和【例 1】相同。【例 4】如图，已知AEB中，AEB=90，以AB 为边向外作正方形ABCD，连接AC、BD，交于点 O，连接 EO。若 BE=2，EO=32，求五边形AEBCD 的面积。【解析】因为ABC=AEB=90，故构造“一线三垂直”模型，如图。过点 C 作 CPEB，交 EB 延长线于点 P，连接 OP。则根据“一线三垂直”模型的性质，AEBBPC，BP=AE；AOB=AEB=90，A、E、B、O 四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用

5、（一），.z.-BEO=BAO=45；同理BPO=BCO=45，故EOP为等腰直角三角形；EO=32，EP=6，BP=4，根据勾股定理，AB=16+4=20，即S 正方形 ABCD=20，SAEB=422=4，S五边形 AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）【例 5】已知ABC 中，ACB=90，AC=BC，CD 为 AB 边上的中线，点 E 为 BC 边上任意一点（不与 A、D、B 重合），BFCE 于点 F，交 CD 于点 G，AHCE，交 CE延长线于点 H，交 CD 延长线于点 M。求证：（1）CG=AE；（2）DE=DM。【提示】（1）根据“一

6、线三垂直”模型，ACHCBF，ACE=CBG，又CAE=BCG=45，AC=BC，ACEBCG；（2）由“一线三垂直”模型可知，ACE=CBG，BF=CH，HCM=FBE，又BFE=CHM=90，CHMBFE，BE=CM，从而 DE=DM。同时我们也应该注意到：ACMCBE；ADMCDEBDG；AHECFG；DM=DG=DE；GEM 为等腰直角三角形等。构造“一线三垂直”模型，是作辅助线常用的一种手段。【例 6】如图，直线 l1l2l3，且 l1 到 l2 的距离为 3，l2 到 l3 的距离为 4，等腰直角ABC 的直角顶点 C 在 l2 上，点 A、B 分别在 l1、l3 上。求ABC 的

7、面积。【提示】过点 C 作 l2 的垂线，分别交 l1 和 l3 于点 D、E，构造“一线三垂直”模型，则 CD=3，AD=CE=4，AC=5.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（四）【例 7】（2018 初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD 为直角梯形，ADBC，BCD=90，AB=BC+AD，DAC=45，E 为 CD 上一点，且BAE=45，若CD=4，求ABE 的面积。【解析】如图，过点E 作 EGAE，交 AB 延长线于点 G，过点 G 作 GHDC，交 DC延长线于点 H，构造“一线三垂直”模型；过点G 作 GKBC 于点 K，过点 B 作 BFAD于点 F。则ADEE

8、HG，DE=GH；AD=EH=CD，DE=CH，故四边形 CKGH 为正方形。AF=4-BC，AB=4+BC，BF=4，（4+BC）=（4-BC）+4，解得：BC=1，所以 AB=5；设 DE=*，则 BK=1-*，GK=*，AE=*+4AEG 为等腰直角三角形，AG=2AE，（5+BG）=2（*+4），将BG 代入，化简得：（7*-4）=0，*=4/7，ABE 面积=梯形 ABCD 面积-ADE 面积-BCE 面积.z.-=（1+4）42-44/72-1(4-4/7)2=50/7。在直角坐标系中构造“一线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。【例 8】如图，在直角坐标系中，点A（1，2

9、），点 B（0，-1），已知ABC 为等腰直角三角形，求点C 的坐标。【解析】设 C（m，p）。（1）当BAC 为直角时：当点 C 在 AB 右侧时，如图 1。过点 A 作 DE*轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CEDE于点 E。根据“一线三垂直”模型，ABDACE，DB=AE，CE=DA，即：m-1=3，2-p=1，解得：m=4，p=1，C（4，1）；当点 C 在 AB 左侧时，如图 2。过点 A 作 DE*轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CEDE于点 E。根据“一线三垂直”模型，ABDACE，DB=AE，CE=DA，即：1-m=3，p-2=1，解得：m=-2，p=3，C（-2，

10、3）；（或者用下列方法：此时，点C 和中的 C 关于点 A 对称，故 m=21-4=-2，p=221=3.）（2）当ABC 为直角时：当点 C 在 AB 右侧时，如图 3。过点 A 作 AE*轴，交 y 轴于点 E，过点 C 作 CDy轴于点 D。根据“一线三垂直”模型，ABEBCD，DB=AE，BE=CD，即：-1-p=1，m=3，解得：m=3，p=-2，C（3，-2）；当点 C 在 AB 左侧时，如图 4。过点 B 作 DE*轴，过点 C 作 CDDE 于点 D，过点 A 作 AEDE 于点 E。根据“一线三垂直”模型，ABEBCD，BE=CD，BD=AE，即：0-m=3，p-（-1）=1

11、，解得：m=-3，p=0，C（-3，0）；（或者用下列方法：此时，点 C 和中的 C 关于点 B 对称，故 m=20-3=-3，p=-12（-2）=0.）（3）当ACB 为直角时：当点 C 在 AB 右侧时，如图 5。过点 C 作 CD*轴，过点 A 作 ADCD 于点 D，CD交 y 轴于点 E。根据“一线三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：m=2-p，p-（-1）=m-1，解得：m=2，p=0，即 CD 与*轴重合，点 E 与 O 重合，C（2，0）；当点 C 在 AB 左侧时，如图 6。过点 C 作 CD*轴，过点 A 作 ADCD 于点 D，CD交 y 轴于点 E。

12、根据“一线三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：1-m=p-（-1），2-p=0-m，解得：m=-1，p=1，C（-1，1）。（或者用下列方法：此时，点C 和中的 C 关于 AB 的中点对称，AB 的中点坐标为（0.5，0.5），故 m=20.5-2=-1，p=0.52 0=1.）综上所述：符合条件的点C 的坐标有 6 个：（4，1）；（-2，3）；（3，-2）；（-3，0）；（2，0）；（-1，1）。关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（五）.z.-前面讨论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况。如果不存在两条边相等，则“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对

13、或几对相似三角形，这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛，尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题经常得到应用，也是作辅助线的思想方法。经常出现的图例跟前面介绍的一样（关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（一），只是直角的两条边不一定相等。【例 9】如图，在直角坐标系中，点A（1，3），点 B（2，-1），坐标轴上是否存在点 C，使得ACB 为直角？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（1）当点 C 在 y 轴上时：如图 1，设 C（0，c），分别过点 A、B 作*轴的平行线，交 y 轴于点 D、E。则根据“一线三垂直模型”，ACDCBE，A

14、DCE=CDBE，即：1(c+1)=(3-c)2，解得：c1=1+2，c2=1-2，故 C（0，1+2）；或 C（0，1-2）；（2）当点 C 在*轴上时：如图 2，设 C（c，0），分别过点 A、B 作 y 轴的平行线，交*轴于点 D、E。则根据“一线三垂直模型”，ACDCBE，ADCE=CDBE，即：3（2-c）=（1-c）2，或 3（c-2）=（c-1）2，综上所述，符合条件的点C 的坐标有 4 个，分别为：（0，1+2）；（0，1-2）；【例 10】如图，在直角坐标系中，点 A（1，3），点B（2，-1），在一次函数 y=*/2-1的图像上是否存在点C，使得ACB 为直角？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】设ACB 为直角时，点 C（c，c/2-1），如图 1，过点 C 作 y 轴的平行线 DE，分别过点 A、B 作 DE 的垂线，垂足分别为 D、E。由“一线三垂直模型”可知：ACDCBE，ADCE=CDBE，即：(c-1)(c/2-1)+1)=(3-(c/2-1)(c-2)，化简得：5c-20c+8=0，解得：.z.