抛物线计算公式.pdf

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1、计算一条抛物线参数计算一条抛物线参数计算一条抛物线的方法有多种：1、已知 3 个点坐标假设 3 个点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，联立方程式即可求得抛物线参数 a，b，c。(y2 y3)x1(x2 x3)y1 x2y3 x3y2a 2(x2 x3)(x1 x2)(x1 x3)y1 ax1bx1c22222(y2 y3)x1 x2y3 x3y2(x2 x3)y12y2 ax2bx2c b(x2 x3)(x1 x2)(x1 x3)y ax2bx c22222333(x2y3 x3y2)x1(x2 x3)x1(x2x3 x2x3)y1c(x2 x3)(x1 x2)(x1

2、x3)2、已知 2 个点坐标和第 1 点（或第 2 点）的导数假设两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，第1 点（或第2 点）的导数为k，联立方程式即可求得抛物线参数 a，b，c。y1 ax12bx1c2y2 ax2bx2c2ax b k 或者 2ax b k21k(x1 x2)(y1 y2)a 2(x x)1222k(x1 x2)2x1(y1 y2)第1点导数为kb 2(x x)12222kx1x2(kx2 y2)x1(2x1x2 x2)y1c (x1 x2)2或者k(x1 x2)(y1 y2)a 2(x x)1222k(x1 x2)2x2(y1 y2)第2点导数为kb 2(x x)12

3、222(kx2 y2)x1 x2y1(kx22x2y2)x1c (x1 x2)23、已知 2 个点坐标和 2 个点的导数（第 1 点或第 2 点的y坐标实际上并不需要）假设两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，第1 点的导数为k1，第2 点的导数为k2，联立方程式即可求得抛物线参数 a，b，c。y1 ax12bx1cy2 ax22bx2c2ax b k或者12ax1b k112ax b k2ax b k2222k ka 122(x1x2)k x k x 使用第1点的y坐标b 1221x1 x22(k1k2)x12k1x1x22(x1 x2)y1c 2(x1 x2)或者k ka 122(x1

4、x2)k x k x 使用第2点的y坐标b 1221x1 x22(k1k2)x22k2x1x22(x1 x2)y2c 2(x1 x2)两条抛物线相交相切两条抛物线相交相切假设 2 条抛物线分别为 f1和 f2 f1 a1x2b1xc12f2 a2x b2xc2两条抛物线应满足 2 个条件：1）相交2）交点处导数相同推导得出两条抛物线参数之间的数学关系以及交点的坐标。(b1b2)2 4(a1a2)(c1c2)f1 f2b1b22(c1c2)x f1 f 22(a1a2)b1b2根据上述推导结果，如果已知一条抛物线，要求另一条相交相切的抛物线，两条抛物线相交相切的交点必须是已知的，否则即使已知再多

5、的数据也无法正确的计算出另一条抛物线。计算相交相切的抛物线计算相交相切的抛物线已知左侧开口向上的抛物线方程f1，左右抛物线的交点坐标(x0,y0)，求右抛物线方程f2。假设左侧抛物线方程和交点已知：左抛物线 f1 a1x2b1xc1抛物线交点(x0,y0)交点的导数 k 2a x b101根据“计算一条抛物线参数”小节中的计算方法，采用方法 2 或方法 3 即可计算出右抛物线方程f2 a2x2b2xc2，且需要的数据最少。方法 2：给定右抛物线的极大点 x 坐标xmaxka22k(x0 xmax)y0 a2x02b2x0c2kxmax2a2x0b2 k 2a1x0b1b2 x0 xmax2a xb 022max2kx02kx0 xmax2(x0 xmax)y0c 22(x0 xmax)方法 3：给定右抛物线任意一点坐标(xk,yk)k(x0 xk)(y0 yk)a 222(x x)0ky0 a2x0b2x0c222k(x0 xk)2x0(y0 yk)2a2x0b2 k 2a1x0b1b2 2(x x)0ky a x2b x c222k2k2k2kx0 xk(kxk yk)x0(2x0 xk xk)y0c2(x0 xk)2