初中数学二次函数知识点汇总(史上最全).pdf

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1、第- 1 -页 共 31页二次函数知识点一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、基本形式1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质： （上加下减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，y轴0 x 时，

2、y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值00a 向下00，y轴0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，y轴0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c0a 向下0c，y轴0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c第- 2 -页 共 31页3.2ya xh的性质： （左加右减）4.2ya xhk的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式

3、2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：?向右(?h?0)【或左(?h?0)【或下(?k?0)【或左(?h?0)【或左(?h?0)【或下(?k?0?)【或向下(?k?0)】平移?|k?|个单位?y=a?(?x-h?)?2?+k?y=a?(?x-h?)?2?y=a?x?2?+?k?y=ax?22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最

4、小值00a 向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a 向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k第- 3 -页 共 31页方法 2：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）

5、四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa ，五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、 与y轴的交点0c，、 以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、 与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口

6、方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa ，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa ，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ；2. 顶点式：2()ya xhk（a

7、，h，k为常数，0a ） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a ，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.第- 4 -页 共 31页注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越

8、大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下，当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b 时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b 时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴a

9、bx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的第- 5 -页 共 31页二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来

10、说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3. 关

11、于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达

12、式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式第- 6 -页 共 31页十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数： 当240bac 时， 图象与x轴交于两点1200A xB x， ，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点.1当0a 时，图象落在x轴的上方

13、，无论x为任何实数，都有0y ；2当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有

14、二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第- 7 -页 共 31页二次函数考查重点与常见题型1考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点， 则m的值是2综合考查正比例、反比例、一次函数、二次

15、函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）yyyy110 xo-1x0 x0 -1xABCD3考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（1）确定抛

16、物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数2yaxbxc的图像如图 1，则点),(acbM在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例

17、 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()第- 8 -页 共 31页A 1 个B. 2 个C. 3 个D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形

18、ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=12x2+x-52（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a

19、 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于)0 ,(1xA，)0 ,(2xB两点)(21xx ，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1x1x2=-3x12=-3x12=1.x10，x1=-1x2=3点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-

20、6(2)存在点 M 使MC0ACO(2)解：点 A 关于 y 轴的对称点 A(1，O)，直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5当点 M 的横坐标满足-1xO 或 OxACO例 7、 “已知函数cbxxy221的图象经过点 A（c，2） ，求证： 这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的

21、矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。第- 9 -页 共 31页点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ” ，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答（1）根据cbxxy221的图象经过点 A（

22、c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得, 3212, 2212bcbcc解得. 2, 3cb所以所求二次函数解析式为. 23212xxy图象如图所示。（2）在解析式中令 y=0，得023212 xx，解得. 53,5321xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+)0 ,5”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是).0 ,53( 令 x=3 代入解析式，得,25y所以抛物线23212xxy的顶点坐标为),25, 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为)25, 3( 等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程

23、中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数第- 10 -

24、页 共 31页（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则1525,220kbkb解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： （1）设未知数在“

25、当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数； （2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 mB1625 mC166 mD167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B第- 11 -页 共 31页知识点一、平

26、面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能

27、颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0, 0yx点 P(x,y)在第二象限0, 0yx点 P(x,y)在第三象限0, 0yx点 P(x,y)在第四象限0, 0yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,

28、y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。第- 12 -页 共 31页位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2

29、）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3 3）点）点 P(x,y)P(x,y)到原点的距离等于到原点的距离等于22yx 知识点三、函数及其相关概念知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有

30、时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。第- 13 -页 共 31页知识点四，正比例函数和一次函数知识点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0） ，

31、那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy （k 为常数，k0） 。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号b 的符号函数图像图像特征k0b0y0 x图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。b0y0 x图像经过一、三、四象限，y 随 x的增大而增大。K0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小第- 14 -页 共 31页b0 时，图像经过第

32、一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0a0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2） 对称轴是 x=ab2， 顶点坐

33、标是 （ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当?0)【或左(?h?0)【或下(?k?0)【或左(?h?0)【或左(?h?0)【或下(?k?0?)【或向下(?k?0)】平移?|k?|个单位?y=a?(?x-h?)?2?+k?y=a?(?x-h?)?2?y=a?x?2?+

34、?k?y=ax?2平移规律平移规律在原有函数的基础上在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；值正右移，负左移；k值正上移，负下移值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆特别记忆-同左上加同左上加异右下减异右下减 ( (必须理解记必须理解记忆忆) )说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异异右右向左向上移动为加左上加左上加，向右向下移动为减右下减右下减3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在y轴上的截距4、直线方程：4 4

35、、两点两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形此公式有多种变形牢记牢记点斜点斜)(11xxkxyy斜截斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax牢记牢记口诀口诀-两点斜截距两点斜截距-两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距第- 21 -页 共 31页5、 设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ /ll， 则有1212/llkk且12bb。若12121llkk 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b

36、(即：kx-y+b=0) 的距离:1) 1(2002200kbykxkbykxd7 7、抛物线抛物线cbxaxy2中，中， a a b b c,c,的作用的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀口诀 - 同左同左异右异右（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy ，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经

37、过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.第- 22 -页 共 31页十一，中考点击十一，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系3、一次函数的概念和图像4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每

38、年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围， 及自变量与因变量的变化图像、 平面直角坐标系等， 一般占 2%左右 一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴

39、，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计 2009 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用十二，初中数学助记口诀十二，初中数学助记口诀( (函数部分函数部分) )特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X 轴对称 y 相反,Y 轴对称

40、,x 前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成 y=a（x+h）第- 23 -页 共 31页2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,同同左上加左上加 异右下减异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化

41、规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线， 左同右异中为 0， 牢记心中莫混乱； 顶点坐标最重要,一般式配方它就现， 横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支

42、分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。1对称点坐标:对

43、称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反, Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于关于x轴对称轴对称2yaxbxc关于关于x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于关于x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于关于y轴对称轴对称第- 24 -页 共 31页2yaxbxc关于关于y轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于关于y轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，

44、得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于顶点对称关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点关于点mn，对称对称2ya xhk关于点关于点mn，对称后，得到的解析式是对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此根据对称的性质，显然无论作何种对称

45、变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不永远不变变求抛物线的对称抛物线的表达式时求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式选择合适的形式，习习惯上是先确定原抛物线惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀口诀- - Y Y 反对反对 X X，X X 反对反对 Y Y，都反对原点，都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为

46、零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:第- 25 -页 共 31页若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成 y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键

47、；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限；k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。第- 26 -页 共 31页函数学习口决：正比例函数是直线，图象一

48、定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指

49、是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。第- 27 -页 共 31页解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。a 正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，

50、开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数 abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。第- 28 -页 共 31页完全平方等常数，间接配方显优势【注】 恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因