初中数学专题-三角函数.pdf

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1、和差角公式和差角公式 二角和差公式二角和差公式 证明如图：负号的情况只需要用- 代替 即可cot(+)推导只需把角 对边设为1，过程与 tan(+)相同 证明正切的和差角公式 证明正弦、余弦的和差角公式 三角和公式三角和公式 三角函数公式和差化积公式三角函数公式和差化积公式 口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦 三角函数公式积化和差公式三角函数公式积化和差公式 三角函数公式倍角公式三角函数公式倍角公式 二倍角公式二倍角公式 三倍角公式三倍角公式 证明： sin3a =sin(a+2a) =sin2a cosa+cos2a sina =2sina(1-sin2a)

2、+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa sin3a =3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(sin60 +sina)(sin60 -sina) =4sina2sin(60+a)/2cos(60 -a)/22sin(60 -a)/2cos60 +a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a =4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3

3、/4) =4cosa(cosa-cos30 )(cosa+cos30 ) =4cosa2cos(a+30 )/2cos(a-30 )/2-2sin(a+30 )/2sin(a-30 )/2 =-4cosasin(a+30 )sin(a-30 ) =-4cosasin90 -(60 -a)sin-90 +(60 +a) =-4cosacos(60 -a)-cos(60 +a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得： tan3a=tana tan(60 -a) tan(60 +a) 四倍角公式四倍角公式 sin4a=-4cosa sina (2sin2a-1) c

4、os4a=1+(-8cos2a+8cos4a) tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a) 五倍角公式五倍角公式 n 倍角公式倍角公式 应用欧拉公式： . 上式用于求 n 倍角的三角函数时，可变形为： 所以 其中，Re 表示取实数部分，Im 表示取虚数部分而 所以 三角函数公式半角公式三角函数公式半角公式 （正负由 所在的象限决定） 三角函数公式万能公式三角函数公式万能公式 三角函数公式辅助角公式三角函数公式辅助角公式 证明： 由于 ，显然 ，且 故有： 三角函数公式其他公式三角函数公式其他公式 编辑 三角函数公式正弦定理三角函数公式正弦定理 余弦定理 详见词条

5、：正弦定理 在任意ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，三角形外接圆的半径为R则有 3 ： 正弦定理变形可得： 三角函数公式余弦定理三角函数公式余弦定理 详见词条：余弦定理 余弦定理 对于如图所示的边长为 a、b、c 而相应角为 、 的ABC，有： 也可表示为： 三角函数公式降幂公式三角函数公式降幂公式 sin=1-cos(2)/2 cos=1+cos(2)/2 tan=1-cos(2)/1+cos(2) 三角函数公式三角和三角函数公式三角和 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-co

6、ssinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)(1-tantan-tantan-tantan) 三角函数公式幂级数三角函数公式幂级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中 c0,c1,c2,.cn.及 a 都是常数， 这种级数称为幂级数。 三角函数公式泰勒展开式三角函数公式泰勒展开式 泰勒展开式又叫幂级数展开法 实用幂级数： ex= 1+x+x2/2!+x3/3

7、!+xn/n!+,xR ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)k-1xk/k, x(-1,1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+, xR cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)kx2k/(2k)!+, xR arcsin x = x + x3/(23) + (13)x5/(245) + (135)x7/(2467)+(2k+1)!x2k+1/(2k!(2k+1)+, x(-1,1)（!表示双阶乘） arccos x = /2 -x + x3/(23) + (13)x5/(245) + (135)x7/(2467

8、), x(-1,1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -, x(-,1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+x2k-1/(2k-1)!+, xR cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+x2k/(2k)!+, xR arcsinh x =x - x3/(23) + (13)x5/(245) -(135)x7/(2467), x(-1,1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + , x(-1,1) 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 三角函数公式万能公式三角函数公式万能公式 三角函数公式傅里叶级数三角函数公式傅里叶级数 傅里叶级数又称三角级数 f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(.-) (f(x)dx an=1/(.-) (f(x)cosnx)dx bn=1/(.-) (f(x)sinnx)dx