初一数学竞赛系列讲座相交线平行线.pdf

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1、初一数学竞赛系列讲座(12)相交线、平行线一、知识要点：1 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。5 利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例 1如

2、图(1)，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。解：ab，la334（两直线平行，内错角相等）1+32+4180(平角的定义)4b12(等式性质)2则3x+705x+22解得 x=24即11423180-138图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例 2已知：如图(2)，ABEFCD，EG 平分BEF，B+BED+D=192，ABB-D=24，求GEF 的度数。解：ABEFCDGB=BEF，DEF=D（两直线平行，内错角相等）EFB+BED+D=192（已知）C即B+BEF+DEF+D=192D2（B+D）=192（等量

3、代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24（已知）图(2)B=60（等式性质）即BEF=60（等量代换）EG 平分BEF（已知）GEF=1BEF=30（角平分线定义）2例 3如图（3），已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。解：过 E 作 EFABDABCD（已知）CEFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（两直线平行，DEB=DEF-BEFABDEB=D-B=30E评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三内错角相等）F线八角”，则应添出辅助线。图（3）例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为 a，b，c，而 ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求

4、证：ha+hb+hca+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，hac，hba，hcbc cb bh ha以上三式相加得 ha+hb+hca+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。a a2 垂线段最短。例 5如图（4），直线 AB 与 CD 相交于 O，EFAB 于 F，GHCD 于 H，求证 EF 与 GH 必相交。E分析：欲证 EF 与 GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。GD证明：假设 EF 与 GH 不相交。AEF、GH 是两条不同的直线HFEFGHOEFABCBGHAB又因 GHCD故 ABCD(垂直

5、于同一直线的两直线平行)图（4）这与已知 AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行，即 EF 与 GH 必相交评注：本题应用结论：(1)垂直于同一条直线的两直线平行。(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点解：2 条直线产生 1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；则n 条直线共有

6、交点个数：1+2+3+(n-1)=1n(n-1)2评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 76 个不同的点，其中只有3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线，即能确定的直线为15-2=13 条。另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有 33=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1

7、+2+3+(n-1)=例 810 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域1n(n-1)2解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11个不同区域；10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+11n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域22思考：平面内 n 个圆

8、两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域1800例 9平面上 n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n证明：平面上 n 条直线两两相交最多得对顶角n(n1)2n(n-1)对，即 2n(n-1)个角2l l3l l2平面上任取一点 O，将这 n 条直线均平行移动过点O，条直线，这 n 条直线将以 O 为顶点的圆周角分为 2n 个（共 n 对）3、2n由平行线的性质知，这 2n 个角中每一个都和原来 n 条的交角中的一个角相等，即这 2n 个角均是原 2n(n-1)个角中成为交于一点 O 的 n互不重叠的角：1、2、O Ol ln直线中的某两条直线的角。18001800若这 2n

9、个角均大于，则1+2+3+2n2n=360,nn而1+2+3+2n=360,产生矛盾1800故1、2、3、2n中至少有一个小于，n1800即原来的 2n(n-1)中至少有一个角不小于n评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例 10（a）请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出 7 条直线（任意 3 条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（a）在平面上任取一点 A。过 A 作两直线 m1与 n1。在 n1上取两点 B，

10、C，在m1上取两点 D，G。过ADGm1B 作 m2m1，过 C 作 m3m1，过 D 作 n2n1，过 G 作n3n1，这时 m2、m3、n2、n3交得 E、F、H、I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，m2BEH图中每条直线都恰与另 3 条直线相交。FCIm3（b）在平面上不能画出没有 3 线共点的 7 条直线，使得其中每条直线都恰与n1n2n3另外 3 条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出 7 条直线，其中每一条都恰与其它3 条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的 3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有 3

11、721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7 条直线交点总数为21个，因为交点个数应为整数，矛盾。2所以，满足题设条件的 7 条直线是画不出来的。三、巩固练习选择题1平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（）条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A3B1 或 3C1 或 2 或 3D不一定是 1，2，33平面上 6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36 条B33 条C24 条D21 条4已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上，A,D,F,E四个点也在一条直线上，

12、除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，这时n等于（）（A）9（B）10（C）11（D）125若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A4 对B8 对C12 对D16 对6如图，已知 FDBE，则1+2-3=()A90B135C150D180E EA AC CH HG GB BF FA A3G G2B B1C CCA1ED DF2DBD D第 5 题F F第 6 题E E第 7 题7如图，已知 ABCD，1=2，则E 与F 的大小关系；8平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点

13、之外这些直线最多还有交点G9平面上 3 条直线最多可分平面为个部分。APB10如图，已知ABCDEF，PSGH 于 P，FRG=110，CDQS11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分ElFR是。H第10题12平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：如图，DECB，求证：AED=A+B14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+GABAEFDEGCDBC第 13 题第AD15如图，已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，EDC+ECD=90，E求证：DAAB则PSQ。线 与 直 线 的 交 点 个 数14 题B第 15 题C16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点17平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点最多将平面分成多少块区域18一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线19平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31 个交点，怎样安排才能办到画出图形。