对数计算公式.pdf

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1、对数计算公式 Final revision by standardization team on December 10,2020.性质loga(1)=0loga(1)=0；loga(a)=1loga(a)=1；负数与零无对数负数与零无对数.2对数恒等式alogaN=N(a0alogaN=N(a0，a a1 1）3运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaMloga(M/N)=logaMlogaNlogaN；对对 logaMlogaM 中中 M M 的的 n n 次方有次方有=nlogaM=nlogaM；如果 a=e

2、m，则 m 为数 a 的，即 lna=m，为自然对数为自然对数的底。定义：若 an=b(a0且 a1)则 n=log(a)(b)基本性质：1 1、a(log(a)(b)=ba(log(a)(b)=b2 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3 3、log(a)(MN)=log(a)(M)、log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N);-log(a)(N);4 4、log(a)(Mn)=nlog(a)(M)log(a)(Mn)=nlog(a)(M)5 5、log(an)M=1/nlog(a)

3、(M)log(an)M=1/nlog(a)(M)推导：1、因为 n=log(a)(b)，代入则 an=b，即 a(log(a)(b)=b。2、MN=MN由基本性质1(换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3、与（2）类似处理 M/N=MN由基本性质1(换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)-log

4、(a)(N)又因为是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N)4、与（2）类似处理Mn=Mn 由基本性质1(换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下：由（换底公式见下面）lnx 是 log(e)(x)，e 称作 log(an)(bm)=ln(bm)ln(an)换底公式的推导：设ex=bm,ey=anlog(an)(bm)=log(ey)(ex)=

5、x/yx=ln(bm),y=ln(an)得log(an)(bm)=ln(bm)ln(an)则：由基本性质4可得 log(an)(bm)=mln(b)nln(a)=(mn)ln(b)ln(a)再由换底公式 log(an)(bm)=mnlog(a)(b)4换底公式设 b=am，a=cn，则 b=(cn)m=c(mn)对取以 a 为底的对数，有：log(a)(b)=m.对取以 c 为底的对数，有：log(c)(b)=mn/，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以 a 为底 x 的对数。换底公式拓展：以 e 为底数和以 a 为底数的公式代换：logae=1/（lna）5推导公式log(1/a)(1/b)=loga(b)loga(b)*logb(a)=16求导数(xlogax)=logax+lna其中，logax 中的 a 为底数，x 为真数；(logax)=1/xlna特殊的即 a=e 时有(logex)=(lnx)=1/x