高等数学习题及答案.pdf

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1、高等数学（下册）考试试卷一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、z=loga(x y)(a 0)的定义域为 D=。2、二重积分22ln(x y)dxdy的符号为。22|x|y|13、由曲线y ln x及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、设曲线L的参数方程表示为22x(t)y(t)(x),则弧长元素ds。5、设 曲 面 为x y 9介 于z 0及z 3间 的 部 分 的 外 侧，则（x2 y21)ds。dyyy tan的通解为。dxxx 4y 0的通解为。6、微分方程7、方程y(4)8、级数1的和为。n1n(n 1)二、选择题（每小题 2 分，共计 1

2、6 分）1、二元函数z f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（）（A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；（C）z fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y当(x)2(y)2 0时，是无穷小；（D）limz fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y(x)(y)22x0 0。y0 xy2u2u2、设u yf()xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2 y2等于（）yxxy（A）x y；（B）x；(C)y；(D)0。3、设：x y z1,z 0,则三重积分I 201222zdV等于（）（A）420ddr3sincos

3、dr；0（B）20ddr2sindr；001（C）（D）2202020ddr3sincosdr；01ddr3sincosdr。00221224、球面x y z 4a与柱面x y 2ax所围成的立体体积 V=（）2（A）420ddd2acos04a2r2dr；（B）4202acos0r 4a2r2dr；（C）8202acos0r 4a2r2dr；（D）2d22acos0r 4a2 r2dr。5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则PdxQdy (L)（A）(DPQQP)dxdy；（B）()dxdy；yxyxDPQ

4、QP)dxdy；（D）()dxdy。xyxyD（C）(D6、下列说法中错误的是（）（A）方程xy 2y x y 0是三阶微分方程；（B）方程y2dydy x ysin x是一阶微分方程；dxdx23222（C）方程(x 2xy)dx (y 3x y)dy 0是全微分方程；（D）方程dy12y是伯努利方程。x dx2x7、已知曲线y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x y 6 0平行，而y(x)满足微分方程y 2y 5y 0，则曲线的方程为y（）欢迎下载2（A）exsin 2x；（B）e(sin2x cos2x)；（C）e(cos2x sin 2x)；（D）exsin 2x。8、设li

5、mnun 0,则nxxun1n（）（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计15 分）1、（7 分）设f,g均为连续可微函数。u f(x,xy),v g(x xy)，求u u,。x y2、（8 分）设u(x,t)2xtxtf(z)dz，求u u。,xt四、求解下列问题（共计15 分）。1、计算I 2、计算I 20（7 分）dxeydy。x22222xy 2z,z 1及z 2所围成的空间(x y)dV，其中是由闭区域（8 分）。五、（13 分）计算I Lxdy ydx，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过x2 y2原点O(0,0)的封闭曲线的逆时

6、针方向。六、（9 分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(x y)f(x)f(y)，且f(0)存在，求f(x)。1 f(x)f(y)(x 2)2n1七、（8 分）求级数(1)的收敛区间。2n 1n1n高等数学（下册）考试试卷高等数学（下册）考试试卷 参考答案参考答案一、1、当0 a 1时，0 x y1；当a 1时，x y 1；2、负号；3、2222ddyD01e1yeydx;3；4、2(t)2(t)dt；25、180；6、siny Cx；x2x7、y C1cos 2x C2sin2x C3eC4e 2x；8、1；欢迎下载3二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、

7、1、uu xg(x xy)；f1 yf2；yxuu f(x t)f(x t)；f(x t)f(x t)；xt222y221y2y2四、1、dxedy dyedx yeydy(1e4)；0 x00022、2、I柱面坐标20d20drr dz 12320d22dr12r3dz 2r214；3yx,Q 五、令P 2x y2x2 y2Py2 x2Q则，(x,y)(0,0)；2y(x y2)2xP Q,在 D 内连续。所以由 GreenyxP Q,在 D 内除 O（0，yx于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时，公式得：I=0；当 L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时，*0）外都连续

8、，此时作曲线l为x y(0 1)，逆时针方向，并假设D为222L及l所围成区域，则I llLLlGreen公式(lD*QP)dxdy 2xyx2y22六、由所给条件易得：f(0)2 f(0)f(0)01 f2(0)f(x)f(x)f(x)1 f(x)f(x)f(x x)f(x)又f(x)lim=limx0 x0 xx1 f2(x)f(x)f(0)2 lim f(0)1 f(x)x01 f(x)f(x)x即f(x)f(0)21 f(x)arctan f(x)f(0)x c即f(x)tan f(0)x c欢迎下载4又f(0)0即c k,k Z f(x)tan(f(0)x)七、令x2 t，考虑级数(1)nt2n1n12n 1t2n3lim2n 3 t2nt2n12n 1当t21即t 1时，亦即1 x 3时所给级数绝对收敛；当t 1即x 3或x 1时，原级数发散；当t 1即x 1时，级数(1)n11n12n 1收敛；当t 1即x 3时，级数(1)n1n12n 1收敛；级数的半径为 R=1，收敛区间为1，3。欢迎下载5