九年级下册《圆》知识点总结.pdf

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1、圆圆1 1圆的认识圆的认识（1 1）以点）以点 O O 为圆心的圆叫作“圆为圆心的圆叫作“圆 O O”，记为“，记为“O O”。（2 2）线段）线段 OAOA、OBOB、OCOC 都是圆的半径，线段都是圆的半径，线段 ACAC 为直径。为直径。（3 3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。（4 4）圆上任意两点间的部分叫做弧。）圆上任意两点间的部分叫做弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。（5 5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如）圆心角

2、：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOBAOB、AOCAOC、BOCBOC 就是圆心角。就是圆心角。2 2圆的对称性圆的对称性（1 1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。A（2 2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。条弧。推论：推论：（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的（2 2）

3、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的以上共以上共 4 4 个定理，简称个定理，简称 2 2 推推 3 3 定理：此定理中共定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知个结论中，只要知CBOED两条弧；两条弧；另一条弧另一条弧道其中道其中 2 2个即可推出其它个即可推出其它 3 3 个结论，个结论，即：即：AB是直径是直径AB CDCE DE弧弧BC弧弧BD弧弧AC弧弧AD中任意中任意 2 2 个条件推出其他个条件推出

4、其他 3 3 个结论。个结论。推论推论 2 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：即：在在O中，中，ABCD弧弧AC弧弧BD3.3.圆心角定理：圆心角定理：同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆心相等的圆心COABODEFD角角AC所对的弦所对的弦B相等，相等，所对的弧相等，所对的弧相等，弦心距相等。弦心距相等。即：即：AOB DOE；AB DE；COC OF；弧；弧BA弧弧BD上述四个结论中，上述四个结论中，只要知道其中的只要知道其中的 1 1 个相等，个相等，则可以推出其它的则可以推出其它的 3 3 个结个结4 4圆周角圆周角（1 1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆

5、相交的角叫做圆周角。）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（2 2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于9090（直角）（直角）。9090的的的弦是圆的直径。的弦是圆的直径。（3 3）同圆或等圆中，同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的（4 4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相（5 5）若三角形一边上的中线等于这边的一半，若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直那么这个三角形是直BOBOA论，论，C

6、圆周角所对圆周角所对BDOAC一半。一半。等。等。角三角形。角三角形。即：在即：在ABC中，中，OC OAOBABC是直角三角形或是直角三角形或C 90BOCAA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。定理。5 5点与圆的位置关系点与圆的位置关系设设O O 的半径为的半径为 r r，点圆心，点圆心 O O 的距离为的距离为 d d，则，则Ad（1 1）点在圆外）点在圆外d rrOB（2 2）点在圆上）点在圆上d rd（3 3）点在圆内）点在圆内d rC6 6（1

7、 1）过一点可以画无数个圆；）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。（2 2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三

8、角形三个顶点的距离相等。垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。（3 3）一个三角形的外接圆是唯一的。）一个三角形的外接圆是唯一的。7 7直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（1 1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。（2 2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点做圆的切线，这个公共点叫做切点（3 3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就

9、说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线圆的割线如上图，设如上图，设O O 的半径为的半径为 r r，圆心，圆心 O O 到直线到直线 l l 的距离为的距离为 d d，从图中可以看出：，从图中可以看出：若若d r直线直线l l与与O O相离；相离；若若d r直线直线l l与与O O相切；相切；若若d r直线直线l l与与O O相交；相交；8 8切线切线（1 1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的即：即：MN OA且且MN过半径过半径OA

10、外端外端MN是是O的切线的切线证明切线常用的方法：证明切线常用的方法：1.1.连半径，证垂直；连半径，证垂直；2.2.作垂直，证半径。作垂直，证半径。（2 2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（3 3）切线长：切线上某一点与切点之间的线段的长）切线长：切线上某一点与切点之间的线段的长.性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点线平分两

11、条切线的夹角。线平分两条切线的夹角。即：即：PA、PB是的两条切线是的两条切线PA PB，PO平分平分BPA.PABOMAN切线。切线。O与圆心的连与圆心的连（4 4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。9.9.圆的内接四边形

12、定理：圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补.即：在即：在O中，四边形中，四边形ABCD是内接四边形是内接四边形C BAD 180 BD 1801010圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系1 1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1 1）又叫做外离，）又叫做外离，（2 2）、（3 3）又叫做内含。）又叫做内含。（3 3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。2 2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如其中（）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆

13、相切，如其中（4 4）又叫做外切，）又叫做外切，（5 5）又叫做）又叫做内切。内切。3 3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6 6）所示。）所示。（1 1）两圆外离）两圆外离 d Rr；（2 2）两圆外切）两圆外切 d Rr；（3 3）两圆外离）两圆外离 Rr d Rr；（4 4）两圆外离）两圆外离 d Rr；11.11.圆内正多边形的计算圆内正多边形的计算（1 1）正三角形在）正三角形在O中中ABC是正三角是正三角OD:BD:OB 1:3:2；C（5 5）两圆外离）两圆外离0 d Rr形，有关计算在形，有关计算在RtBOD

14、中进行：中进行：BOCOO（2 2）正四边形）正四边形OE:AE:OA1:1:2：（3 3）正六边形）正六边形AB:OB:OA 1:3:2.1212圆中的计算问题圆中的计算问题（1 1）弧长的计算公式为：）弧长的计算公式为：l BDAAEDBAnr180（2 2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。nr21lr扇形面积的计算公式：扇形面积的计算公式：S 3602n：圆心角：圆心角R：扇形多对应的圆的半径：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长：扇形弧长S：扇形面积：扇形面积（3 3）圆锥的母线：把圆锥底

15、面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.（4 4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，即即S=S=ra圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.2S S S即即表侧底=rar